椭圆的定义及几何性质

1、椭圆的定义及几何性质椭圆【教学目标】（1）掌握椭圆的定义（ 2）掌握椭圆的几何性质（ 3）掌握求椭圆的标准方程【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题（ 2）椭圆焦点三角形面积的求法【教学过程】一、知识点梳理知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、 的距离之和等于常数 () ，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点， 两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。知识点二：椭圆的标准方程1 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程： ，其中；2 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程： ，其中；注意：只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐1椭圆的定

2、义及几何性质标系时，才能得到椭圆的标准方程；2 在椭圆的两种标准方程中，都有和；3 椭圆的焦点总在长轴 xx. 当焦点在轴 xx 时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴 xx 时，椭圆的焦点坐标为， 。知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（ 1）对称性对于椭圆标准方程，把 x 换成 x，或把 y 换成 y，或把 x、y 同时换成 x、 y，方程都不变，所以椭圆是以x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。讲练结合：（ 2）范围椭圆上所有的点都位于直线 x=a 和 y=b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 |x| a，|y

3、| b。（3）顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆（ ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A1（ a，0），A2（a，0），B1（0， b），B2（0，b）。线段 A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a ， 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。b 和 a。|B1B2|=2b椭圆的定义及几何性质 （4）离心率表示，记 exx 的比叫做椭圆的离心率，用 椭圆的焦距与长轴 作。，则 1。e 越接近 10 因为 ac，所以 e 的取值范围是 0e就 0，cac 就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之， e 越接近于 a=b 当且仅当这时椭圆就越接

4、近于圆。越接近 0，从而 b 越接近于 a，x2+y2=a2，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为时，c=0 ：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图） （1），； ，；） （2，；3）, ， （0 ）的区别和联系知识点四：椭圆与（ab标准方程图形焦点，性质焦距椭圆的定义及几何性质范围，关于 x 轴、 y 轴和原点对称顶点，对称性轴 =长轴长 = ，短轴长 离心率准线方程焦半径， ， 注意：椭圆，（ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有 ab0 和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。二、考点分析考点一：椭圆的定义【例 1】方程化简的结果是。【例 2

5、】已知 F1(-8 ，0) ，F2(8，0) ，动点 P 满足 |PF1|+|PF2|=16 ，则点 P 的轨迹为（）直线D线段C椭圆B圆A椭圆的定义及几何性质【变式训练】已知椭圆=1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为3, 则P到另一焦点距离为。考点二：求椭圆的标准方程【例 3】若椭圆经过点 (5 ，1) ，(3 ，2) 则该椭圆的标准方程为。【例 4】的底边，和两边上中线长之和为 30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹【例 5】求以椭圆的焦点为焦点，且经过点的椭圆的标准方程【变式训练】 1、焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为。2、焦点在轴上，椭圆的标准方程为。3、已知三点 P（5，2

6、）、（ 6，0）、（6，0），求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；椭圆的定义及几何性质4、已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程考点三：利用标准方程确定参数【例 6】若方程 +=1（ 1）表示圆，则实数 k 的取值是 .（ 2）表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 .（ 3）表示焦点在 y 型上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 .（ 4）表示椭圆，则实数 k 的取值范围是 .【例 7】椭圆的长轴长等于，短轴长等于,顶点坐标是 , 焦点的坐标是, 焦距是，离心率等于。【变式训练】 1、椭圆的焦距为，

7、则 =。2、椭圆的一个焦点是，那么。椭圆的定义及几何性质考点四：离心率的有关问题一、求离心率1、用定义（求出a,c 或找到 c/a ）求离心率（ 1）已知椭圆 : 的两个焦点分别为 , 且椭圆经过点 . 则椭圆的离心率。（ 2）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）12(A )(B)C)D)(23 （3）椭圆（ ab0）的左、右顶点分别是 A,B, 左、右焦点分别是 F1，F2。若|AF1| ， |F1F2| ，|F1B| 成等比数列，则此椭圆的离心率为 _.（ 4）在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线距离为 1，则该椭圆的离心率为。

8、2、根据题设条件构造a、c 的齐次式方程，解出e。（ 1）若一个椭圆长轴的 xx、短轴的 xx 和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A.B.C.D.椭圆的定义及几何性质（2）在平面直角坐标系中 , 椭圆的标准方程为 , 右焦点为 , 右准线为 , 短轴的一个端点为 , 设原点到直线的距离为 , 到的距离为 , 若, 则椭圆的离心率为 _.（ 3）设椭圆的两个焦点分别为 F1.F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若三角形 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为。二）、求离心率的范围（关键是建立离心率相关不等式）1、直接根据题意建立不等关系求解.（ 1）椭圆的焦点为，两条准线

9、与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是。（ 2）已知为椭圆的焦点，为椭圆短轴上的端点， ，求椭圆离心率的取值范围。2、借助平面几何关系（或圆锥曲线之间的数形结合）建立不等关系求解设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是。椭圆的定义及几何性质3、利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解.（焦半径或横纵坐标范围建立不等式）（1）椭圆（ a0,b 0）的两个焦点为F1、F2, 若 P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则椭圆离心率的取值范围为。（2）已知椭圆右顶为 A, 点 P 在椭圆上， O为坐标原点，且 OP垂直于PA，求椭圆的离心

10、率e 的取值范围。（ 3）椭圆和圆（其中为椭圆半焦距）有四个不同的交点，求椭圆的离心率的取值范围。考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用【例 14】已知椭圆方程，长轴端点为，焦点为，是椭圆上一点，求：的面积（用、表示）分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积椭圆的定义及几何性质【变式训练】 1、若 P 是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求的面积 .2、已知 P 是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（）A.B.C.D.课后作业：一、选择题1 已知 F1(-8 ，0) ，F2(8，0) ，动点 P 满足 |PF1|+|PF2|=25 ，则点 P的轨迹为 ()A 圆

11、B椭圆C线段D直线3 已知方程表示椭圆，则k 的取值范围是 ()k-1或 1k0C k0D k1A -椭圆的定义及几何性质17、椭圆 =1 与椭圆 =(0) 有（）(A) 相等的焦距 (B) 相同的离心率 (C) 相同的准线 (D) 以上都不对18、椭圆与（ 0k9）的关系为（）(A) 相等的焦距 (B) 相同的的焦点 (C) 相同的准线 (D) 有相等的长轴、短轴二、填空题2、椭圆左右焦点为F1、F2，CD为过 F1 的弦，则 CDF1的周长为 _4、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1) 长轴长为 10，短轴长为 6(2) 长轴是短轴的 2 倍，且过点 (2 ，1)(3) 经过点 (5 ，1

12、) ，(3 ，2)5、若 ABC顶点 B、C坐标分别为 (-4 ，0) ，(4 ，0) ，AC、AB边上的中线长之和为 30，则 ABC的重心 G的轨迹方程为_6. 椭圆的左右焦点分别是 F1、F2，过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 P点。_若 F1PF2=60，则椭圆的离心率为椭圆的定义及几何性质7、已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D两点的椭圆的的离心率为 _椭圆方程为 _.8 已知椭圆的方程为， P 点是椭圆上的点且 , 求的面积9. 若椭圆的短轴为 AB，它的一个焦点为 F1，则满足 ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为10. 椭圆上的点 P 到它的左焦点的距离是 12，那么点 P 到它的右焦点的距离是11已知椭圆的两个焦点为、 ，且，弦 AB过点，则的周长。13、中心在原点、 长轴是短轴的两倍 , 一条准线方程为 , 那么这个椭圆的方程为。14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离 , 则椭圆的离心率 =. 15、椭圆的中心在原点 ,