高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式

1、第六节倍角公式和半角公式第六节倍角公式和半角公式三年三年1313考考 高考指数高考指数: :1.1.会用两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公会用两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系式，了解它们的内在联系. .2.2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和余弦、正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）差化积、半角公式，但不要求记忆）. .1.1.灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变

2、形，进而灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变形，进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容. .2.2.以三角函数为背景，向量为载体考查恒等变形能力也是高考以三角函数为背景，向量为载体考查恒等变形能力也是高考的常考内容的常考内容. .3.3.多以选择题、解答题的形式出现，属中、低档题多以选择题、解答题的形式出现，属中、低档题. .1.1.二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名公式名公式公式二倍角的正弦二倍角的正弦二倍角的余弦二倍角的余弦二倍角的正切二倍角的正切sin2_ 2sincoscos2_ 22cossin_22c

3、os1_212sintan2_ 22tan1tan【即时应用】【即时应用】(1)(1)思考：二倍角公式中对任意的思考：二倍角公式中对任意的都成立都成立吗？吗？提示：提示：不一定不一定, ,当时，公式成立当时，公式成立. .(2) sin15(2) sin15cos15cos15的值等于的值等于_._.【解析】【解析】答案：答案：22tantan21tan k,2k(kz)22 1211sin15 cos152sin15 cos1524 11sin30.48 18(3)(3)若若 则则tan2=_.tan2=_.【解析】【解析】答案：答案：1tan,2 22122tan142tan2.131ta

4、n31 ( )24 432.2.半角公式半角公式cos2_cos2_ 22 以 代, 以代coscos_ sin_cos_22tan_2212sin22cos1212sin222cos121 cos21cos21cos1cos【即时应用】【即时应用】(1)(1)思考：你能用思考：你能用sinsin、coscos表示表示 吗？吗？提示：提示：tan2sinsin2cos222tan2coscos2cos222ggsinsin2sinsin222tan1cos2coscos2sin2221 cos.singg，(2)(2)判断下列公式及其变形是否正确判断下列公式及其变形是否正确.(.(请在括号中填

5、写请在括号中填写“”或或“”)”)21 coscos ()221cossin ()221costan 2sin ()【解析】【解析】根据公式可知根号下分子上应该是根据公式可知根号下分子上应该是“+”+”，故错，故错; ;等号右边分子上应该是等号右边分子上应该是“-”-”，故错；，故错；等号右边分子上应该等号右边分子上应该是是“-”-”，可以化简验证，故错，可以化简验证，故错. .答案：答案：(3)(3)填空：填空：coscos2 21515-sin-sin2 21515=_.=_.2sin2sin2 21515-1=_.-1=_.【解析】【解析】coscos2 21515-sin-sin2 2

6、1515=cos30=cos30= = 2sin2sin2 21515-1=-cos30-1=-cos30= =答案：答案：3;23.23322三角函数的化简三角函数的化简【方法点睛】【方法点睛】三角函数的化简技巧、方法和要求三角函数的化简技巧、方法和要求(1)(1)寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；(2)(2)正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；殊角的三角函数值；(3)(3)一些常规技巧：一些常规技巧：“1”1”的代换、正切化弦、和积互化、异角的代换、正切化弦、

7、和积互化、异角化同角等化同角等(4)(4)三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，正切化弦，特殊值与特函数，异角化为同角，异次化为同次，正切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化殊角的三角函数互化(5)(5)化简要求：化简要求：能求出值的应求出值；能求出值的应求出值；使三角函数种数尽使三角函数种数尽量少；量少；使项数尽量少；使项数尽量少；次数尽量低；次数尽量低；尽量使分母不含三尽量使分母不含三角函数；角函数；尽量使被开方数不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数. .【提醒】【提醒】公式的逆用、变形用十分重

8、要，特别是公式的逆用、变形用十分重要，特别是1+cos2=1+cos2=2cos2cos2 2,1-cos2=2sin,1-cos2=2sin2 2,形式相似，容易出错，应用时要加形式相似，容易出错，应用时要加强强“目标意识目标意识”. . 【例【例1 1】化简下列各式：】化简下列各式：【解题指南】【解题指南】(1)(1)若注意到化简式是开平方根和若注意到化简式是开平方根和22是是的二的二倍，倍，是是 的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；(2)(2)由于分子是一个平方差，分母可通过二倍角公式化简，若由于分子是一个平方差，分母可通过二倍角公式化简，若注

9、意到这两大特征，不难得到解题的切入点注意到这两大特征，不难得到解题的切入点. . 222111131cos2(,2 )_.22222cossin2_.2tan()cos ()44 2【规范解答】【规范解答】(1)(1)因为因为所以所以又因为又因为所以所以所以，原式所以，原式= = 32 ,2 11cos2coscos ,22 3,4211cos|sin| sin,2222 sin.2(2)(2)原式原式= =答案：答案：2cos22tan()cos ()44cos2cos2cos21.cos22sin()cos()sin(2 )442 (1)sin(2)12【互动探究】【互动探究】把本例中的把

10、本例中的(2)(2)改为求改为求【解析】【解析】原式原式= =答案：答案：221cos2_.2tan()sin ()4421cos2122sin()42cos ()4cos()4111cos2cos2cos21222cos222sin()cos()sin(2 )442 12【反思【反思感悟】感悟】1.1.在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于限于22是是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意同时还要注意 三个角的内在联系，三个角的内在联系，是常用的三角变换是常用的三角变换. .2.2.化简题一定

11、要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧. .3.3.常用的公式变形：常用的公式变形：2 ,442sin() cos()44 22sin21cos21 cos2coscos,sin.2sin22 ，cos2sin(2 )2 【变式备选】【变式备选】不查表求不查表求sinsin2 22020+cos+cos2 28080+ sin20+ sin20cos80cos80的值的值. .【解析】【解析】sinsin2 22020+cos+cos2 2

12、8080+ sin20+ sin20cos80cos80= (1= (1cos40cos40)+ (1+cos160)+ (1+cos160)+ sin20)+ sin20cos80cos80=1=1 cos40cos40+ cos160+ cos160+ sin20+ sin20cos(60cos(60+20+20) )=1=1 cos40cos40+ (cos120+ (cos120cos40cos40sin120sin120sin40sin40) )+ sin20+ sin20(cos60(cos60cos20cos20sin60sin60sin20sin20) )=1=1 cos40c

13、os40 cos40cos40 sin40sin40+ sin40+ sin40 sinsin2 22020=1=1 cos40cos40 (1(1cos40cos40)=)=33121231212312123121434343234341.4三角函数式的求值三角函数式的求值【方法点睛】【方法点睛】三角函数式求值的类型和思路三角函数式求值的类型和思路(1)(1)三角函数式求值的类型三角函数式求值的类型三角函数式求值分为直接求值和条件求值三角函数式求值分为直接求值和条件求值, ,直接求值就是直接直接求值就是直接根据三角函数的公式化简变形求得三角函数式的值根据三角函数的公式化简变形求得三角函数式的

14、值. .条件求值条件求值是要根据条件选择合适的公式，进行三角恒等变换求得所需要是要根据条件选择合适的公式，进行三角恒等变换求得所需要的值，同时注意所给角的范围的值，同时注意所给角的范围. .(2)(2)条件求值的一般思路条件求值的一般思路先化简所求式子或所给条件先化简所求式子或所给条件; ;观察已知条件与所求式子之间的联系观察已知条件与所求式子之间的联系( (从三角函数名称及角从三角函数名称及角入手入手););将已知条件代入所求式子将已知条件代入所求式子, ,化简求值化简求值. . 【例【例2 2】(1)(2012(1)(2012合肥模拟合肥模拟) )计算：计算：(2)(2)若则若则tanta

15、n=_.tantan=_.(3)(2012(3)(2012西安模拟西安模拟) )已知已知 则则2sin50sin80 (13tan10 )_.1cos1013cos(),cos(),55 tan()2,42sin2cos_.1cos2【解题指南】【解题指南】(1)(1)把正切函数换成正、余弦函数，再用公式化把正切函数换成正、余弦函数，再用公式化简求值；简求值；(2)(2)利用两角和、差的余弦公式展开求利用两角和、差的余弦公式展开求coscos,sinsincoscos,sinsin，相除得结果；，相除得结果；(3)(3)根据已知条件求出根据已知条件求出tantan，把所给的式子进行变形，代入，

16、把所给的式子进行变形，代入tantan即可即可. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)原式原式= =2sin50cos103sin102cos52sin502sin402sin502cos502cos52cos52 2sin(5045 )2 2sin952 2cos52.2cos52cos52cos5(2)cos(+)=coscos-sinsin= (2)cos(+)=coscos-sinsin= cos(-)=coscos+sinsin= cos(-)=coscos+sinsin= 由由解得解得coscos= ,sinsin= ,coscos= ,sinsin= ,则则 解得解得答案：答案

17、：15352515sin sin1tan tan.cos cos2 1tan(3)tan()2,41tan 1tan.3 222sin2cos2sin coscos2sincos1cos212cos12cos11tan.26 11(1)2(2)(3)26【互动探究】【互动探究】把本例把本例(2)(2)中的中的“cos(+)= ,cos(+)= ,cos(-)= ”cos(-)= ”改为改为“sin(+)= ,sin(-)= ”,sin(+)= ,sin(-)= ”,如如何求何求【解析】【解析】因为因为sin(+)=sincos+cossin= ,sin(+)=sincos+cossin= ,s

18、in(-)=sincos-cossin= ,sin(-)=sincos-cossin= ,两式相加得两式相加得sincos= sincos= 两式相减得两式相减得cossin=- cossin=- 即得即得15351535tantan？15352515tan2.tan 【反思【反思感悟】感悟】三角函数式求值问题的注意点三角函数式求值问题的注意点(1)(1)三角函数式求值时，一定要准确地应用公式和选择恰当的三角函数式求值时，一定要准确地应用公式和选择恰当的思路，否则会使求值过程繁琐思路，否则会使求值过程繁琐. .(2)(2)条件求值要求准确利用所给的条件，在此可能涉及到式子条件求值要求准确利用所

19、给的条件，在此可能涉及到式子的变形和角的变换，同时要注意所给角的范围的变形和角的变换，同时要注意所给角的范围. .【变式备选】【变式备选】已知已知 求求 的值的值. .【解析】【解析】又又故可知故可知从而从而33cos(),45 22 cos(2)42cos(2)cos2 cossin2 sin(cos2sin2 ),4442337,.22444 q3cos()0,45374,sin(),24445 4324cos2sin(2)2sin()cos()2 ().2445525 22sin2cos(2)12cos ()243712 ( ).5252cos(2)(cos2sin2 )42224731

20、 2().2252550 三角恒等式的证明三角恒等式的证明【方法点睛】【方法点睛】三角恒等式证明的方法及切入点三角恒等式证明的方法及切入点(1)(1)证明恒等式的方法：证明恒等式的方法：从左到右；从左到右；从右到左；从右到左；从两边化到同一式子从两边化到同一式子. .原则上是化繁为简，必要时也可用分析法原则上是化繁为简，必要时也可用分析法. .(2)(2)三角恒等式证明的切入点：三角恒等式证明的切入点：看角：分析角的差异看角：分析角的差异, ,消除差异消除差异, ,向结果中的角转化向结果中的角转化; ;看函数看函数: :统一函数统一函数, ,向结果中的函数转化向结果中的函数转化. . 【例【例

21、3 3】证明：】证明： 【解题指南】【解题指南】(1)(1)从等号的左边开始证明先变成相同的角，再从等号的左边开始证明先变成相同的角，再利用公式推导；利用公式推导；(2)(2)从等号的左边证明，主要是利用同角三角函数关系式，注从等号的左边证明，主要是利用同角三角函数关系式，注意意“1”1”的代换的代换. .(1)2sin(x) sin(x)cos2x.44g2212sincos1tan(2).cossin1tang【规范解答】【规范解答】(1)(1)左边左边= = = =右边，原题得证右边，原题得证. .(2)(2)左边左边= = = =右边，原题得证右边，原题得证. .2sin(x) cos

22、(x)44gsin(2x)cos2x222cossin2sincos(cossin ) (cossin )gg2(cossin )(cossin )(cossin )cossin1tancossin1tan【互动探究】【互动探究】把本例把本例(2)(2)中等号左边改为中等号左边改为“ ”“ ”, ,右右边不变，试证明边不变，试证明. .【证明】【证明】左边左边= = = =右边右边. .所以原题得证所以原题得证. .1tan2cos222222sincos2tancossin1tan222221tan2tan(1tan )1tan1tan1tan1tan1tan【反思【反思感悟】感悟】1.1.

23、三角函数式的化简与证明的类型及思路：三角函数式的化简与证明的类型及思路：(1)(1)对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；(2)(2)对三角的分式，基本思路是分子与分母约分和逆用公式，对三角的分式，基本思路是分子与分母约分和逆用公式，最终变成整式或数值；最终变成整式或数值；(3)(3)对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式. .2.2.化简与证明的过程中体现了化归的思想，是一个化简与证明的过程中体现了化归的思想，是一个“化异为同化异为同”的过程，涉及切弦互化，即的过程，涉及切弦互化，即“函数名函数名

24、”的的“化同化同”；角的变换，；角的变换，即即“单角化倍角单角化倍角”、“单角化复角单角化复角”，“复角化单角复角化单角”、“复复角化复角角化复角”等具体手段等具体手段. .【变式备选】【变式备选】在在abcabc中，已知中，已知 求证：求证：【证明】【证明】a cosbbcosaab cosb，22atanab2.babtan2a cosbbcosaab cosbgg(ab) (1 cosb)1 cosaab cosb(ab) (1cosb)1cosa,ab cosb1 cosa(ab) (1 cosb).1cosa(ab) (1cosb) gggggg而而即即222a2sin1 cosaa

25、2tan,a1cosa22cos22221 cosbbtan,1cosb2a(ab)btantan,2(ab)2g22atanab2.babtan2【满分指导】【满分指导】三角函数性质综合题的规范解答三角函数性质综合题的规范解答【典例】【典例】(12(12分分)(2011)(2011四川高考四川高考) )已知函数已知函数 (1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期和最小值的最小正周期和最小值; ;(2)(2)已知已知求证：求证：f()f()2 2-2=0.-2=0.73f(x)sin(x)cos(x),xr.4444cos(),cos(),55 0,2 【解题指南】【解题指南】(1)(1)把

26、把f(x)f(x)化成化成asin(x+asin(x+) )的形式；的形式；(2)(2)利用两角和与差的余弦公式展开，两式相加可得利用两角和与差的余弦公式展开，两式相加可得2coscos=02coscos=0，结合，结合00可得可得=. .【规范解答】【规范解答】3 3分分f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期t=2t=2，f(x)f(x)的最小值为的最小值为-2.-2.5 5分分2273(1)f(x)sin(x2 )sin(x)442 qsin(x)sin(x)2sin(x).444(2)(2)由已知得由已知得两式相加得两式相加得2coscos=0.2coscos=0.8 8分分 1212

27、分分4cos cossin sin,5 4cos cossin sin,5 0,22 q22f( )24sin20.4【阅卷人点拨】【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示解答本题时有三点容易失分：解答本题时有三点容易失分：(1)(1)第第(1)(1)问中三角恒等变换中的诱导公式容易用错，问中三角恒等变换中的诱导公式容易用错，得不到化简后的正确结果得不到化简后的正确结果. .(2)(2)由由,的和差的余弦值得不到的和差的余弦值得不到2coscos=02coscos=0而

28、导而导致后续计算无法进行致后续计算无法进行. .(3)(3)在第在第(2)(2)问中得到问中得到2cos2coscoscos=0=0后忽略后忽略00 得不到得不到的值，而无法继续往下做的值，而无法继续往下做. . 2备备考考建建议议解答此类问题时还有以下几点容易造成失分，在备考解答此类问题时还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：时要高度关注：(1)(1)三角恒等变形转化不准确造成后面求解繁琐或错三角恒等变形转化不准确造成后面求解繁琐或错误误. .(2)(2)忽略特殊角的值而使问题漏解忽略特殊角的值而使问题漏解. .另外，如果给出的三角函数的表达式较为复杂，必须另外，如果给出的三角函数的表达式较为复杂，必须先通过恒等变换，将三角函数