高中数学必修一ppt课件1.3.1辗转相除法与更相减损术

1、人教版人教版普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书数学数学必修必修3 31.3.11.3.1辗转相除法与更相减损术辗转相除法与更相减损术 “ “求两个正整数的最大公约数求两个正整数的最大公约数”是数学中的是数学中的一个基础性问题，它有各种解决办法，我们以一个基础性问题，它有各种解决办法，我们以此为案例，对该问题的算法作一些探究此为案例，对该问题的算法作一些探究. .解：解：2 1 8 2 4 用公有质因数用公有质因数2除，除， 3 9 1 2 用公有质因数用公有质因数3除，除， 3 4 3和和4互质不除了。互质不除了。 得：得：18和和24最大公约数是：最大公约数是：236 例例

2、1.1.求求1818与与2424的最大公约数：的最大公约数：短除法短除法想一想，如何求想一想，如何求8251与与6105的最大公约数？的最大公约数？解：因为解：因为 8251=61058251=61051+2146 1+2146 6105=21466105=21462+1813 2+1813 2146=18132146=18131+3331+3331813=3331813=3335+1485+148333=148333=1482+372+37148=37148=374+04+0所以所以 3737是是82518251和和61056105的最大公约数的最大公约数 例例1.1.求求82518251与

3、与61056105的最大公约数：的最大公约数：为什么？为什么？辗转相除法辗转相除法（欧几里得算法）（欧几里得算法）试试看：试试看：用辗转相除法求用辗转相除法求225225和和135135的最大公约数的最大公约数思考：思考：上面两个例子中的算理是什么？上面两个例子中的算理是什么？ 1 1：用大数除以小数：用大数除以小数2 2：除数变成被除数，余数变成除数：除数变成被除数，余数变成除数3 3：重复：重复1 1、2 2，直到余数为，直到余数为0 0辗转相除法（欧几里得算法）辗转相除法（欧几里得算法） 定义：定义：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除

4、以较小的数。若余数不为零，则将余数用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。最大公约数。主要运用的是主要运用的是哪种算法结构？哪种算法结构？m = n q r8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0辗转相除法（欧几里得算法）辗转相除法（欧几里得算法）(1)(1)算法步骤：算法步骤：

5、第一步：输入两个正整数第一步：输入两个正整数m,n(mn).第二步：计算第二步：计算m除以除以n所得的余数所得的余数r.第三步：第三步：m=n,n=r.第四步：若第四步：若r0,则则m,n的最大公的最大公约数等于约数等于m； 否则转到第二步否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数第五步：输出最大公约数m.算法、框图、程序算法、框图、程序m = n q r辗转相除法（欧几里得算法）辗转相除法（欧几里得算法）(2)(2)程序框图：程序框图：开始开始输入输入m,n r=m mod n m=nr=0?是是否否 n=r 输出输出m结束结束8251=61051+2146 6105=21462+1813 2

6、146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0m = n q r辗转相除法（欧几里得算法）辗转相除法（欧几里得算法）(3)(3)程序：程序：input “m,n=”;m,ndo r=m mod n m=n n=rloop until r=0print mend8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0例例2. 2.求求9898与与6363的最大公约数的最大公约数. .解：解： 98986363353563633535282835352

7、8287 728287 7212121217 7141414147 77 7所以，所以，9898和和6363的最大公约数等于的最大公约数等于7 7 这又是为什么？这又是为什么？更相减损术更相减损术思考：思考：上面例子中的算理是什么？上面例子中的算理是什么？ 定义：定义：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的执行此步骤直到差数和较小的数相等，

8、此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。两数便为原来两个数的最大公约数。更相减损术更相减损术 九章算术九章算术中的更相减损术：可半者半之，不可半中的更相减损术：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。等也，以等数约之。背景介绍：背景介绍：循环结构循环结构1.用更相减损术求两个正数用更相减损术求两个正数84与与72的最大公约数的最大公约数 练习：练习：思路分析：先约简，再求思路分析：先约简，再求21与与18的最大公约数的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数然后乘以两次约简的质因数4。2.求求324、243、

9、135这三个数的最大公约数。这三个数的最大公约数。思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。数的最大公约数即为所求。请比较辗转相除法与更相减损术的区别请比较辗转相除法与更相减损术的区别思考思考? ?（1 1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。大小区别较大