定积分知识点总结.docx

1、.定积分知识点总结北京航空航天大学李权州一、定积分定义与基本性质1.定积分定义设有一函数 f(x) 给定在某一区间 a,b 上. 我们在 a 与 b 之间插入一些分 点 ax0x1x2.xnb .而 将 该 区 间 任 意 分 为 若 干 段 .以 | 表 示 差 数xixi 1xi (i0,1,., n1) 中最大者 .在每个分区间 xi , xi 1 中各取一个任意的点xi .xiixi 1 (i0,1,., n1)而做成总和n 1f ( i )xii0然后建立这个总和的极限概念：I lim| | 0另用 语言进行定义：0，0，在 |时，恒有|I |则称该总和在0时有极限 I .总和在0

2、时的极限即 f(x) 在区间 a 到 b 上的定积分，符号表示为bIf (x) dxa2.性质 设 f(x) ，g(x) 在a,b 上可积，则有下列性质(1) 积分的保序性w.bb如果任意 xa,b, f ( x), g( x) ，则f ( x) dxg ( x) dx,aab特别地，如果任意xa,b, f ( x)0,则f (x) dx0a(2) 积分的线性性质bbb( f (x)g ( x) dxf ( x) dxg ( x) dxaaabb特别地，有cf ( x)dxcf ( x) .aa设 f(x) 在a,b 上可积，且连续，(1)设 c 为a,b 区间中的一个常数，则满足bcbf (

3、 x)dxf ( x)dxf ( x)dxaac实际上，将 a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立.(4) 存在a,b ，使得bf ( x)dx(ba) f ( )a二、达布定理1.达布和分别以 mi 和 M i 表示函数 f(x) 在区间 xi , xi 1 里的下确界及上确界并且做总和nnS(, f )M i ( xixi 1 ), S(, f )mi (xixi 1)i 1i 1S( , f ) 称为 f(x) 相应于分割的达布上和，S( , f ) 称为 f(x) 相应于分割的达布下和特别地，当 f(x) 连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下

4、f(x) 在没一个区间上都可以达到其上下确界.回到一般情况，有上下界定义知道w.mif ( i ) M i将这些不等式逐项各乘以xi ( xi 是正数 )并依 i 求其总和，可以得到S( , f )S( , f )推论 1设 f(x) 在a,b 上有界 . 设有两个分割 ， ， 是在的基础上的加密分割，多加了 k 个新分店，则S( , f )S(, f )S( , f )k|,S( , f )S(, f )S( , f )k|,这里M m,M ,m 分别为 f 在a,b 上的上、下确界 .推论 2设 f(x) 在a,b 上有界 . 对于任意两个分割,，有m(ba)S(, f )S(, F )M

5、 ( ba)2.达布定理定义设 f(x) 在a,b 上有界，定义Iinf S( , f ) |为 a, b上一个分割 ，Isup S(, f ) |为 a,b上一个分割 。称 I 为 f(x) 在a,b 上的上积分， I 为 f(x) 在a,b 上的下积分 .定理对于 f(x) 在a,b 上的有界函数，则有limS( , f )I , lim S( , f )I .| 0| 03.函数可积分条件设 f(x) 在a,b 上有界，下列命题等价：(1)f(x) 在a,b 可积；(2) I I;n(3) 对于 a,b 上的任何一个分割， lim0i (xixi 1 )0 ；| |i 1(4) 任给0

6、，存在0 ，对于 a,b 上的任何分割，当 | |，有w.ni ( xixi 1 )i 1成立；(5) 任给0，在 a,b 存在一个分割，当 | |时有ni ( xixi 1)i 1成立 .这里 iM imi 为 f(x) 在区间 xi , xi 1 上的振幅 .三、微积分基本定理定理（Newton-Leibniz公式）设 f(x) 在a,b 上可积，且在 a,b 上有原函数 F(x) ，则bf ( x) dxF ( b)F ( a)a注： 1.f(x)是 f(x) 的原函数，故当f R(a, b) 时，该公式可写为bf ( x) dxf (b)f (a)a2.上述定理并不是说可积函数一定有圆

7、环数，而是说如果存在原函数， 那么可用来计算定积分的值 .Newton-Leibniz公式把原先在复杂的定积分中的定义的积分值计算化为求原函数的问题，为普及微积分打开了大门.四、定积分的计算除了利用 Newton-Leibniz公式计算微积分外，还可以使用换元公式和分部积分计算微积分 .b1 定积分中变量替换公式设要计算积分f ( x)dx ，这里f(x) 是在区间 a,b 内连续的 .aw.令 x(t) ，函数(t) 具备下列条件：1）函数(t ) 在某一区间 , 内有定义且连续，而其值当t 在 , 内变化时恒不越出区间 a,b 的范围；2）()a,()b;3）在区间 , 有一连续函数 (t

8、) .于是成立公式bf ( x)dxf (t)(t) dta由于被积函数假设是连续的，不但这些定积分存在， 同时其相应不定积分也存在，并且在两情形都可以用基本公式.2 定积分的分部积分法在不定积分部分曾经讨论过公式udvuvvdu,这里假设以 x 为自变量的函数u，v 以及其导函数u，v都是在考虑区间 a,b 里连续的. 则我们有bbbudv uvvduaaa五、定积分中值定理微分中值公式F (b)F (a)F ( )(ba),(a,b)说明，函数值的差可以通过其导数值来表达和估算. 如果从微分运算的逆运算来认识积分运算，那么就有相应的积分的中值公式：记F(x)=f(x) ，即把 F(x)看作

9、是可积函数f(x) 的原函数，则上述公式化为bf (x)dxf ( )(ba),(a,b)a这一类公式称之为积分中值公式， 它显示出一个函数的定积分可以通过其自身进行表w.达和估算 .上述公式的几何意义可以从面积的意义来考察：设 f(x) 是a,b 上的正值连续函数，则公式左边的面积与右边表达式所代表的举矩形面积相等， 而矩形的高 f ( ) 正是 f(x) 在a,b上的积分平均值：f ( )1bf (x)dxb a a1 定积分第一中值公式设 gR( a,b) ， 且 函 数 值 不 变 号 ( 即 对 一 切x a, b, g (x)0或g( x)0 ).(1)若 fR( a,b) ，且记

10、 Msup f ( x) ，minf f ( x) ，则存在 : mM , x a,b ，a ,b a ,b使得bbf ( x)g ( x)dxg(x)dxaa(2) 若 fC( a,b) ，则存在a,b ，使得bbf ( x) g (x)dxf ( )g ( x)dxaa2 定积分第二中值公式k引理 (Abel) 设有两组数 a1 ,a2 ,., an , b1 ,b2,., bn 记 Akai (k 1,2,., n) ，则i1nn 1ai biAi (bibi 1 ) Anbni 1i 1推论 若有 m AkM (k1,2,., n) ，且 b1b2. bn 0 ，则有mb1nai bi

11、Mb1i 1定理 (Bonnet 型 )设 gR( a,b) .(1)若 f(x) 是a,b 上非负递减函数，则存在a, b ，使得bf (a) g(x)dxf ( x)g( x)dxaaw.(2) 若 f(x) 是a,b 上非负递增函数，则存在 a,b ，使得bf (a) g( x)dxf ( x) g (x)dxaa3 定积分第三中值公式定理 (Weierstrassz 型)设 f(x) 在a,b 上是单调函数， gR( a, b) ，则存在a,b ，使得bbf (x) g( x)dxf (a)g (x)dxf (b)g( x)dxaa六、函数可积分的勒贝格定理定义设 A 是实数集合，若，对任意0 ，存在至多可数的系列开区间 I n , nN * ，它是 A 的一个开覆盖，并且| I n |n 1，则称 A 为零测度集或