[理学]行列式典型例题ppt课件

1、第五节 典型例题 n阶行列式的计算是学习线性代数的根底，阶行列式的计算是学习线性代数的根底，在以后的各章中都要用到它。这里主要应该掌在以后的各章中都要用到它。这里主要应该掌握的根本方法是：握的根本方法是：1. 用用n阶行列式的性质把普通行列式化成阶行列式的性质把普通行列式化成特殊行列式如上三角行列式等来计算。特殊行列式如上三角行列式等来计算。2. 用用n阶行列式的展开定理，把行列式按阶行列式的展开定理，把行列式按某一行列展开，即化高阶行列式为低某一行列展开，即化高阶行列式为低阶行列式来计算。阶行列式来计算。(Laplace定理定理)3. 其他方法：对于具有特殊方式的行列式，其他方法：对于具有特

2、殊方式的行列式，有一些特殊的方法：递推、归纳、加边等有一些特殊的方法：递推、归纳、加边等. 证明证明用数学归纳法用数学归纳法21211aaD 12aa , )(21ijjiaa）式式成成立立时时（当当12 n证明范得蒙证明范得蒙(Vandermonde)行列式行列式例例1nijjinnnnaaaaaaaaaaaVnnn1212121)(111111222(1)阶范德蒙行列式成立，1）对对1假设设n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaVnnnnnnnnn就有提出，因子列展开，并把每列的公按第)(11aa

3、i)()()(211312jnijinnaaaaaaaaV).(1jnijiaa 223223211312111)()(nnnnnnaaaaaaaaaaaa n-1阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式留意：范德蒙行列式是等于零留意：范德蒙行列式是等于零a1, a2, , an中至中至少有两元素相等少有两元素相等.例例2计算计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。.111222333222nnnVnnnn，于是

4、得到，于是得到增至增至幂次数便从幂次数便从则方则方若提取各行的公因子，若提取各行的公因子，递升至递升至而是由而是由变到变到序排列，但不是从序排列，但不是从次数自左至右按递升次次数自左至右按递升次方幂方幂数的不同方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个中各行元素分别是一个10.1, 10, nnnDn解解.!1212121333122211111nnnVnnnnn上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1nnnnnnnnnVnijjinaann

5、nnnxaaaaxaaaaxaaaaxD321321321321例例3计算计算n阶行列式阶行列式加边法：行列式的每行或每列除对角线上元素加边法：行列式的每行或每列除对角线上元素外分别是某个数的倍数外分别是某个数的倍数.)(321321321321nxaaaaxaaaaxaaaaxnnnnnD) 1(00001321321321321321nxaaaaxaaaaxaaaaxaaaannnnn ) 1(00010001000100011332211321naxaxaxaxaaaannn 这种方式的行列式简称这种方式的行列式简称“两边加一对角线两边加一对角线行列式，它必可利用行列式性质化为三角形行行

6、列式，它必可利用行列式性质化为三角形行列式而求得其值，所以列式而求得其值，所以) 1(100010100100101000111333222111nxaaxaaxaaxaaDnnnn) 1(100000100000100000101)(33322211111nxaaxaaxaaxaaxaaxannnniiiiniii)1 () 1( )(11niiiinniiixaaxa)1 ( )(11niiiiniiiaxaax例例4xaaaaxaaaaxaaaaxDn计算计算n阶行列式阶行列式解解将左上角的将左上角的x改写为改写为(xa)a，第一列的，第一列的(a)均改写为均改写为0( a)，于是第一列

7、各元素均为两，于是第一列各元素均为两项之和，于是项之和，于是xaaaaaaxaaaaxaaaxaaaxaaaaxDn000 11)()(nnnaxaDaxD即即1利用类似的方法，可得利用类似的方法，可得xaaaxaaaaxaaxaaaxDn0011)()(nnaxaDax2故从式故从式1与与2中可以消去中可以消去Dn-1)()(21nnnaxaxDxaaaaxaaaaxaaaaxDn例例5计算计算n阶行列式阶行列式解法解法1化为三角行列式化为三角行列式 此题的特点与此题的特点与2例例6一样一样. 把各行都加把各行都加到第一行上，然后提出公因式到第一行上，然后提出公因式x+(n 1)a，得得xa

8、aaaxaaaaxaanxDn1111) 1( (-a)(-a)(-a)axaxanx0000111) 1(1)() 1(naxanx解法解法2化为两边加一对角线行列式化为两边加一对角线行列式xaaaaxaaaaxaaaaxDn(-1)(-1)(-1) axxaaxxaaxxaaaax0000001)() 1(naxanxaxaxaxaaaanx000000000) 1(加边法加边法将将Dn添加一行、一列，构成添加一行、一列，构成n+1阶行列式。阶行列式。xaaaxaaaxaaaDDnn00011解法解法3 (-1)(-1)(-1)把行列式的第把行列式的第2、3、n+1列分列分别提出公因子别提

9、出公因子x-a，得，得axaxaxaaa00100100111010111axaaxa1000010000101)(axaaxaaxaaxnaaxn1)() 1(naxanx解法解法4递推法递推法 将将Dn的第一列元素都写成两个元素之和，然的第一列元素都写成两个元素之和，然后将后将Dn拆成两个拆成两个n阶行列式的和，再利用递推关阶行列式的和，再利用递推关系系xaaaxaaaaaxDn00)(xaaaxaaaaaaaxaaax0011)()(nnaxaDax122)()()(nnnaxaaxaDaxax122)(2)(nnaxaDax1)1(1)() 1()(nnnnaxanDax) 1()(1

10、1anDaxn1)() 1(naxanx例例6 计算行列式计算行列式21001200012100012100012nD解：此类型行列式称为三对角线型，常采用方法是将解：此类型行列式称为三对角线型，常采用方法是将两条次对角线中某一条上元素全化为零或递推法两条次对角线中某一条上元素全化为零或递推法.21001200012100012100012nD)21(21001200012100012/3000012)32(21001200013/4000012/3000012=nnnn/ ) 1(0001/ ) 1(00013/4000012/3000012=n+1.例例7用行列式定义计算用行列式定义计算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD 的非零元素分别得到的非零元素分别得到行可能行可能中第中第那么，由那么，由行的元素分别为行的元素分别为中第中第设设5 , 4 , 3 , 2 , 1,5 , 4 , 3 , 2