2021届高考数学一轮复习第六章数列顶层设计前瞻数列热点问题教学案含解析新人教A版

1、数列热点问题数列热点问题三年真题考情核心热点真题印证核心素养等比(差)数列的判定与证明2019全国，19；2018全国，17；2017全国，17逻辑推理、数学运算通项与求和2019天津，19；2018全国，17；2018全国，17数学运算、数学建模等差与等比数列的综合问题2019全国，18；2019全国， 18； 2019北京， 16； 2017全国，17；2018天津，18；2018全国，17；2018浙江，20数学运算、逻辑推理热点聚焦突破教材链接高考等比(差)数列的判定与证明教材探究1.(必修 5p50 例 2)根据图 2.42 中的框图(图略，教材中的图)，写出所打印数列的前 5 项，

2、并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗？2.(必修 5p69b6)已知数列an中，a15，a22，且an2an13an2(n3).对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？试题评析(1)题目以程序框图为载体给出递推数列an，其中a11，an12an1(n1).进而由递推公式写出前 5 项，并利用定义判断数列an是等比数列.(2)题目以递推形式给出数列，构造数列模型bnanan1(n2)，cnan3an1(n2)，利用等比数列定义不难得到bn，cn是等比数列，进而求出数列an的通项公式.两题均从递推关系入手，考查等比数列的判定和通项公式的求解，突显数学运算与逻辑推理等数学核心素养

3、.【教材拓展】 (2019绵阳检测)已知数列an满足a11，nan1(n1)an123n.(1)求证：数列ann是等差数列；(2)若bn1an，求数列bn的前n项和sn.(1)证明nan1(n1)an123nn（n1）2，nan1n（n1）（n1）ann（n1）an1n1ann12，数列ann是首项为 1，公差为12的等差数列.(2)解由(1)知，ann112(n1)n12，ann（n1）2.bn1an2n（n1）21n1n1 .snb1b2bn2(11212131n1n1)2nn1.探究提高由数列的递推公式证明数列是等差或等比数列，并求其通项公式是数列命题的常见题型，解题的关键是通过适当的变

4、形，转化为等差、等比等特殊的数列问题.【链接高考】 (2019全国卷)已知数列an和bn满足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式.(1)证明由题设得 4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn112(anbn).又因为a1b11，所以anbn是首项为 1，公比为12的等比数列.由题设得 4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因为a1b11，所以anbn是首项为 1，公差为 2 的等差数列.(2)解由(1)知，anbn12n1，anbn2n1，所以an12(anb

5、n)(anbn)12nn12，bn12(anbn)(anbn)12nn12.教你如何审题等差与等比数列的综合问题【例题】 (2018天津卷)设an是等差数列，其前n项和为sn(nn n*)；bn是等比数列，公比大于 0，其前n项和为tn(nn n*).已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求sn和tn；(2)若sn(t1t2tn)an4bn，求正整数n的值.审题路线自主解答解(1)设等比数列bn的公比为q(q0).由b11，b3b22，可得q2q20.因为q0，可得q2，故bn2n1.所以tn12n122n1.设等差数列an的公差为d.由b4a3a5，可得a13d4.由b

6、5a42a6，可得 3a113d16，从而a11，d1，故ann.所以snn（n1）2.(2)由(1)，有t1t2tn(21222n)n2（12n）12n2n1n2.由sn(t1t2tn)an4bn可得n（n1）22n1n2n2n1，整理得n23n40，解得n1(舍)，或n4.所以n的值为 4.探究提高1.本题主要考查利用等差、等比数列通项公式与前n项和公式计算，突出方程思想和数学运算等核心素养，准确计算是求解的关键.2.利用等差(比)数列的通项公式及前n项和公式列方程(组)求出等差(比)数列的首项和公差(比)，进而写出所求数列的通项公式及前n项和公式，这是求解等差数列或等比数列问题的常用方法

7、.3.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化.【尝试训练】 (2019全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a216.(1)求an的通项公式；(2)设bnlog2an，求数列bn的前n项和.解(1)设an的公比为q，由题设得 2q24q16，即q22q80.解得q2(舍去)或q4.因此an的通项公式为an24n122n1.(2)由(1)得bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前n项和为 132n1n2.满分答题示范数列的通项与求和【例题】 (13 分)(2019天津卷)设an是等差数列，bn是等比数列，公

8、比大于 0.已知a1b13，b2a3，b34a23.(1)求an和bn的通项公式；(2)设数列cn满足cn1，n为奇数，bn2，n为偶数.求a1c1a2c2a2nc2n(nn n*).规范解答解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q(q0).依题意，得3q32d，3q2154d，解得d3，q3，由条件建立方程组求公差和公比 3故an33(n1)3n，bn33n13n.由公式求通项所以an的通项公式为an3n，bn的通项公式为bn3n.5(2)a1c1a2c2a2nc2n(a1a3a5a2n1)(a2b1a4b2a6b3a2nbn)根据数列特征分组 7n3n（n1）26(6311

9、23218336n3n)应用公式求和 93n26(131232n3n).记tn131232n3n，则 3tn132233n3n1，得，2tn332333nn3n13（13n）13n3n1（2n1）3n132.错位相减求和所以a1c1a2c2a2nc2n3n26tn3n23（2n1）3n132（2n1）3n26n292(nn n*).13高考状元满分心得得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由条件式转化为关于d，q的方程组，由公式求an，bn，在第(2)问中观察数列的结构特征先分组，后用错位相减法求和.得关键分：(1)列方程组，(2)分组求和都是不可缺少的过程，有则给分，

10、无则没分.得计算分：解题过程中计算正确是得满分的根本保证，特别是第(1)问中的解方程，起着至关重要的作用，第(2)问中的错位相减法求和是计算中的难点.构建模板由等差、等比数列的通项公式列方程组求通项公式根据数列的特征，先分组，后分别用公式法与错位相减法求和反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤【规范训练】 (开放题)在等差数列an中，已知a616，a1836.(1)求数列an的通项公式an；(2)若_，求数列bn的前n项和sn.在bn4anan1，bn(1)nan，bn2anan这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解(1)由题意，

11、a15d12，a117d36，解得d2，a12.an2(n1)22n.(2)选条件：bn42n2（n1）1n（n1），sn1121231n（n1）1112 1213 1n1n111n1nn1.选条件：an2n，bn(1)nan，sn2468(1)n2n，当n为偶数时，sn(24)(68)2(n1)2nn22n；当n为奇数时，n1 为偶数，sn(n1)2nn1.snn，n为偶数，n1，n为奇数.选条件：an2n，bn2anan，bn22n2n2n4n，sn2414426432n4n，4sn2424436442(n1)4n2n4n1，由得，3sn24124224324n2n4n18（14n）142

12、n4n18（14n）32n4n1，sn89(14n)2n34n1.热点跟踪训练1.(2018全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bnann.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式.解(1)由条件可得an12（n1）nan.将n1 代入得，a24a1，而a11，所以a24.将n2 代入得，a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列.理由如下：由条件可得an1n12ann，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列.(3)由(2)可得a

13、nn2n1，所以an的通项公式为ann2n1.2.已知an是公差为 3 的等差数列，数列bn满足b11，b213，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和.解(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b213，得a12.所以数列an是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为an3n1.(2)由(1)和anbn1bn1nbn得bn1bn3，因此bn是首项为 1，公比为13的等比数列.记bn的前n项和为sn，则sn113n11332123n1.3.(2019潍坊期末)已知数列an的前n项和为sn，且 2，an，sn成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)数列

14、bn满足bnlog2a1log2a2log2an，求数列1bn的前n项和tn.解(1)2，an，sn成等差数列，2an2sn，sn2an2.当n1 时，a1s12a12，解得a12；当n2 时，ansnsn12an22an12，an2an1.数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，即通项公式为an2n.(2)log2anlog22nn，bnlog2a1log2a2log2an12n12n(n1).1bn2n（n1）21n1n1 .tn211212131n1n1211n1 2nn1.4.(2020长沙一模)已知数列an的首项a13，a37，且对任意的nn n*，都有an2an1an20，数

15、列bn满足bna2n1，nn n*.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求使b1b2bn2 020 成立的最小正整数n的值.解(1)令n1，得a12a2a30，解得a25.由an2an1an20 知，an2an1an1ana2a12.故数列an是首项a13，公差d2 的等差数列.于是an2n1.所以bna2n12n1.(2)由(1)知bn2n1，于是数列bn的前n项和tnb1b2bn(21222n)n2（12n）12n2n1n2.令f(x)2x1x2，则f(x)2x1ln 210，所以f(x)是关于x的单调递增函数.又f(9)210921 031，f(10)2111022 056，故使b1

16、b2bn2 020 成立的最小正整数n的值是 10.5.(2019泉州二模)设数列an的前n项和为sn，已知s12，an1sn2.(1)求证：数列an为等比数列；(2)记bnlog2an，数列bnbn1的前n项和为tn.若tn10，求的取值范围.(1)证明由已知，得a1s12，则a2s124.当n2 时，ansn12，所以an1an(sn2)(sn12)an，所以an12an(n2).又a22a1，所以an1an2(nn n*).所以数列an是首项a12，公比q2 的等比数列.(2)解由(1)可知an2n，所以bnn，则bnbn1n（n1）1n1n1 ，所以tn11212131n1n111n1 nn1.由题意，有tn10，即nn110，所以10（n1）n.因为10（n1）n1011n20，所以的取值范围为20，).6.(2020辽宁五校联考)在等差数列an中，a11，其前n项和为sn，等比数列bn的各项均为正数，b11，且b2s311，s69b3.(1)求数列an和bn的通项