第五章有理函数的积分

1、不定积分的计算利用不定积分的性质利用不定积分的性质换元法换元法( 第一、第二第一、第二 )分部积分法分部积分法有理函数积分法有理函数积分法 )()()(11101110mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxqxpxr)cos ,(sinxxr) ,(2cbxaxxr换元法部分分式法一、可化为有理函数的积分举例一、可化为有理函数的积分举例设)cos,(sinxxr表示三角函数有理式 ,xxxrd)cos,(sin令2tanxt 万能代换t 的有理函数的积分1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分,d),(xbaxxrn令nbxat,d),

2、(xxrndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:,d),(xbaxbaxxrmn,pbxat令., 的最小公倍数为nmp二、二、 有理函数的积分有理函数的积分)()()(xqxpxr nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数:nm 时,)(xr为假分式;nm 时,)(xr为真分式有理函数相除多项式 + 真分 式分解若干部分分式之和由高等代数知识，任何一个有理真分式均可化为下列四类简单分式之和的形式：, )( , , )( , 22kkqpxxbaxqpxxbaxaxbaxa . 04 2qprqpabazk，且，常

3、数其中，四种典型部分分式的积分：四种典型部分分式的积分： caxaln) 1( ncaxnan1)(1xaxad. 1xaxand)(. 2xqxpxnxmd. 32xqxpxnxmnd)(. 42) 1,04(2nqp变分子为 )2(2pxm2pmn 再分项积分 pxqpxx2)(2例1.解 . 2422 1322)( 23452写成部分分式形式将xxxxxxxxr ) 1)(2(2422 222345，故令因为xxxxxxx ) 1)(2( 1322 2422 132222223452xxxxxxxxxxx1) 1(2222xedxxcbxxa通分、比较分子的系数2342)22()2()(

4、1322xedabxdexdaxx)22()22(ecaxedbc得到代数方程组0 da02 de222edab222edbc1322eca , 2 , 1 , 4 , 3 , 1 故解方程组得：edcba . 12) 1(4321 2422 132222223452xxxxxxxxxxxx例2.解 . d431 232xxxx计算 ) 1()2(43 223，得由xxxx , 2)2(14312232xcxbxaxxx 通分，比较系数，得 , ) 1)(2() 1()2(122xxcxbxax ; 92 , 1 ax得令 ; 35 , 2 bx得令 , 97 , 0 cx得令xxxxxxxx

5、d2197)2(1351192d431 2232故 . |2|ln97)2( 35| 1|ln92cxxxxxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例3. 求求.d4555222423xxxxxxixxxxxid4552243xxxxd455224242421d(54)254xxxx45ln2124xx2arctan21xcxarctan解解:说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .简便 , 众所周知，有些函数虽然在某区间上连续，可以积分，但由于它的