金融数学ppt课件5债务偿还

1、1债务偿还债务偿还repaying loans孟生旺中国人民大学统计学院2债务偿还的两种方法债务偿还的两种方法分期偿还法分期偿还法（amortization method）：借款人分期偿还贷款，在每次偿还的金额中，既包括当期应该支付的利息，也包括一部分本金。包括：等额，变额偿债基金法偿债基金法（sinking fund method）：借款人在贷款期间分期偿还贷款利息，并要积累一笔偿债基金，用于贷款到期时一次性偿还贷款本金。包括：等额，变额3一、等额分期偿还一、等额分期偿还(level installment payments)在等额分期偿还法中，需要解决的问题包括：（1）每次偿还的金额(lo

2、an payments)是多少？（2）未偿还的本金余额（loan balance，loan outstanding, principal outstanding）是多少？（3）在每次偿还的金额中，利息和本金分别是多少？41每次偿还的金额每次偿还的金额贷款的本金是 l0期限为 n 年年实际利率为 i每年末等额偿还r则每次偿还的金额 r 可表示为（level loan payment）0| n ilra52未偿还本金余额未偿还本金余额问题：问题：假设贷款的本金是l0，期限为n年，年实际利率为i。每次偿还的金额r。确定 t 时刻尚未偿还的贷款。方法：将来法（prospective method）过去

3、法（retrospective method）6方法一：将来法（方法一：将来法（prospective method）把将来需要偿还的金额折算成计算日（k 时）的现值，即得未偿还本金余额。loan balance=pv (future loan payments)第k期末，将来还需偿还(n k)次，故未偿还本金余额为| = kn k ilra0| | n k in ilaa7方法二：过去法方法二：过去法（retrospective method）从原始贷款本金的累积值中减去过去已付款项的累积值。loan balance=av(loan) - av(loan payments made to d

4、ate)原始贷款本金为 ，累积到时刻k的值为 已经偿还的款项到时刻k的累积值等于 ，所以未偿还本金余额为0| =n ilra0(1)kli0(1)kkk illirs k irs8命题：命题：将来法与过去法等价。证明：证明：0| (1)kkkillirs |(1)kn ik iirars 1(1)1(1)nkkviriii 1n kvri |n k ira（过去法（过去法, 第第k年末年末 ）（将来法）（将来法）93、每期偿还的本金和利息、每期偿还的本金和利息基本原理基本原理：在分期付款中，首先偿还利息，然后偿还本金。设第 k次的还款额为 r ，利息部分为 ik，本金部分为pk，记 lk为第k

5、次还款后的未偿还贷款余额，则有111(1)n kkkn kiiilirarv 1n kkkprir v k 的减函数k 的增函数10分析分析：利息，本金，余额，一般公式递减递减几何递增几何递增将来法将来法11例：例：30年贷款，贷款利率6，每年还款30000元，本息图示如下： 12例：例：一笔贷款的期限为2年，年实际利率为6%，每季度等额偿还一次，如果第一年末偿还的本金为2000元，试计算在第二年末应该偿还的本金。 解：解：已知年实际利率为6%，故季度实际利率为i = (1 + 0.06)0.25 1 = 0.01467 第四次偿还的本金：p4 = rv84+1 = rv5 第八次偿还的本金：

6、p8 = rv88+1 = rv 所以p8/ p4 = v4 = (1 + i)4，即 p8 = p4 (1 + i)4 = 2000(1.01467)4 = 2120（元）13二、等额偿债基金二、等额偿债基金含义含义：借款人分期偿还贷款利息(service payment of the loan, generally equals the amount of interest due)，同时积累一笔偿债基金，用于贷款到期时一次性清偿贷款本金。例例：假设某人从银行获得10000元的贷款，期限为年，年利率为%。双方约定： （）借款人每年末向银行支付600元利息； （）借款人在银行开设一个存款帐户

7、，每年末向该帐户存入1791.76元，该帐户按5.5的利率计算利息。到第年末，该帐户的累计余额正好是10000元，用于偿还贷款本金。借款人在银行开设的该帐户就是偿债基金（偿债基金（sinking fund）。）。14偿债基金的性质偿债基金的性质名义上名义上：偿债基金归借款人所有，供借款人在贷款到期时一次性清偿贷款本金。实际上实际上：由银行掌握，借款人不能动用这笔资金。偿债基金的积累过程，也就是本金的偿还过程。因此，从原始贷款金额中减去偿债基金的累积值，就是 “贷款净额贷款净额”(net amount of loan)。15等额偿债基金法需要解决的问题等额偿债基金法需要解决的问题 借款人在每年末

8、的付款总金额，包括：向偿债基金的储蓄额支付贷款利息每年末的贷款净额。借款人每年实际支付的利息。16符号符号:l0 原始贷款本金i 贷款年利率n 贷款期限i 借款人在每年末名义上支付的利息，即 i = il0 j 偿债基金的利率d 借款人每年末向偿债基金的储蓄额17假设借款人每年末向偿债基金的储蓄额为d，则0n jlds因此，借款人在每年末的付款总金额为 id01n jlis00n jlils0n jdsl借款人在每年末的付款总额：借款人在每年末的付款总额：18第 k 年末的贷款净额为 0k jlds偿债基金在第 k 年末的累积值为 jksd|00k jn jllss01k jn jsls每年末

9、的贷款净额：每年末的贷款净额：19偿债基金在第 k 年初的余额（已经偿还的本金）为 1kjd s它在第 k 年所产生的利息为 1kjjd s借款人在第 k 年末实际支付的利息金额应为 1kjijd s借款人每年实际支付的利息借款人每年实际支付的利息(了解了解）：）：20特例：特例：偿债基金利率 j = 贷款利率 i当 j = i 时，借款人在每年末支付的总金额为0 1n iidlis 11n in iisa（等额分期偿还金额 ）0 n ilar因为结论：当 j = i 时，等额分期偿还法等额分期偿还法 = 等额偿债基金法等额偿债基金法21问题问题：对借款人而言，下列哪种方法更加有利？分期偿还法

10、：贷款利率为 i偿债基金法：贷款利率为 i，偿债基金利率为 j，i j答案答案：等额分期偿还更加有利。22例例假设假设：两笔贷款的本金均为10000元，期限均为5年，但偿还方式不同：第一笔：采用偿债基金方法偿还，贷款利率为6%，偿债基金利率为5%。第二笔：采用等额分期方法偿还。问题问题：当第二笔贷款的利率为多少时，两笔贷款对借款人而言是等价的。23对于第一笔贷款（偿债基金法），借款人在每对于第一笔贷款（偿债基金法），借款人在每年末需要支付的金额为年末需要支付的金额为 01()n jidl is5 0.05110000(0.06 +) 2409.75s24对于第二笔贷款（分期偿还法），假设其利率

11、为对于第二笔贷款（分期偿还法），假设其利率为r，则借款人在每年末需要支付的金额为则借款人在每年末需要支付的金额为 0n rlra510000ra令此式等于2409.75，则有5100004.14982409.75rar = 6.552%注：在两种方法等价的情况下，等额分期偿还法的贷款利率（6.552%）大于偿债基金法中的贷款利率（6%）。25等价利率的一种近似解法（等价利率的一种近似解法（了解了解）：）：与偿债基金法等价的分期偿还利率 r 可近似表示为r = i + 0.5(i j)在上例中，近似的等价利率为r = 6% + 0.5(6% 5%) = 6.5%偿债基金法的贷款利率借款人在偿债基

12、金中损失的利率。真实利率 r = 6.552%26等额分期偿还与等额偿债基金的比较等额分期偿还与等额偿债基金的比较相同点相同点：定期、等额。不同点不同点：已偿还本金的计息方式不同。等额分期偿还法等额分期偿还法：已经偿还的本金按贷款利率 i 计息。等额偿债基金法等额偿债基金法：已经偿还的本金（即存入偿债基金的金额）按利率 j 计息。关系关系：当贷款利率 = 偿债基金的利率时，等额偿债基金法 = 等额分期偿还法。 0 (1)ikkklilrs27四、变额分期偿还四、变额分期偿还 假设原始贷款金额为l0，每期末偿还的金额为rt（t = 1，2，n）则有下面通过几个例子说明变额分期偿还的应用。 01n

13、tttlv r28例（等额本金偿还）例（等额本金偿还）：一笔10000元的贷款，期限为5年，年实际利率为5%，每年末偿还2000元本金。试构造分期偿还表（amortization schedule）。年份偿还本金未偿还本金余额支付当年利息（5）每年末偿还的总金额(1)(2)(3)(4)(5)=(2)+(4)0100001200080005002500220006000400240032000400030023004200020002002200520000100210029 例（偿还额按算术级数变化）：例（偿还额按算术级数变化）：假设某人从银行获得一笔贷款，期限为5年，年实际利率为6%。借款人

14、在每年末分期偿还，每年末的偿还金额依次为2000元，1800元，1600元，1400元，1200元。试计算（1）贷款本金为多少？（2）第三年末偿还的利息和本金分别为多少？30贷款本金l0应该等于上述年金的现值，因此有第三年初（即第二年末）未偿还的本金为（将来法）因此第三年支付的利息为 i3 = il2 = 0.063762.97 = 225.78（元）第三年末偿还的本金为p3 = r3 i3 = 1600 225.78 = 1374.21（元）05|5| = 1000+ 200() = 6837.82lada23|3| = 1000+ 200() 3762.97lada31例（偿还额按几何级数

15、变化）例（偿还额按几何级数变化）：一笔10000元的贷款，年实际利率为10%，期限为6年，每年末偿还一次，每次的偿还金额以50%的速度递增。试构造分期偿还表。解解：假设第一年末的偿还金额为r1，则有 其中 所以 r1 = 736.69元。11161110000 =13.57428 11 0.5n jjrararr10%50%0.26671150%irjr-= -+32 第一年末应该支付的利息为 i1 = 100000.1 = 1000（元） 显然，第一年偿还的总金额736.69元还不足以支付当年的利息1000元，故第一年偿还的本金为负p1 = r1 i1 = 736.69 1000 = 263

16、.31（元） 所以第一年末的未偿还本金余额将会增加，即增加为 l1 = l0 p1 = 10000 + 263.31 = 10263.31（元）33第二年应该支付的利息为i2 = il1 = 0.110263.31 = 1026.33（元）按照几何级数计算，借款人在第二年末偿还的总金额为r2 = 1.5r1 = 736.691.5 = 1105.04（元）所以第二年偿还的本金为p2 = r2 i2 = 1105.04 1026.33 =78.71（元）第二年末的未偿还本金余额为l2 = l1 p2 = 10263.31 78.71 = 10184.6（元）依此类推，其他各年的计算结果如下表所示

17、。34变额分期偿还表变额分期偿还表 （单位：元）（单位：元） 注：最后结果有0.07的舍入误差。年份每年末的偿还金额 支付当年利息偿还本金未偿还本金余额0100001736.691000263.3110263.3121105.041026.3378.7110184.6031657.551018.46639.099545.5142486.33954.551531.788013.7353729.49801.372928.125085.6165594.24508.565085.680.07*参见excel表的计算过程 35五、变额偿债基金五、变额偿债基金借款人每期支付的总金额 rt 由两部分构成：当

18、期的利息： il0向偿债基金的储蓄：rt il036假设偿债基金的利率为 j，借款人在第 t 期末支付的总金额为 rt（t = 1，2，n）则在第 t 期末向偿债基金的储蓄额为rt il0 。偿债基金在第 n 期末的累积值必须等于贷款本金l0，故有 l0= (r1 il0)(1 + j) n1 + (r2 il0)(1 + j) n2 + + (rn il0) 0|1(1)nn ttn jtirjl s37 从上式即可求得原始贷款本金l0的表达式为 前一式的分子和分母分别乘以(1 + j)n即得第2式（请练习）。 在上式中，如果j = i，则有110|(1)(1)11 ()nnn tttttt

19、n jn jrjrjlisij a01ntttlv r38 例：例： 假设一笔贷款的期限为5年，用偿债基金方法偿还，贷款利率为10%，偿债基金利率为8%。如果借款人每年末的总付款金额（包括支付当期利息和向偿债基金的储蓄）分别为：1000元，2000元，3000元，4000元，5000元，试计算原始贷款本金为多少？39 解解：假设原始贷款金额为l0，每年的利息为0.1l0，每年末向偿债基金的储蓄额为： 1000 0.1l0，2000 0.1l0，3000 0.1l0，4000 0.1l0，5000 0.1l0 故有005|0.085|0.081000 ()0.1islsl5|0.080 5|0.

20、081000()= 10524.691 0.1isls40 注意：上述结果存在问题。注意：上述结果存在问题。借款人第一年支付的总金额（1000元）不足以偿还当期利息（1052.47元）。即向偿债基金的储蓄为52.47元。借款人从偿债基金中借走了52.47元，而偿债基金是按8%的利率计算利息的。这不合理，因为贷款人所要求的贷款利率是10%。若用l0表示合理的贷款本金，则第一年末的贷款净额为 l1 = 1.1l0 100041l1应该在今后的4年由偿债基金积累。今后4年，借款人每年末向偿债基金的储蓄额分别为：(2000 il1)，(3000 il1)，(4000 il1)，(5000 il1)。这

21、些储蓄额在第5年末的累积值应该正好等于l1 ，所以有 114|0.084|0.081000 ()(10000.1 )islsl4|0.084|0.0814|0.081000()1000 = = 10573.91 0.1isslsl0=(l1 + 1000)/1.1 = 10521.73（元）42变额偿债基金表变额偿债基金表 （单位：元）（单位：元）年份年份每年末支付每年末支付的金额的金额支付当年利息支付当年利息向偿债向偿债基金储蓄基金储蓄偿债基金余偿债基金余额额贷款净额贷款净额0010521.731100010000010573.90220001057.39942.61942.619631.2

22、9330001057.391942.612960.637613.27440001057.392942.616140.094433.81550001057.393942.6110573.900变额偿还要特别注意可能出现的负偿还！变额偿还要特别注意可能出现的负偿还！注：第一年末的负偿还为52.17，它增加了第一年末的贷款净额，即 10521.73+52.17=10573.9043五、抵押贷款五、抵押贷款特点：特点：偿还期限较长，可能长达几十年。有抵押物作担保，贷款人面临的违约风险相对较小 。需要研究的问题：贷款余额与抵押物价值的关系44第 k 期末的未偿还本金余额为（将来法） 上式对 k 求一阶和

23、二阶导数，即得 一阶导数小于零：未偿还本金余额是递减的； 二阶导数小于零：递减速度是先慢后快。 ()|1 (1)=n kkn k iilrari()()ln(1) (1) 0n kkrliii 2()()ln(1)(1) 0n kkrliii 1未偿还本金余额的变化规律未偿还本金余额的变化规律45 462固定资产价值的变化规律固定资产价值的变化规律 符号：a 固定资产的原值s 固定资产的残值n 固定资产的使用年限47 固定资产价值的变化过程就是固定资产的折旧过程，主要有三种类型：第一第一，加速折旧（先快后慢），即在最初几年下降速度很快，以后逐渐放慢。如汽车、机器设备。第二第二，匀速折旧（或直线折旧），即折旧过程是平稳的，每年折旧相等的金额。第三第三，慢速折旧（先慢后快），与加速折旧正好相反，在最初几年下降速度较慢，以后逐渐加快 。如房屋、建筑物。48（1）加速折旧法（先快后慢） 加速折旧方法的种类较多，如有 余额递减法 双倍余额递减法 年数总和法