精算实务第二章

1、 第二章 损失分布损失分布 损失和赔款损失和赔款损失指的是保险标的在保险事故中遭到的实际损失额。常用一个随机变量来描述。保险公司的赔款额是由保险标的的实际损失所决定的，但又并不总等于保险标的的损失额。2.1 研究损失分布的数学工具研究损失分布的数学工具 2.1.1 随机变量及其分布 例：用x表示保险标的的损失额，a表示合同规定的免赔额，则保险公司承担保险责任的概率为 p（xa）=1f(a)。又损失不超过b（ba）且保险公司承担保险责任的概率 p(ap(axb)= )= f(b) f(a) 。 随机变量及其分布 : 用x、y、z等大写字母表示随机变量;随机变量x的分布函数，记作f（x）= p (

2、x x) ，x r . 2.1.2 离散型随机变量和连续型随机变量 保险期限内，保险标的发生保险事故的次数n的取值只能是0、1、2、，这种只能取有限个值或可列个值的随机变量，我们称之为离散型随机变量。离散型随机变量除了用分布函数刻划其规律以外，还可以用分布列来反映其分布规律。 离散型随机变量的分布列和分布函数的关系可用下式表示：()iixxfxp 离散型随机变量的分布函数是一个右连续的阶梯函数。 其分布函数为：0( )11f xp1100 xxx这种分布我们称为两点分布，或01分布。例2.1.1 （二点分布）设同类保单在保险期限内只有索赔和不索赔两种情况，根据以往经验，索赔的概率为p，那么，任

3、意一份保单在保险期限内的索赔次数x就是取值为0、1的离散型随机变量，其分布列为：在非寿险精算中，一次事故的损失额或者保险期限内的全部损失额x的取值范围是一个区间（0，+ ），象这种取值布满某个区间，并且有密度函数的随机变量，我们称为连续型随机变量。与离散型随机变量的分布列相对应，连续型随机变量可用密度函数来描述其概率分布。例2.1.2 （均匀分布）如果某类保单的免赔额为a, 保险金额为b(0a350,000）= p ( ) p (z1.06) = 1(1.06) = 0.1446 .851iix851350,000 85 3,2008,000 85iixnn 2.2.2 赔款额的理论分布 1.

4、 对数正态分布定义2.2.1 若随机变量x的对数函数 , 则称 x服从以 为参数的对数正态分布，记作 其密度函数为 ：数学期望和方差为： ，2y = ln x n( ,)2,2 x ln( ,)22(ln)21( )02xf xexx22exe222(1)varxee 例2.2.2 已知某一特定风险的赔款额服从参数为 , 的对数正态分布。问：从400元到40,000元的赔案在全部赔案中占多大的比例？解：因为 , 所以， . 7.01.72x ln (7.0, 1.7 ) 2lnx n (7.0, 1.7 )ln400 7.0 ln7.0 ln40,000 7.0p(40040,000) p()

5、1.71.71.7xx (2.12)( 0.59)0.7054 2. 帕累托（pareto）分布帕累托（pareto）分布是又一个常用的赔款额分布。它的密度函数曲线也呈右偏态，但尾部趋于0的速度比对数正态分布慢。帕累托分布的密度函数为： 1( )( )0 xxf x 其他1ex 当 时，帕累托分布的数学期望存在： 当 时，帕累托分布的方差存在： 1222()21varx例2.2.3 设某险种的赔款额x（千元）服从以 ， =2 为参数的帕累托分布。如果有个该险种的超赔再保险合同，自留额为4千元，那么，涉及再保险接受人的那些赔案的平均赔款为多少？解： p (x4) = 1f(4) = 0.125

6、= 2 (千元)342( ) 1.5( ) ,2f xxx32( ) 1 ( ) ,2f xxx 4( )e x-4 4 =(4)0.125f xxxdx 3.伽玛（gamma）分布伽玛分布也是非寿险精算中常用的连续型分布，常用来刻划赔款额的分布和分析风险的异质性。伽玛分布的密度函数为：数学期望和方差分别为： ,矩母函数为：1( )(),0,0,0( )xf xexxex2varx( )(1) ,tm tt 2.2.3 赔款次数的理论分布 1.泊松（poisson）分布泊松分布是一个取非负整数的离散型随机变量的分布，在统计理论中具有十分重要的作用。它常被用来刻划小概率事件发生的次数，因此在非寿

7、险精算中用它来作为赔款次数的分布是适当的。泊松分布的分布列是：其中参数q0. 泊松分布的数学期望和方差都是q . 泊松分布的一个重要性质是：n个相互独立的参数为 q的泊松随机变量的和服从的是参数为nq的泊松分布。这种性质我们常称之为可加性。譬如：正态分布也具有可加性。 ()0 1 2!xqqp xxexx、 、2 二项分布二项分布描述的是n重贝努里试验中事件a(成功)发生x次的概率，因而可以用来作为同质风险等额保单赔款次数的概率分布模型。二项分布随机变量x的分布列为：数学期望和方差分别为：ex =np 和 varx = np(1p) 矩母函数为 :(1) ,1,2()xxn xnppxnp x

8、 x c ( )(1)tnm tpep 二项分布的两种近似计算方法。其一是把二项分布随机变量看作互相独立、同服从二点分布随机变量的和，利用中心极限定理得到：当n充分大时， 近似地服从标准正态分布。一般，在np和np(1p)都大于10时近似程度就不错了。其二是利用二项分布的极限分布泊松分布来作近似计算：当n充分大，p又相当小时，可令q = np 0 ,则有)p1(npnpx(1)!xxxn xqnqc ppex 3.负二项分布负二项分布描述的是：贝努里试验中，第k次发生事件a（成功）前，事件 (失败)发生的次数。负二项分布常用于灾害事故和发病情形的统计问题，在非寿险精算中，常被用来描述风险不同质

9、情况下赔款发生次数的分布。负二项分布也称巴斯卡（pascal）分布。负二项分布的分布列为： 数学期望和方差分别为： ， 特别，k=1时的负二项分布就是几何分布。 a1()(1) ,0,1xkxx kpx xcpp x (1)kpexp2(1)kpvarxp例2.2.4 设某个险种的某个保单持有人在保险期限内的索赔次数服从参数为q的泊松分布。由于保单持有人的风险状况不同。所以q是一个随机变量，假设其服从参数为 的伽玛分布，即则索赔次数服从负二项分布, -1()( u)du,u0 ( )up uqudue11()() ()0,111xxxp xxcx 2.3 赔款总量的分布赔款总量的分布 2.3.

10、1 赔款总量的数字特征和矩母函数 如果在这一定时期内，某险种一共发生n次赔款， 为其中第i次赔款额，那么相应的赔款总量为：假设诸 独立同分布，且与n独立。由条件期望和条件方差的性质以及独立性假设可以得到： ； ixn1iin21xxxxsix1()()esenex211() ()()()varsexvarnen varx13p 例2.3.1 设赔款次数n服从负二项分布，参数 , varn = 24, 第i笔赔款的赔款额 的分布列为 ，i = 1、2、， 互相独立且同分布，试求赔款总量s的数学期望和方差。解：由 得，k = 4。 故又可以算得ex = 3.4， varx = 0.44 , 所以e

11、s = (en) (ex) = 83.4 = 27.2 vars = 280.96. ix5 . 04 . 01 . 043212xx 、2(1)kpvarnp(1)8kpenp如果已知n和 的矩母函数分别为 和 , 那么，s的矩母函数为：ix()nm t()xm t()ln()snxm tmm t例2.3.2 设n服从几何分布，各次赔款额 服从参数为 =1的指数分布，试求s的矩母函数解：指数分布的矩母函数为 , 再由n服从几何分布 ，可得这是常数0的矩母函数1和以p为参数的指数分布的矩母函数的加权平均，权分别为p和1p.与此相应，s的分布函数也是这两个分布函数的加权平均： 这种分布为混合型分

12、布。ix()sm t1()1xm tt()(1)spm tppp t ppt( )(1)(1),0pxf xppex 在一般分布的假设下，我们可用卷积表示赔款总量s的分布。相应地，s的密度函数为：12120*0()() ()()( )nnnnxnp xxxxp xxxxn npn npn nf x ( )sfx*0( )()( )nsxnfxp nn fx 2.3.2 复合泊松分布在上述赔款总量模型中，如果n服从泊松分布，我们就称赔款总量s服从复合泊松分布。定义2.3.1 随机变量 服从以 为参数的复合泊松分布是指它满足： （1）随机变量 相互独立；（2） 具有相同的分布； （3）n服从泊松分

13、布，参数为 1niisx012n x x、 、12x x、0若记具有相同分布的 为x，它们的共同分布函数为f（x）,则复合泊松分布随机变量s的数学期望和方差为： ， 其矩母函数为： 分布函数和密度函数分别为： ixesex2varsex( ) 1( )xmtsm te*1( )( )!nnsxnef xfxn*1( )( )!nnsxnef xfxn 2.3.3 赔款总量的近似模型 在非寿险精算实务中，常用近似模型计算赔款总量的分布。一般常用两种近似模型：在赔款总量分布呈对称状时，用正正态近似态近似；在赔款总量分布右偏时，则用平平移伽玛近似移伽玛近似。 1. 正态近似我们不加证明的介绍下列两个

14、结论： 在s为复合泊松分布的场合，沿用上面的记号，则当 时， 的分布趋于标准正态分布。 2()sexzex 在s为复合负二项分布的场合，n服从以k、p为参数的负二项分布，则当 时，的分布趋于标准正态分布。 k 222111() ()pskexpzppkexkexpp2.平移伽玛近似事实上，赔款总量s的分布常为右偏态，因此在大多数场合用平移伽玛近似比正态近似更为恰当。 我们用 表示以 为参数的伽玛分布函数，对任意一点 ，定义一个新的分布函数 ,并称之为平移伽玛分布，相当于把伽玛分布平移了 个单位。 ( ;,)gamma x , 0 x00( ;,)(;,)h xxgamma xx 0 x平移伽玛

15、分布的三个参数可以通过令它的一阶矩、二阶和三阶中心矩分别与s的一阶矩、二阶和三阶中心矩相等的方程组得到，即 得 3320)ess(e2varsesx2033323()2()()4() 2()varsxese sesvarse sesvarse ses特别，当s为复合泊松分布时， 3223323220exex2)ex()ex(4ex)ex(2exx 如果当 时， ，则平移伽玛分布 趋于正态分布 。 0,x202,x( ; , ,)oh xx 2( ,)n 练习题1.解：由题可得，索赔额x的密度函数为所以索赔额y1.1x的密度函数为1( )( )xf xex11.11( )()( )1.11.1y

16、yf ye1、某类保单在某年的一次赔款额、某类保单在某年的一次赔款额x服从以服从以，为参数为参数的伽玛分布，考虑通货膨胀的影响，估计下一个年度的伽玛分布，考虑通货膨胀的影响，估计下一个年度的一次赔款额的一次赔款额y将比将比x增加增加10%，试求，试求y的分布。的分布。2、如果某连续型随机变量的密度函数f（x）满足：则称该随机变量服从混合指数分布。混合指数分布也常用来描述赔款分布。试计算混合指数分布的矩母函数。 11,0,0,0,1innxiiiiiiif xa exaa2.解：当 时01()()inxtxtxi iimteeea edx()011int xiiiniiiiaedxatit0 x

17、3、已发生的1500次赔款表明其平均赔款额为960元，标准差为120元。若赔款额服从正态分布，试计算 的值，使1500次赔款中有800次的赔款额小于它，而有700次的赔款额大于它，并计算1500次赔款中赔款额小于800元的次数。3.解：由题可知，赔款额 ，则 得1500次赔款中赔款额小于800元的次数为：2(960,120 )xn08p()15xx009609609608p()()12012012015xxx0970 x 960800 9601500p(800) 1500p() 138120120xx4.解：设赔款额 ，则由 得所以 得2( ,)xln 222222960(1) 120eee

18、26.85920.0155000ln6.85926.85926.85928p()p()()150.01550.01550.0155xxxxx06.8695x ln6.8592ln800 6.85921500p(800) 1500p() 1170.01550.0155xx4、如果第3题中赔款额改为服从对数正态分布，试回答同样的问题。解：由于泊松分布具有可加性，所以每份保单一年的索赔次数n服从poisson（0.12），故80000份同类保单一年索赔两次以上的保单数为80000p(2)80000(1 p(0)p(1)p(2)nnnn20.120.120.120.1280000(10.12)2eee215.如果某保险公司承保的每份保单在每个月的可看作以=0.01为参数的泊松分布随机变量，试计算80000分同类保单中，一年赔款两次以上（不包括两次）的保单能有多少份。解：由题可得 得所以一次赔款超过25000元的概率为2222225000(1) 7500eee 27.92791.1787ln7.9279ln25000 7.9279p(25000)p()0.97851.17871.1787xx6、根据过去的经验，某保险公司在某项业务的一次赔款额服从对数正态分布，其平均赔款额为5000元，标准差为7500元。试计算一次赔款超过25000元的概率。解：由题可设，一类保