大数定律与中心极限定理

1、大数定律与中心极限定理切比雪夫不等式切比雪夫定理伯努里定理中心极限定理下一张幻灯片引言 大量随机现象的平均结果实际上是与各个个别随机现象的特征无关,并且几乎不再是随机的了.所有这些事实都应该由概率论作出理论上的结论. 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称为大数定律大数定律.大数定律是一种表现必然性与偶然性之间的辩证联系的规律.由于大数定律的作用,大量的随机因素的总和作用必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果. 下一张幻灯片切比雪夫不等式为了证明一系列关于大数定律的定理,我们首先证明切比雪夫不等式. 设随机变量有数学期望 e及方差 d,则对于任何正数,下列不等式成立: ,

2、d)|e(|p2 或或 ,d)|e(|p21 如图，若曲线表示的密度曲线， 则切比雪夫不等式表示 ,ds21 -2-1120.10.20.30.4e+ese-下一张幻灯片切比雪夫不等式的作用 当我们仅仅知道随机变量当我们仅仅知道随机变量的数学期望与方差时，由的数学期望与方差时，由它们可以近似估计出它们可以近似估计出的取值在以的取值在以e为中心的某范围为中心的某范围内的概率内的概率.例例 设 随 机 变 量 的 数 学 期 望e =5， 方 差d =2， 试 估 计 落 在 区 间 1， 9的 概 率 至 少 有 多 大 ？ 解解 利 用 切 比 雪 夫 不 等 式 可 估 计 出 ：87421

3、45912)|(|p)(p. 下一张幻灯片切比雪夫定理设 独 立 随 机 变 量，n21 分 别 有 数 学 期 望，neee21 及方差，nddd21 ， 并且方差是一致有界的，即存在某一个常数 k,使得,ikdi21， 则对于任何正数，恒有11111)|enn(|plimniiniin. 下一张幻灯片切比雪夫定理的意义由于 独立随机变量，n21的 算 术 平 均 值niinn11的 数 学 期 望niinene11及 方 差niindnd121， 当 各 个 方 差 一 致 有 界 时 ，nknkndn21.由此可见， 当 n 充分大时， 随机变量n的分布的分散程度是很小的.即n的值比较集

4、中在其数学期望附近，这就是大数定律大数定律. 下一张幻灯片伯努里定理在独立试验序列中，在独立试验序列中，当试验次数无限增加时，事件当试验次数无限增加时，事件a a的频率按概率收敛于事件的频率按概率收敛于事件a a的概率的概率. 设事件 a 的概率p(a)=p,m 表示事件 a 在 n 次独立试验中发生的次数,则事件a的频率 nm)a(fn, 于是伯努利定理可以用公式表示如下: 对于任何正数,恒有 1)|pnm(|plimn 下一张幻灯片中心极限定理 在随机变量的一切可能的分布律中,正态分布占有特殊重要的地位.实践中经常遇到的大量的随机变量都是服从正态分布的.就提出这样的问题:为什么正态分布如此

5、广泛地存在,从而在概率论中占有如此重要的地位?应该如何解释大量随机现象中的这一客观规律呢？ 概率论中有关论证随机变量之和的极限分布为正态分布的定理称为中心极限定理中心极限定理.下一张幻灯片列维列维定理定理 设独立随机变量,n21服从相同的分布， 并且有数学期望与方差 ), n ,i (d,eii21 02， 则当n时，它们的和的极限分布是正态分布，即 ztniindte)znn(plim21221 其中z为任意实数. 下一张幻灯片列维列维定理应用例定理应用例子子 计算机进行加法计算时,把每个加数取为最接近于它的整数来计算.设所有的取整误差是相互独立的随机变量,并且都在区间-0.5,0.5上服从

6、均匀分布,求 300 个数相加时误差总和的绝对值小于 10 的概率. 解解 设随机变量i 表示第 i 个加数的取整误差,则i 在区间-0.5,0.5上服从均匀分布,并且有 ,3001,2,i 121 0,d,eii .于是,按公式(5.17)得所求的概率 95440222123001030013001.)()()/(p)(piiii 下一张幻灯片德莫弗德莫弗-拉普拉斯拉普拉斯定理定理 设在独立试验序列中， 事件a在各次试验中发生的概率为p(0p1),随机变量n表示事件a在n次试验中发生的次数，则有 ztnndte)znpqnp(plim2221 其中z为任意实数，q=1-p. 下一张幻灯片德莫

7、弗德莫弗-拉普拉斯拉普拉斯定理应用例定理应用例子子 某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需要的电功率为q千瓦.由于工艺等原因,每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%,各台机器是否工作是相互独立的.求:（1） 任一时刻有144至160台机器正在工作的概率;（2） 需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不小于0.99?下一张幻灯片解：设事件 a 表示机器工作， 则可把 200 台机器是否工作视作200 重 贝 努 利 试 验 . 已 知 n=200,p=0.75,q=0.25,np=150, 1246.npq ，故 （1）设表示任一时刻处于工作状态的机器数，则 785309800633112461501441246150160160144.).().().().()(p 下一张幻灯片（2）设任一时刻正在工作的机器数不超过m，则题目要求 9900.)m(p 利用（5.19）式得 990124615001246150.).().m( 因052412461500).().(， 故99012