271直线与双曲线的位置关系

1、学习目标】2.71 直线与双曲线的位置关系定义法或待定系数法确定 a,b 的值 .要点二、双曲线的几何性质2x2a1. 能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2. 能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3. 能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题 【知识网络】【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义在平面内，到两个定点 F1、 F2的距离之差的绝对值等于常数 2a（ a大于 0且 2a F1F2 ）的动点 P的轨迹叫作双曲线 .这两个定点 F1、 F2叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双

2、曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程2y2 1(a 0,b 0) b2标准方程22 xy2 2 1 (a 0,b 0)22 yx2 2 1 (a 0,b 0)图形性质焦点F1( c,0) ， F2 (c,0)F1(0, c)， F2 (0, c)焦距|F1F2 | 2c(c a2 b2)|F1F2 | 2c(c a2 b2)范围x x a或x a ， y R y y a或 y a ， x R对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称顶点( a,0)(0, a)轴实轴长 = 2a ，虚轴长 = 2b离心率e c (e 1) a渐近 线方程b yxaa y b x说明：焦点

3、是 F1（-c，0）、F2（c， 0），其中 c2=a2-b2焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程yxa2b21(a 0,b 0)说明：焦点是 F1（0，-c）、F2（0， c），其中 c2=a2-b2要点诠释： 求双曲线的标准方程应从 “定形 ”、“定式”和“定值 ”三个方面去思考 . “定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式 ”根据 “形”设双曲线方程的具体形式； “定量 ”是指用要点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系x2 y2将直线的方程 y kx m与双曲线的方程 x2 y2 1 （a 0,b 0）联立成方程组，消元转化为关于 a2

4、b2的一元二次方程，其判别式为 .（b2 a2k2 ）x2 2a 2mkx a2m2 a2b2 0若b2 a2k2 0,即k b ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；ax或y若 b2 a2 20k2 0,即k b ， a 直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；0（k2 1，）则 k 2 3 , 1 （ 1,1） 1, 2 3 ，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点 .332 变式 1】（2014 天津 ）已知双曲线 x2 a22y2 1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线 l：y 2x10，双曲 b2线的一个焦点在直线 l

5、 上，则双曲线的方程为 （2A x252 y2 1 20B2 x 202 y2 1 5（3）若 4 3k2=0（k2 1，） 则 k=2 3 ，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点（相切的情况 ）.(4)若 43k20，b0）的一条渐近线平行于直线 l： y2x10，2y2 1 20y=x+3 与曲线1xxB.11|x|+ y2=1 的交点个数是9C.2D.32例 3. 过点 P（ 7,5） 与双曲线 x7思路点拨】断。2 y25显然采用过 P 点的直线方程与双曲线方程解析】若直线的斜率不存在时，则 x若直线的斜率存在时，设直线的方程为(kx 5 k 7) 2 1， 25x21有且只有一个公

6、共点的直线有几条，分别求出它们的方程。22y5 1联立的方法， 但要注意直线斜率不存在的情况要先判7 ，此时仅有一个交点 （ 7,0） ，满足条件；y 5 k(x 7)则 y kx 5 k 7 ，7(kx 5 k 7) 2 7 25 ，(257k2)x2 7 2kx(5 k 7) (5 k 7) 2 7 25 0，d2 |x1 x2 | 2( x1 x2)2 4x1x224208 2 .933当k5 7 时，方程无解，不满足条件；2) 方法一： 若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为y kx 1 ，它被双曲线截得当k577 时， 2 5 7x 10 75 方程有一解，满足条件；

7、的弦为 AB对应的中点为 P(x, y)，当k2275 时，令14k(5 k 7)24(25 7k 2 )(5 k 7)2 165 0 ，化简得： k无解，所以不满足条件；y kx 1由 2 y2 得 (4 k2)x2 2kx 5 0(*) x214所以满足条件的直线有两条 x 7 和 y5 7 x 10。7设方程*)的解为 x1,x2 ，则4k2220(4 k2) 016k2 80,| k| 5 ，且 x1x2总结升华】直线与双曲线有一个公共点时可能相切也可能相交，注意直线的特殊位置和所过的特殊点2k4 k2 ,x1x2举一反三：x12(x1x2)5，2，4 k2k14 kk2 ,y 12(

8、y1y2) 12(x1 x2)4，k2 ，22变式】双曲线 x2 y2 1的右焦点到直线 x-y-1=0 的距离为 2 ,且 2a2 3c.a2 b22(1)求此双曲线的方程；(2)设直线 y=kx+m(m 0)与双曲线交于不同两点 范围。C、D，若点 A 坐标为 (0，-b)，且|AC|=|AD| ，求实数 k取值2 答案】(1) x3y2 12) ( 3, 3)33)类型三：双曲线的弦例 4.(1)求直线 y x 1 被双曲线 x21截得的弦长；2)求过定点 (0,1) 的直线被双曲线 x21 截得的弦中点轨迹方程 .思路点拨】(1)题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定

9、理进行求解。(2)题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便解：由2x2 y2 1x 4 1得 4x2 (x 1)2 y x 14 0得 3x2 2x 5 0(*)设方程( * )的解为 x1,x2 ，则有 x1x22,x1x2 5 得，33k4 k 244 k2得 4x2 y2 y 0(y 4或 y 0) .方法二： 设弦的两个端点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2)，弦中点为 P(x,y) ，则4x122 y1422得： 4(x1x2)(x1x2) (y1 y2 )( y1 y2) ，4x22y24y1y24(x1x2)，即y4x ，x1x2y1

10、y2xy122即 4x2 y2 y 0 (图象的一部分)【总结升华】 ( 1)弦长公式 |AB| 1 k2 |x1 x2| 1 12 | y1 y2 |；( 2)注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法.举一反三：2 变式】垂直于直线 x 2y 3 0的直线 l 被双曲线 x20y 1 截得的弦长为 4 5 ，求直线 l 的方程53【答案】 y 2x 10 类型四：双曲线的综合问题2例 5.设 P 是双曲线 x2 y 1的右支上的动点， F 为双曲线的右焦点，已知 A（3,1），则 |PA|PF|的最小值 3为【答案】 26 2【解析】设双曲线的另一个焦点为F，则有 F（2，0） ，F（2,0）

11、，连结 AF交双曲线的右支于点 P1，连结P1F，则 |P1F|P1F|2a2.于是 （|PA|PF|）min |P1A|P1F| |P1A|（|P1F|2）|AF|2 26 2.【总结升华】双曲线的定义是解决有关最值问题的重要依据举一反三：变式 1】设 A（3,2） ，F 为双曲线x22y =1 的右焦点，3在双曲线上求一点P，使得 |PA| 1 | PF | 取得最小值时，求 P 点的坐标 .答案】 P 点的坐标为21,23变式 2】一条斜率为的直线 l 与离心率为23 的双曲线 x2a22by2 1(a 0,b0） 交于 P、Q 两点， 直线 luuur与 y 轴交于 R 点，且 OPu

12、uurOQuuur uuur-3,PR 3RQ ，求直线和双曲线方程【答案】直线方程 y2双曲线方程 x2 y2x1则 2c4,c2;2aDF2DF153【巩固练习】一、 选择题1双曲线 3x2y2 3 的渐近线方程是Ay3xB y13x22222椭圆x2 y221与双曲线x2y24 m2m2A1B1c22,a 1, 故离心率2a1C y3x3D yx31有相同的焦点，则m 的值是 （）C1D不存在4, 3 ,且渐近线方程为 y变式 3】（ 2016 年山东文）已知双曲线 E2x2a2 y2 =1( a0 ， b0 )矩形 bABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点

13、，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 【解析】依题意，不妨设 AB 6, AD 4 作出图像如下图所示3（ 2015 新课标文改编）已知双曲线过点）2x2A. y 142xB.22xC.42xD.21 x ,则该双曲线的标准方程为24 （2015 湖北） 将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a和虚半轴长 b（ a b）同时增加 m（ m 0）个单位 长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2，则（）A 对任意的 a，b，e1e2B当 ab时， e1e2；当 ab 时，e1e2C对任意的 a，b，e1b 时，e1e2；当 ae25. 已知双曲线的两个焦点为 F1（ 5，0）、F2

14、（ 5 ，0），P是此双曲线上的一点，且 PF1PF2，|PF1| |PF2|2，则该双曲线的方程是()222222xyA. 1x B.y2 1x2C.y2 1D x2 y 12332446. 已知双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2，在左支上过 F1的弦 AB 的长为 5，若 2a8，那么 ABF2的周长是 （ ）A 16B 18C21D 26二、填空题227已知双曲线 x y 1的右焦点为 F ，12 4斜率的取值范围是 若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线2 x 8（ 2016 葫芦岛二模）已知双曲线 2 a2y2 1（a 0,b 0） 的一条渐近线经过点（ 3，6

15、），则该渐近线 b与圆（x2）2+y2=16 相交所得的弦长为 _2y2 1 （a0， be 的最大值为2y9x29已知双曲线2a4|PF 2|，则此双曲线离心率10设一个圆的圆心在双曲线圆圆心的距离是三、解答题11.已知双曲线的中心在原点，焦点为准方程及其渐近线12设双曲线C：2x2ay 2 1(a率 e 的取值范围：13（ 2016 肇庆三模）3点到直线 l 的距离为 3 c ，4b0）的左、右焦点分别是F1，F2，点 P 在双曲线右支上，且 |PF 1|2x 1的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点16，F2（0，O 到该），且离心率 e 2 ，求双曲线的标0）与直线 l :

16、 x y 1相交于两个不同的点 A 、B ；求双曲线 C 的离心2 设双曲线 x2 a22y2 =1（ 0a0 ， b0）的两个焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双 ab求双曲线的渐近线方程曲线于点 P，且 PF 1F230，22xy15已知双曲线 E： 2 2 1（a0，b0）的两条渐近线分别为 l1：y2x， l 2： y 2x ab（1） 求双曲线 E 的离心率；（2）如图， O为坐标原点，动直线 l分别交直线 l 1， l 2于A ，B两点（A ，B分别在第一、第四象限 ），且OAB 的 面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线

17、 E 的方程，若不存在，说明理由【答案与解析】1.【答案】：C22【解析】：将双曲线化为 x2 y 1，以 0 代替 1，得 x2 y 0，即 y2 3x2 ；33即 y 3x ，故选 C2.【答案】： A【解析】： 验证法：当 m1 时，m21， 对椭圆来说， a24，b2 1，c23.对双曲线来说， a21， b22， c23，故当 m 1 时，它们有相同的焦点 直接法：显然双曲线焦点在 x 轴上，故 4m2 m22. m2 1，即 m1.3【答案】： A解析】：根据双曲线渐近方程为 y1 x 212 x，可设双曲线的方程为 x4 y22m ，把 (4, 3) 代入 x42ym得 m=1.

18、 所以双曲线的方程为4. 【答案】： D解析】 依题意，e1，故选 A 。a2 b21 (ba) ,e2(a m)2 (b m)21 (ab mm)2 ，ambmabbm ab amm(ba)因为，由于 m 0，a0，b0，aama(a m)a(am)所以当a b 时，0b b m1,01,bb m b 2 b ,( ) (m)2，所以 e1 ea a maa m a am当 a e2.aaaaamamamam所以当 ab 时， e1e2；当 ae2.故选 D.5. 【答案】： C【解析】：c 5 ，|PF1|2|PF 2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1| |PF

19、2| 4c2， 4a24c2416， a24，b21.6.【答案】： D【解析】： |AF2|AF1|2a8，|BF2| |BF1|2a8，|AF2|BF 2| (|AF1|BF1|)16，|AF2|BF 2| 165 21， ABF 2的周长为 |AF 2| |BF2|AB|21526.入双曲线方程得 16911.的方程为12.2x2 a x解析】：2x021，所以 x024由条件知焦点在1, 渐近线方程为 y7 16 27 916 ，故 |PO| x02轴上， c 2 2 ， cax.解析】：由 C 与 l 相交于两个不同的点，故知方程组y2 1,y 1.2 7 16y02 7 9161632； 可求 a 2,b c2 a2 2 ；所以双曲线7【答案】：33, 33有两个不同的实数解 .消去 y 并整理得 (1a2)x2+2a2x 2a2=0.3解析】：由题意知 F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为 y33 x，当过点 F的直线与渐近线平行时，满1 a2 0. 所以4 2 24a4 8a2(1 a2) 0.解得 0 a2且a1.足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是双曲线的离心率1eae 6 且e