第2章插值法二

1、数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 1求多项式求多项式 ，满足：，满足：2.6 hermite2.6 hermite插值（埃尔米特插值）插值（埃尔米特插值）1.1. 问题：实际问题中，要求插值多项式在节点上，问题：实际问题中，要求插值多项式在节点上， 函数值相等，并且导数值也相等。函数值相等，并且导数值也相等。 （这里只讨论函数值与导数值相等的情形）（这里只讨论函数值与导数值相等的情形）描述：设描述：设 ，在节点，在节点 上有：上有： xfy bxxxan 10 xh n,jxfm,xfyjjjj10 n,jmxh,yxhjjjj10 这里这里 个节点，给出个节点，给出 个条件（增加了节点数）

2、，个条件（增加了节点数），可唯一确定一个次数不超过可唯一确定一个次数不超过 的多项式，即：的多项式，即：1 n22 n12 n 12121012 nnnxaxaaxhxh数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2节点值节点值 个，基函数个，基函数 个，多项式次数为个，多项式次数为2.2. 利用利用lagrange基函数计算：基函数计算：构造函数值的基函数构造函数值的基函数 、导数值的基函数、导数值的基函数 ， xj xj 12 n22 n njjjjjnxmxyxh012 njjjjjnxmxyxh012 注：第二式为导数值注：第二式为导数值22 n由基函数构造多项式：由基函数构造多项式：数值分析

3、数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 3满足：满足： 函数值相等函数值相等 n,kyxhkkn1012 jkkjx kj, 0kj, 1 n,k, j,xkj100 注：函数值满足插值条件时，导数值为零。注：函数值满足插值条件时，导数值为零。 导数值相等导数值相等 n,kmxhkkn1012 n,k, j,xkj100 kj, 0kj, 1 jkkjx 注：导数值满足插值条件时，函数值为零。注：导数值满足插值条件时，函数值为零。数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 4利用利用 lagrange 基函数：基函数： njjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxl 110110 21101102 n

4、jjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxl 次多项式次多项式n 次多项式次多项式n2并且并且： kjxlkj, 0kj, 1 kjxl2kj, 0kj, 1数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 5假设假设： xlbaxxjj2 （ 次多项式）次多项式）12 n 12 jjjjjxlbaxx 、 为待定系数：为待定系数：ab 022 jjjjjjjjjxlxlbaxxalx 即：即：1 baxj 02 jjxla解方程组得：解方程组得： ， jjxla 2 jjjxlxb 21数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 6求求 ? jjxl对基函数求对数：对基函数求对数： njkkkjnjk

5、kkjxxxxxl00lnlnln再对上式求导：再对上式求导： njkkkjjxxxlxl011 时：时：jxx njkkkjjjxxxl01 1 jjxl数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 7因此：因此： xlxxxxxjnjkkkjjj20121 xlxxxjjj2 （同理）（同理）hermite 插值公式：插值公式： njjjjjnxmxyxh012 njjjjjnxmxyxh012 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 83.3. 证明插值多项式的唯一性证明插值多项式的唯一性反证：反证：设满足插值条件有两个不同的多项式设满足插值条件有两个不同的多项式 、 xhn 12 xhn 12 并设

6、函数并设函数 （ 次多项式）次多项式） xhxhxnn1212 12 n在每个节点在每个节点 上有二重根上有二重根 ：kx n,k10 01212 knknkxhxhx 01212 knknkxhxhx 共有共有 个节点，个节点， 应有应有 个重根。个重根。1 n x 22 n但但 为次数不高于为次数不高于 的多项式，最多有的多项式，最多有 个重根。个重根。 x 12 n12 n因此：因此： ， 0 x knknxhxh1212 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 94.4. 插值余项（与证明插值余项（与证明 lagrange 插值余项类似）插值余项类似） xnfxhxfxrnnn212212

7、!22 特例：特例： 时，时，hermite 插值多项式插值多项式1 n两个节点两个节点 、 ，有三次多项式，有三次多项式 满足：满足：kx1 kx xh3 kkyxh 3 kkmxh 3 113 kkyxh 113 kkmxh相应有三次插值多项式，构成：相应有三次插值多项式，构成： xmxmxyxyxhkkkkkkkk11113 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 10基函数取值表：基函数取值表： xxxxxxxxxxxxkkkkkkkkkkkk1111111000010000100001 xlxxxxxjnjkkkjjj20121 基函数为：基函数为： 2111121 kkkkkkkxxx

8、xxxxxx 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 11基函数为：基函数为： 211121 kkkkkkkxxxxxxxxx 2111121 kkkkkkkxxxxxxxxx 211 kkkkkxxxxxxx 2111 kkkkkxxxxxxx 插值余项为：插值余项为： 21243!41 kkxxxxfxr 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 12p30例题例题2-5 求满足求满足 及及 的的插值多项式及其余项表达式。插值多项式及其余项表达式。 jjxfxp 210 ,j 11xfxp 解解：节点函数值和导数值：节点函数值和导数值 个，可确定次数不超过个，可确定次数不超过 的插值多项式的插值多项

9、式43多项式通过点多项式通过点 、 及及 ： 00 xf,x 11xf,x 22xf,x 102100100 xxxxx,x,xfxxx,xfxfxp 210 xxxxxxa 其中其中 为待定常数，由节点导数值为待定常数，由节点导数值 确定：确定：a 210121001101xxxxx,x,xfxxx,xfxfa 11xfxp 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 13为求出插值余项，假设：为求出插值余项，假设： 2210 xxxxxxxkxpxfxr 其中其中 为待定函数，构造：为待定函数，构造： xk 2210 xtxtxtxktptft 显然，上式满足插值条件，存在显然，上式满足插值条件，存在 个零点（重根算两个）。个零点（重根算两个）。5反复应用反复应用 roll