2021届高考数学一轮总复习第9章解析几何第8节直线与圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线的位置关系跟踪检测文含解析

1、第九章第九章解析几何解析几何第八节第八节直线与圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的综合问题第第 1 课时课时直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系a 级基础过关|固根基|1.若直线 yx2 与椭圆x2my231 有两个公共点，则实数 m 的取值范围是()a(1，)b(1，3)(3，)c(3，)d(0，3)(3，)解析：选 b由yx2，x2my231，得(m3)x24mxm0.由16m24m(m3)0 且 m3 及 m0，得 m1 且 m3.2设直线 ykx 与椭圆x24y231 相交于 a，b 两点，分别过 a，b 两点向 x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则实数 k 等于()a

2、32b23c12d2解析：选 a由题意可知，点 a 与点 b 的横坐标即为焦点的横坐标，又 c1，当 k0 时，不妨设 a，b 两点的坐标分别为(1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得14y2131，14y2231，解得y132，y232，k32；同理可得当 k0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为 2，则p 的值是()a1b2c3d4解析：选 b设过点(3，1)的直线交抛物线 y22px(p0)于 a，b 两点，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y212px1，y222px2，由得，y21y222p(x1x2)，即y1y2x1x22py1y2，由题意知 kab2，且 y1y22，

3、故 kab2p22，所以 p2.4椭圆 mx2ny21 与直线 y1x 交于 m，n 两点，连接原点与线段 mn 中点所得直线的斜率为22，则mn的值是()a.22b.2 33c.9 22d.2 327解析：选 a由mx2ny21，y1x，得(mn)x22nxn10.设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1x22nmn， 所以 y1y22mmn， 所以线段 mn 的中点为 pnmn，mmn .由题意知， kop22，所以mn22.故选 a.5已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)及点 b(0，a)，过点 b 与椭圆相切的直线交 x 轴的负半轴于点 a，f 为椭圆的右焦点，则abf()

4、a60b90c120d150解析：选 b由题意知，切线的斜率存在，设切线方程 ykxa(k0)，与椭圆方程联立ykxa，x2a2y2b21，消去 y 整理得(b2a2k2)x22ka3xa4a2b20，由(2ka3)24(b2a2k2)(a4a2b2)0，得 kca，从而 ycaxa，交 x 轴于点 aa2c，0，又 f(c，0)，易知babf0，故abf90.6经过椭圆x22y21 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l，交椭圆于 a，b 两点设 o为坐标原点，则oaob_解析：依题意，当直线 l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为 y0tan 45(x1)，即 yx1，代入椭圆方程x22

5、y21 并整理得 3x24x0，解得 x0 或 x43，所以两个交点坐标分别为(0，1)，43，13 ，所以oaob13，同理，当直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得oaob13.答案：137已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的右顶点为 a，经过原点的直线 l 交椭圆 c 于 p，q 两点，若|pq|a，appq，则椭圆 c 的离心率为_解析： 不妨设点 p 在第一象限， o 为坐标原点， 由对称性可得|op|pq|2a2， 因为 appq，所以在 rtpoa 中，cospoa|op|oa|12，故poa60，易得 pa4，3a4，代入椭圆方程得1163a216b21，故 a25b25

6、(a2c2)，所以椭圆 c 的离心率 e2 55.答案：2 558(2019 届长春模拟)已知抛物线 y24x 的焦点为 f，过焦点 f 的直线交该抛物线于 a，b 两点，o 为坐标原点，若|ab|6，则aob 的面积为_解析：因为抛物线 y24x 的焦点 f 的坐标为(1，0)，当直线 ab 垂直于 x 轴时，|ab|4，不满足题意，所以设直线 ab 的方程为 yk(x1)(k0)，与 y24x 联立，消去 x 得 ky24y4k0.设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 y1y24k，y1y24，所以|y1y2|16k216.且|ab|11k2|y1y2|6， 所以 411k26， 解

7、得 k22， 所以|y1y2|16k2162 6， 所以aob的面积为 saob1212 6 6.答案： 69已知点 q 是抛物线 c1：y22px(p0)上异于坐标原点 o 的点，过点 q 与抛物线 c2：y2x2相切的两条直线分别交抛物线 c1于点 a，b.若点 q 的坐标为(1，6)，求直线 ab 的方程及弦 ab 的长解：由 q(1，6)在抛物线 y22px 上，可得 p18，所以抛物线 c1的方程为 y236x.设抛物线 c2的切线方程为 y6k(x1)联立y6k（x1） ，y2x2，消去 y，得 2x2kxk60，由于直线与抛物线 c2相切，故k28k480，解得 k4 或 k12

8、.由y64（x1） ，y236x，得 a14，3；由y612（x1） ，y236x，得 b94，9.所以直线 ab 的方程为 12x2y90，弦 ab 的长为 2 37.10已知点 m2 2，2 33在椭圆 g：x2a2y2b21(ab0)上，且点 m 到两焦点的距离之和为 4 3.(1)求椭圆 g 的方程；(2)若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 g 交于 a，b 两点，以 ab 为底作等腰三角形，顶点为 p(3，2)，求pab 的面积解：(1)因为 2a4 3，所以 a2 3.又点 m2 2，2 33在椭圆 g 上，所以2343b21，解得 b24.所以椭圆 g 的方程为x212y241.(

9、2)设直线 l 的方程为 yxm，由yxm，x212y241，得 4x26mx3m2120.设 a(x1，y1)，b(x2，y2)(x10，b0)的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 a，b 两点，与双曲线的渐近线交于 c，d 两点若|ab|35|cd|，则双曲线离心率的取值范围为()a.53，b.54，c.1，53d.1，54解析：选 b将 xc 代入x2a2y2b21，得 yb2a，则|ab|2b2a.将 xc 代入 ybax，得 ybca，则|cd|2bca.因为|ab|35|cd|，所以2b2a352bca，即 b35c，则 b2925c2，所以 a2c2b21625c2，所以

10、e22516.因为 e1，所以 e54.故选 b.12(一题多解)(2018 年全国卷)已知点 m(1，1)和抛物线 c：y24x，过抛物线 c 的焦点且斜率为 k 的直线与抛物线 c 交于 a，b 两点若amb90，则 k_解析：解法一：由题意知，抛物线的焦点为(1，0)，则过抛物线 c 的焦点且斜率为 k 的直线方程为 yk(x1)(k0)，由yk（x1） ，y24x，消去 y 得，k2x2(2k24)xk20，设 a(x1，y1)，b(x2，y2), 则 x1x22k24k2，x1x21.由yk（x1） ，y24x，消去 x 得，y24ky40，则 y1y24k，y1y24，由amb90

11、，得mamb(x11，y11)(x21，y21)x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10，将 x1x22k24k2，x1x21 与 y1y24k，y1y24 代入，解得 k2.解法二：设抛物线的焦点为 f，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y214x1，y224x2，所以 y21y224(x1x2)，则 ky1y2x1x24y1y2，取 ab 的中点 m(x0，y0)，分别过点 a，b 作准线 x1 的垂线，垂足分别为 a，b，又amb90，点 m 在准线 x1 上，所以|mm|12|ab|12(|af|bf|)12(|aa|bb|)又 m为 ab 的中点，所以 mm平行于 x 轴，

12、且 y01，所以 y1y22，所以 k2.答案：213(2020 届唐山市高三年级摸底)已知 f 为抛物线 c：x212y 的焦点，直线 l：ykx4 与 c 相交于 a，b 两点(1)o 为坐标原点，求oa ob；(2)m 为 c 上一点，f 为abm 的重心(三边中线的交点)，求 k.解：(1)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，将 l 的方程代入 c 得，x212kx480，所以 x1x212k，x1x248，y1y2（x1x2）212216，从而oaobx1x2y1y232.(2)依题意得 f(0，3)，设 m(x3，y3)，因为 f 为abm 的重心，所以 x1x2x30，y1y

13、2y39，从而 x3(x1x2)12k，y39(y1y2)9x21x22129（x1x2）22x1x212112k2.因为 m(x3，y3)在抛物线 c 上，所以(12k)212(112k2)，即 k2124.故 k612或612.14(2019 届洛阳市第一次统考)已知短轴长为 2 的椭圆 e：x2a2y2b21(ab0)，直线 n 的横、纵截距分别为 a，1，且原点 o 到直线 n 的距离为32.(1)求椭圆 e 的方程；(2)直线 l 经过椭圆 e 的右焦点 f 且与椭圆 e 交于 a，b 两点，若椭圆 e 上存在一点 c 满足oa 3ob2oc0，求直线 l 的方程解：(1)因为椭圆 e 的短轴长为 2，故 b1.依题意设直线 n 的方程为xay1，由11a2132，解得 a 3，故椭圆 e 的方程为x23y21.(2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，当直线 l 的斜率为 0 时，显然不符合题意当直线 l 的斜率不为 0 或直线 l 的斜率不存在时， f( 2， 0)， 设直线 l 的方程为 xty 2，由x23y21，xty 2，得(t23)y22 2ty10，所以 y1y22 2tt23