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1、第十六章排列、组合、二项式定理一、排列Pnmn( n1)( n2) ( nm1)n!（如： P535435!）m个相乘( n m)!(53)!二、组合CnmPnm(nn!（如： C53P53(55!543）Pmmm)! m!P333)!3!321C nmC nnm ， C nmC nm 1Cnm1（如： C 53C52 ， C53C 52C63 ）三、二项式定理1.二项式定理： ( a b) nC n0 an0b0C n1 a n 1b1C nn a0bn（ 1）展开式共有n+1 项，其中第r+1 项： Tr 1C nra n rbr（ 2）其中 Cnr （ 0,1,2 ）叫二项式系数2.二项

2、式系数的性质(1) 在二项展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。（对称性）(2) 展开式中 二项式系数 最大的项：nn若 n 是偶数，是中间一项即第Cn2 ；1项，二次项系数为2n 1、 n 1n 1n1若 n 是奇数，是中间两项即第+1 项，二次项系数为Cn2、 Cn2；22Tr1的系数Tr 2的系数求出 r【区别】展开式中 系数 最大的项：1的系数Tr的系数Tr(3) 二项式系数 的和为 2n ，即 C n0C n1C nn2 n【区别】所有 系数的和：令字母为1(4) 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即C n0C n2C n1Cn32 n 13.二项式定理的主要应

3、用(1) 赋值求职；(2) 证明某些整除问题或求余数；(3) 证明关于指数式与多项式的不等式；(4) 进行近似计算。例奇数项 二项 (1 x)n 式系数 和n=22n 1 （参见二项式系数性质（4）2(1i )n(12x)奇数项 系数 (1 x)n 和n=2n（因为它的二项式系数就是系数）(1i )nn=2 2（若 n 是偶数）nn解： (1 i )n(1 i ) 2 22 2Cn0Cn2Cn4n(Cn1Cn3Cn5n 1Cn2Cn2 ) inCn0Cn2Cn4Cn2 （所有奇数项系数）（偶数项的系数和为0）(12x)n3n( 1)n=2解：设 (1 2x)na0a1 xa2 x 2a3 x3an x n令 x=1得 3na0a1a2a3anx=-1 得 ( 1) n

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