细说圆中的分类讨论题------之两解情况(考试-拒绝遗漏).docx

1、细说圆中的分类讨论题- 之两解情况由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性, 有许多问题需要分类讨论,分类讨论是一种同学们应该掌握并且相当重要的数学思想，对于锻炼同学们的缜密思维和分析问题能力异常的重要，但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况,这就要求同学们在解题时一要读懂题意，明白题干的要求，二要有顺序步骤的做。先从几个方面举例说明如下:一、根据点与圆的位置分类例 、点P 是圆O 所在平面上一定点，点P 到圆上的最大距离和最短距离分别为和，则该圆的半径为。分析 ：根据点和圆的位置关系，这个点P 与圆有两种位置关系。分为点在圆内和点在圆外两种情况。解：过点 P 和圆心 O 作

2、直线分别与圆O 相交于 A、 B 两点。 PA、 PB 分别表示圆上各点到点P 的最长距离和最短距离。AOPBAOBP图1图2（ 1）当点 P 在圆内时，如图1 所示，直径；（ 2）当点 P 在圆外时，如图2 所示，直径；所以，圆O的直径为2 或 6。二、三角形与圆心的位置关系例 ：已知ABC 内接于圆O，OBC35，则A 的度数为_。分析： 因点 A 的位置不确定。 所以点在ABC 的内部和外部两种情况。A 和圆心O 可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧。 也可分析为圆心解： （ 1）当点A 和圆心O 在BC的同侧时，如图3，OBC35BOC110BAC55AOBCPOBCA图 3图 4（

3、2）当点 A 和圆心 O 在 BC 的异侧时，如图4，OBC 35BOC110BPC55BAC 125所以A 的度数是55 或 125。练习： 已知圆内接ABC 中， AB=AC ，圆心 O 到 BC 的距离为 3cm，圆的半径为6cm,求腰长 AB 。（两种情况如图 5、图 6）AADBCOOBCD图 5图 6三、角与圆心的位置关系例 3:在半径为 1 的 O 中，弦 AB 、 AC 的长分别为3 和2 ，则 BAC 的度数是 _。分析 ：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。解：如图 7，当圆心在 BAC 内部时，连接AO 并延长交 O 于 E在 Rt ABE 中，由勾股定理得：

4、BE11 AE ,所以 BAE 302同理，在Rt CAE 中， EC AC ，所以 EAC 45，BAC304575当圆心 O 在 BAC 的外部时（ BAC ），由轴对称性可知： BAC453015所以 BAC 为 75或 15ACOCBE图 7四、圆中两平行弦与圆心的位置关系例 4. 圆 O 的直径为 10cm，弦 AB/CD ， AB=6cm ， CD8cm，求 AB 和 CD 的距离。分析： 题中的弦 AB 、 CD 都比圆 O 中的直径小，所以AB 和 CD 可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。解：（ 1）当 AB 、CD 在圆心的同侧时，如图8，过点 O 作 OM AB交 AB

5、 于点 M ，交 CD 于 N，连结 OB、OD ，得 Rt OMB ， Rt OND ，然后由勾股定理求得： OM4cm，ON3cm ，故 AB 和 CD 的距离为 1cm。AMBAMBCNDOOCND图 8图 9（ 2）当 AB、 CD 在圆心的异侧时， 如图 9，仍可求得 OM4cm， ON3cm 。故 AB 和 CD 的距离为 7cm。所以 AB 和 CD 的距离为 1cm 和 7cm。五、弦所对的圆周角有两种情况例 5：半径为 1 的圆中有一条弦，如果它的长为3 ，那么这条弦所对的圆周角的度数等于_ 。分析 ：弦所对的圆周角有两种情况：（ 1）弦所对的圆周角的顶点在优弧上；（ 2）弦

6、所对的圆周角的顶点在劣弧上。解：故应填 60或 120。练习： 一条弦分圆周为3： 5 两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为。六、圆与圆的位置关系例 6、已知圆O1 和圆O2 相内切，圆心距为1cm ，圆O2 半径为4cm，求圆O1 的半径。分析： 根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆O2 看成大圆，也可把圆O2 看成小圆。解： （ 1）当圆 O2 是大圆时，则圆O1 的半径等于大圆半径4cm 减去圆心距1cm，求得圆 O1 的半径为3cm。（ 2）当圆 O2 是小圆时，则圆O1 的半径等于小圆半径4cm 加上圆心距1cm，求得圆 O1 的半径为5cm。所以圆 O1 的半径是 3cm 或 5cm。例 7、两圆相切，半径分别为4cm 和 6cm，求两圆的圆心距。分析： 此题中的两圆相切没有说明是内切还是外切，所以应该分两种情况考虑。解： （ 1）当两圆内切时，两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径，即642cm 。（ 2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大