第3部分投影变换

1、13.1 3.1 投影变换的方法投影变换的方法3.2 3.2 变换投影面法变换投影面法2 3.1 投影变换的方法投影变换的方法3.1.1 3.1.1 变换投影面法（换面法）变换投影面法（换面法） 几何元素保持不动，而改变投影面的位置，几何元素保持不动，而改变投影面的位置，使新的投影面与几何元素处于有利于解题的位使新的投影面与几何元素处于有利于解题的位置。置。新投影面的选择应符合以下两条件：新投影面的选择应符合以下两条件： 3（2）新投影面必须垂直于原来投影面体系中）新投影面必须垂直于原来投影面体系中的一个投影面。组成一个新的两投影面体系。的一个投影面。组成一个新的两投影面体系。3.1.2 旋转

2、法旋转法 投影面保持不动，而将几何元素绕某一轴投影面保持不动，而将几何元素绕某一轴旋转到相对于旋转到相对于 投影面处于有利于解题的位置。投影面处于有利于解题的位置。 （1）新投影面投影面必须处于有利于解题的）新投影面投影面必须处于有利于解题的位置。位置。投影变换投影变换的方法的方法x1个个xvv1xvv1x143.2 3.2 变换投影面法变换投影面法 3.2.1 变换投影面法的基本规律变换投影面法的基本规律 1. 点的一次变换点的一次变换 v面面- 旧投影面；旧投影面； v1面面-新投影面；新投影面； h面面-不变投影面；不变投影面； a a -旧投影；旧投影； a a 1 1 -新投影；新投

3、影； a-不变投影；不变投影； x轴轴-旧投影轴；旧投影轴； x1轴轴-新投影轴；新投影轴；点的一次变换（变换点的一次变换（变换v面）面）5点的变换规律点的变换规律:1) 新投影与不变投影之间的连线始终垂直于新投影与不变投影之间的连线始终垂直于新投影轴，即新投影轴，即a a a 1x1轴；轴；2） 新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离，即的距离，即 a a 1ax1= a a ax轴。轴。2. 点的二次变换点的二次变换 在变换投影面法中，有时变换一次还不能解在变换投影面法中，有时变换一次还不能解决问题，这时必须变换两次或更多次。决问题，这时必须变换两次或更

4、多次。6 在变换两个或两个以上的投影面时，点的新在变换两个或两个以上的投影面时，点的新投影的求法和原理与更换一个投影面时完全相投影的求法和原理与更换一个投影面时完全相同。但必须指出，同。但必须指出，v面和面和h面必须交替变换。面必须交替变换。如右图所示。如右图所示。点的二次变换点的二次变换71.1.将一般位置直线变换成新投影面将一般位置直线变换成新投影面平行线平行线 若求直线的实长及其与投影面的倾若求直线的实长及其与投影面的倾角时，可用变换一次投影面来解决。角时，可用变换一次投影面来解决。3.2.2 3.2.2 换面法中六个基本问题换面法中六个基本问题8v v1 1x x1 1 a a b b

5、 a ab bx xv vh hh hx x1 1h hv v1 1v va ab b a a b b a ab ba a 1 1b b1 1 换换h h面行吗？面行吗？不行！不行！作图：作图：新投影轴的位置？新投影轴的位置？a a 1 1应与应与abab平行。平行。 . .例例1 1：求直线：求直线abab的实长及与的实长及与h h面的夹角面的夹角 。空间分析：空间分析： 用用v1v1面代替面代替v v面，面，在在v1/hv1/h投影体系中，投影体系中，ab/v1ab/v1。b b 1 1x x9 例例2 2：已知直线：已知直线abab的两投影、的两投影、， 试求直线试求直线abab的实长和

6、对的实长和对v v面的夹角面的夹角。 10 将投影面平行线变换成投影面垂直线，将投影面平行线变换成投影面垂直线，只需变换一次投影面来解决。其目的是只需变换一次投影面来解决。其目的是为了使直线投影成为一个点，从而解决为了使直线投影成为一个点，从而解决与直线有关的度量问题与直线有关的度量问题( (如求两直线间的如求两直线间的距离距离) )和定位问题和定位问题( (如求线面交点如求线面交点) )。 2. 2. 将投影面平行线变换成投影面垂直线将投影面平行线变换成投影面垂直线11例例3 3：已知水平线：已知水平线abab的两投影的两投影ab, aab, a , 试把它变成投影面垂直线。试把它变成投影面

7、垂直线。 12例4: 已知正平线ab的两投影ab, a, 试将它变成投影面垂直线。 133.3.将一般位置直线变换成投影面垂直线将一般位置直线变换成投影面垂直线 将一般位置直线变换成投影面垂直线，将一般位置直线变换成投影面垂直线，只经过一次换面是不能实现的，因为垂直只经过一次换面是不能实现的，因为垂直于一般位置直线的平面是一般位置平面，于一般位置直线的平面是一般位置平面，它与原有的两个投影面均不垂直，不能构它与原有的两个投影面均不垂直，不能构成直角投影体系，所以必须经过两次换面。成直角投影体系，所以必须经过两次换面。 首先将一般位置直线变成投影面平行首先将一般位置直线变成投影面平行线，然后将投

8、影面平行线变成投影面垂直线，然后将投影面平行线变成投影面垂直线。线。 14a1b1a b abxvhx1hv1v1h2x2作图：作图： a2 (b2 ) .先变换先变换v v面然后再换面然后再换h h面面vh a axb b bax1v1a1b1x2h2a2(b2 )ax2例例5: 5: 将一般位置直线变换成投影面垂直线将一般位置直线变换成投影面垂直线15例例6: 6: 已知直线已知直线abab的的v v投影投影a a 和点和点a a的的h h投影投影a a，实长为实长为30mm30mm，试完成该直线的，试完成该直线的h h投影投影abab。分析分析: : 由于一次换由于一次换面可将一般位置面

9、可将一般位置直线变换成投影直线变换成投影面平行线，利用面平行线，利用已知直线已知直线ab=30ab=30，先求出新投影先求出新投影a a1 1b b1 1，然后再返，然后再返回求旧投影回求旧投影abab。16x xv vh ha ab b1 1b b2 2a ax xb bx xo oa a b b a a1 1b b2 2b b1 1v vo o1 1x x1 1h h1 1a ax1x1b bx1x1303030301 1）在）在v v面适当位置作面适当位置作o o1 1x x1 1aa b b ；作图步骤：作图步骤：2 2）求得点）求得点a a的的h h1 1投影投影a a1 1；3 3

10、）以）以a a1 1为圆心，以为圆心，以30mm30mm为半为半径画圆弧，与过径画圆弧，与过b b 垂直于垂直于o o1 1x x1 1的直线交于两点的直线交于两点b b1 1、 b b2 2 ，连，连a a1 1b b1 1,a,a1 1b b2 2，即为实长；，即为实长；4 4）过）过b b 作直线垂直于作直线垂直于oxox轴，轴， 并量取并量取b b1 1b bx x=b=b1 1b bx1x1,b,b2 2b bx x=b=b2 2b bx1x1， 连连ab1ab1、ab2,ab2,即为所求。即为所求。 （该题有两解）。（该题有两解）。174.将一般位置平面变换成投影面垂直面 将一般位

11、置平面变换成投影面垂直面时，将一般位置平面变换成投影面垂直面时，新投影面既要垂直于一般位置平面，又要垂直新投影面既要垂直于一般位置平面，又要垂直于基本投影面，为此只要将一般位置平面内一于基本投影面，为此只要将一般位置平面内一条投影面的平行线变成投影面的垂直线即可。条投影面的平行线变成投影面的垂直线即可。 所以将一般位置平面变换成投影面垂直面，所以将一般位置平面变换成投影面垂直面，或求一般位置平面与原有投影面的倾角，均或求一般位置平面与原有投影面的倾角，均只需更换一次投影面。只需更换一次投影面。18例例7 7： 试求试求abcabc对对h h面的倾角面的倾角11作图作图: :1 1） 在在abc

12、abc上作一水平线上作一水平线cdcd，其投影为，其投影为cdcd和和cd;cd;2 2） 作作x1x1轴轴cdcd3 3） 作作abcabc在在v v面上的投影面上的投影abc,abc,而而abcabc积聚积聚 为一直线，它与为一直线，它与x1x1轴的夹角即反映轴的夹角即反映abcabc对对h h面面的倾角的倾角11倾斜面变换成垂直面倾斜面变换成垂直面(求求 1角角)19如果要求如果要求abcabc对对v v面的倾角面的倾角11，可在此平，可在此平面上取一水平线面上取一水平线aeae，作，作h1h1面垂直面垂直aeae，则，则abcabc在在h1h1面上的投影为一直线，它与面上的投影为一直线，它与x1x1轴轴的夹角反映该平面对的夹角反映该平面对v v面的倾角面的倾角11。具体。具体作图如右图所示。作图如右图所示。倾斜面变换成垂直面倾斜面变换成垂直面(求求 1角角)20 5. 5.将投影面垂直面变换成投影面平行面将投影面垂直面变换成投影面平行面 将投影面垂直将投影面垂直面变换成投影面面变换成投影面平行面，只要取平行面，只要取新投影面平行于新投影面平行于垂直面即可，只垂直面即可，只需更换一次投影需更换一次投影面。面。垂直面变换成平行面垂直面变换成平