数学竞赛培训第10讲全等三角形

1、新课标八年级数学竞赛培训第10讲：全等三角形 新课标八年级数学竞赛培训第10讲：全等三角形一、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）1（4分）（2003广州）如图，e=f=90，b=c，ae=af，给出下列结论：（1）1=2；（2）be=cf；（3）acnabm；（4）cd=dn，其中正确的结论是_（注：将你认为正确的结论都填上）2（4分）在abc中，高ad和be交于h点，且bh=ac，则abc=_3（4分）如图，已知ae平分bac，beae，垂足为e，edac，bae=36，那么bed=_度4（4分）如图，d是abc的边ab上一点，df交ac于点e，给出3个论断：de=fe；ae=ce；

2、fcab，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出3个命题，其中正确命题的个数是_5（4分）如图，adbc，1=2，3=4，ad=4，bc=2，那么ab=_6（4分）（2001黑龙江）如图，ad、ad分别是锐角abc和abc中bc与bc边上的高，且ab=ab，ad=ad，若使abcabc，请你补充条件_（只需填写一个你认为适当的条件） （7）7（4分）如图，daab，eaac，ab=ad，ac=ae，be和cd相交于o，则doe的度数是_二、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分）8（5分）如图，已知oa=ob，oc=od，下列结论中：a=b；de=ce；连oe，则oe平分o，正确的

3、是（）abcd9（5分）如图，点a在de上，ac=ce，1=2=3，则de的长等于（）adcbbccabdae+ac10（5分）如图，abcd，acbd，ad与bc交于o，aebc于e，dfbc于f，那么图中全等的三角形有（）a5对b6对c7对d8对11（5分）如图，在abc中，ad是a的外角平分线，p是ad上异于a的任意一点，设pb=m，pc=n，ab=c，ac=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）am+nb+cbm+nb+ccm+n=b+cd无法确定12（5分）如图，在四边形abcd中，对角线ac平分bad，abad，下列结论中正确的是（）aabadcbcdbabad=cbcdca

4、badcbcddabad与cbcd的大小关系不确定13（5分）考查下列命题（1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；（2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；（3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；（4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等其中正确命题的个数有（）a4个b3个c2个d1个14（5分）abc中，ac=5，中线ad=7，则ab边的取值范围是（）a1ab29b4ab24c5ab19d9ab19三、解答题（共13小题，满分0分）15如图，bd、ce分别是abc的边ac和ab上的

5、高，点p在bd的延长线上，bp=ac，点q在ce上，cq=ab求证：（1）ap=aq；（2）apaq16若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由17如图，已知四边形纸片abcd中，adbc，将abc、dab分别对折，如果两条折痕恰好相交于dc上一点e，你能获得哪些结论？18如图所示，在abd和ace中，有下列四个论断：ab=ac，ad=ae b=c，bd=ce请以其中三个论断作为条件，余下一下作为结论，写出一个正确的数学题（用序号表示）_并证明19如图，把大小为44的正方形方格图形分别分割成两个全等图形，例如图，请在下图中，沿着须

6、先画出四种不同的分法，把44的正方形分割成两个全等图形20如图，把三角形abc绕着点c顺时针旋转35，得到abc，ab交ac于d点若adc=90，则a=_度 （21）21如图所示，在abe和acd中，给出以下4个论断：（1）ab=ac；（2）ad=ae；（3）am=an；（4）addc，aebe，以其中3个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，1个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程已知：_；求证：_22如图，已知1=2，efad于p，交bc延长线于m，求证：m=（acbb）23已知如图，在四边形abcd中，ac平分bad，ceab于e，且ae=（ab+ad），

7、求证：b与d互补24如图，abc中，d是bc的中点，dedf，试判断be+cf与ef的大小关系，并证明你的结论25如图，已知ab=cd=ae=bc+de=2，abc=aed=90，求五边形abcde的面积26如图，在abc中，abc=60，ad、ce分别平分bac、acb，求证：ac=ae+cd27已知abc与abc中，ac=ac，bc=bc，bac=bac=110（1）试证明abcabc（2）若将条件改为ac=ac，bc=bc，bac=bac=70，结论是否成立？为什么？新课标八年级数学竞赛培训第10讲：全等三角形参考答案与试题解析一、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）1（4分）（2

8、003广州）如图，e=f=90，b=c，ae=af，给出下列结论：（1）1=2；（2）be=cf；（3）acnabm；（4）cd=dn，其中正确的结论是1=2，be=cf，acnabm（注：将你认为正确的结论都填上）解答：解：e=f=90，b=c，ae=afaebafcbe=cf 故（2）正确；1=eabcab，2=faccab又eab=fac1=2 故（1）正确；ac=ab，b=c，can=bamacnabm故（3）正确正确的结论是1=2，be=cf，acnabm故填1=2，be=cf，acnabm2（4分）在abc中，高ad和be交于h点，且bh=ac，则abc=45或135分析：根据高的

9、可能位置，有2种情况，如图（1），（2），通过证明hbdcad得ad=bd后求解解答：解：有2种情况，如图（1），（2），bhd=ahe，又aeh=adc=90，dac+c=90，hae+ahe=90，ahe=c，c=bhd，bh=ac，hbd=dac，c=bhd，hbdcad，ad=bd如图（1）时abc=45；如图（2）时abc=135ad=bd，adbd，adb是等腰直角三角形，abd=45，abc=18045=135，故答案为：45或135 3（4分）如图，已知ae平分bac，beae，垂足为e，edac，bae=36，那么bed=126度分析：已知ae平分bac，edac，根据两直线

10、平行同旁内角互补，可求得dea的度数，再由三角形外角和为360求得bed度数解答：解：ae平分bacbae=cae=36edac cae+dea=180dea=18036=144aed+aeb+bed=360bed=36014490=126故答案为126点评：考查平行线的性质和三角形外角和定理两直线平行，同旁内角互补4（4分）如图，d是abc的边ab上一点，df交ac于点e，给出3个论断：de=fe；ae=ce；fcab，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出3个命题，其中正确命题的个数是3考点：全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质2383486专题：分类讨论分析：就三种情况分

11、类讨论第一种情况：若以条件，以为结论首先用边角边定理先证明全等，再利用全等三角形的性质得到a=ecf，最后根据平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行），易知，fcab第二种情况：若以条件，以为结论首先根据平行线的性质定理，易知ade=cfe再根据角边角定理，易知ade与cfe全等再根据全等三角形的性质定理，得到ae=ce第三种情况：以条件，以为结论步骤同第二种情况综上证明，即可知正确命题的个数解答：解：第一种情况：若以条件，以为结论证明：在ade与cfe中，adecfea=ecffcab本结论成立；第二种情况：若以条件，以为结论证明：fcabade=cfe在ade与cfe中，adecfeae

12、=ce本结论成立；第三种情况：以条件，以为结论证明：fcabade=cfe在ade与cfe中，adecfede=fe本结论成立；总上证明正确命题的个数是3故答案为3点评：本题考查全等三角形的判定与性质定理、平行线的性质与判定5（4分）如图，adbc，1=2，3=4，ad=4，bc=2，那么ab=6 考点：梯形中位线定理；直角三角形斜边上的中线2383486专题：计算题分析：作辅助线延长ad，be交于f，已知1=2，3=4，可得ce=de，bc=df，即可求解解答：解：延长ad，be交于fadbc，4=f=3，ab=af，1=2，aebf，be=ef，adbc，ce=de，bc=df，af=ad

13、+df=ad+bc=6，ab=af=6故答案为6点评：本题考查了梯形和三角形的中位线性质，难度不大，关键熟练灵活运用中位线定理6（4分）（2001黑龙江）如图，ad、ad分别是锐角abc和abc中bc与bc边上的高，且ab=ab，ad=ad，若使abcabc，请你补充条件cd=cd（或ac=ac，或c=c或cad=cad）（只需填写一个你认为适当的条件）考点：全等三角形的判定2383486专题：开放型分析：根据判定方法，结合图形和已知条件，寻找添加条件解答：解：我们可以先利用hl判定abdabd得出对应边相等，对应角相等此时若添加cd=cd，可以利用sas来判定其全等；添加c=c，可以利用aa

14、s判定其全等；还可添加ac=ac，cad=cad等点评：本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：sss、sas、asa、aas、hl添加时注意：aaa、ssa不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键7（4分）如图，daab，eaac，ab=ad，ac=ae，be和cd相交于o，则doe的度数是90 考点：全等三角形的判定与性质；余角和补角2383486专题：证明题分析：根据已知条件易证得aebacd，可得d=abe，设ab与cd相交于点f，由daab可得d+afd=90，而由图可知afd和bfo是对顶角相等，即可得doe=d

15、ob=90解答：解：daab，eaac，dab=cae=90，dab+bac=cae+bac，即dac=bae，又ab=ad，ac=ae，aebacd（sas），d=abe；设ab与cd相交于点f，daab，d+afd=90，afd=bfo（对顶角相等），已证得d=abe；bfo+abe=90，doe=dob=90故答案为：90点评：本题考查了全等三角形的判定，涉及到余角和补角的性质，解题的关键是利用全等的性质确定各角之间的关系二、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分）8（5分）如图，已知oa=ob，oc=od，下列结论中：a=b；de=ce；连oe，则oe平分o，正确的是（）abcd分析

16、：由已知据sas易证得oadobc，可得a=b；再根据aas可证aecbed，可得de=ce，ae=be；连接oe由以上条件易证得oaeobe，即可得aoe=boe，即oe平分o此题即可得解解答：解：oa=ob，oc=od，o为公共角，oadobc，a=b；oaoc=obod，即ac=bd，且a=b，aec=bed（对顶角相等），aecbed，de=ce，ae=be；连接oe，oa=ob，ae=be，oa为公共边，oaeobe，aoe=boe，即oe平分o综上得均正确故选d点评：本题考查了全等三角形的性质及判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键9（5分）如图，点a在de上，ac=ce，

17、1=2=3，则de的长等于（） adcbbccabdae+ac考点：全等三角形的判定与性质2383486分析：欲证de=ab，需根据题中所给角之间的关系证明出acb=dce和bac=cae，又ac=ce，即可证明出abcedc，由全等三角形的性质可得出de=ab解答：解：2=3，dce=3+acd=2+acd=acb，即：acb=dce，又ac=ce，e=cae，1+bac=dac=3+cea，1=3，bac=cea在abc和edc中，acb=dce，ac=ce，bac=e，abcedc，de=ab故选c点评：本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质；巧妙地利用1是解决本题的关键10

18、（5分）如图，abcd，acbd，ad与bc交于o，aebc于e，dfbc于f，那么图中全等的三角形有（）a5对b6对c7对d8对考点：全等三角形的判定；平行线的性质2383486分析：根据题意，结合图形，图中全等的三角形有aoedof，cabcdb，aobcod，aocbod，aecbfd，aebdfc，acddba做题时要从已知条件开始，结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找解答：解：abcd，acbd，abc=dcb，acb=dbcbc=cb，cabcdb，ab=cd，ac=bdabcd，acbd，bao=cdo，oba=ocd，obd=oca，oac=odbaobcod，aocbo

19、doa=od，oc=obaebc，dfbc，aoe=dof，aoedofoe=ofce=bfae=df，ac=bd，aecbfdae=df，ab=cd，be=cf，aebdfc还有acddba故选c点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：sss、sas、asa、aas、hl注意：aaa、ssa不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角11（5分）如图，在abc中，ad是a的外角平分线，p是ad上异于a的任意一点，设pb=m，pc=n，ab=c，ac=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（） am+nb

20、+cbm+nb+ccm+n=b+cd无法确定考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系2383486分析：在ba的延长线上取点e，使ae=ac，连接ed，ep，证明acp和aep全等，推出pe=pc，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+nb+c解答：解：在ba的延长线上取点e，使ae=ac，连接ed，ep，ad是a的外角平分线，cad=ead，在acp和aep中，acpaep（sas），pe=pc，在pbe中，pb+peab+ae，pb=m，pc=n，ab=c，ac=b，m+nb+c故选a点评：本题主要考查三角形全等的证明，全等三角形的性质，三角形的三边关系，作辅助线构造以m、n、b

21、、c的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点12（5分）如图，在四边形abcd中，对角线ac平分bad，abad，下列结论中正确的是（） aabadcbcdbabad=cbcdcabadcbcddabad与cbcd的大小关系不确定考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系2383486专题：常规题型分析：在ab上截取ae=ad，则易得aecadc，则ae=ad，ce=cd，则abad=be，放在bce中，根据三边之间的关系解答即可解答：解：如图，在ab上截取ae=ad，连接ceac平分bad，bac=dac，又ac是公共边，aecadc（sas），ae=ad，ce=cd，abad=a

22、bae=be，bccd=bcce，在bce中，bebcce，abadcbcd故选a点评：此题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形三边之间的关系，作辅助线是关键13（5分）考查下列命题（1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；（2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；（3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；（4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等其中正确命题的个数有（）a4个b3个c2个d1个分析：根据全等三角形的判定方法，此题应采用排除法，对选项逐个进行分析从而确定正确答案解答：

23、解：（1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等，故选项正确；（2）两边和其中一边上的中线对应相等易证两个三角形全等，两边和第三边上的中线对应相等，可以先证明两边的夹角相等，再证明两个三角形全等，故选项正确；（3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等，可以用aas或者asa判定两个三角形全等，故选项正确；（4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等时，如图bc=bc，cd=cd，abc与abc不全等，故选项错误正确的有3个，故选b点评：本题考查了全等三角形的判定方法，要根据选项提供的已知条件逐个分析，看是否符合全等三角形的判定方法，注意ssa是不能判定两三角

24、形全等的14（5分）abc中，ac=5，中线ad=7，则ab边的取值范围是（）a1ab29b4ab24c5ab19d9ab19考点：三角形三边关系；平行四边形的性质2383486分析：延长ad至e，使de=ad，连接ce，使得abdecd，则将ab和已知线段转化到一个三角形中，进而利用三角形的三边关系确定ab的范围即可解答：解：延长ad至e，使de=ad，连接ce在abd和ecd中，bd=cd，adb=edc，ad=ed，abdecd（sas）ab=ce在ace中，根据三角形的三边关系，得aeacceae+ac，即9ce19则9ab19故选d点评：解决此题的关键是通过倍长中线，构造全等三角形，

25、把要求的线段和已知的线段放到一个三角形中，再根据三角形的三边关系进行计算三、解答题（共13小题，满分0分）15如图，bd、ce分别是abc的边ac和ab上的高，点p在bd的延长线上，bp=ac，点q在ce上，cq=ab求证：（1）ap=aq；（2）apaq分析：（1）由于bdac，ceab，可得abd=ace，又有对应边的关系，进而得出abpqca，即可得出结论（2）在（1）的基础上，证明paq=90即可解答：证明：（1）bdac，ceab（已知），bec=bdc=90，abd+bac=90，ace+bac=90（垂直定义），abd=ace（等角的余角相等），在abp和qca中，abpqca（

26、sas），ap=aq（全等三角形对应边相等）（2）由（1）可得caq=p（全等三角形对应角相等），bdac（已知），即p+cap=90（直角三角形两锐角互余），caq+cap=90（等量代换），即qap=90，apaq（垂直定义）点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用16若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由考点：全等三角形的判定与性质2383486分析：运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，解题的关键是由高的特殊性，分三角形的形状讨论有时图中并没有直接的全等三角形，需要通过作辅助线构造全等

27、三角形，完成恰当添辅助线的任务，我们的思堆要经历一个观察、联想、构造的过程边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从以上诸元素中选取三个条件使之组合可得到关于三角形全等判定的若干命题，其中有真有假，课本中全等三角形的判定方法只涉及边、角两类元素解答：解：（1）如图1所示：当这两个三角形同是锐角时，通过hl可证出第三边所对的角相等；（2）如图2所示：当有一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，通过hl可证出第三边所对的角互补17如图，已知四边形纸片abcd中，adbc，将abc、dab分别对折，如果两条折痕恰好相交于dc上一点e，你能获得哪些结论？考点：梯形；翻折变换（折叠问题）238348

28、6专题：开放型分析：折痕前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索，以获得更多的结论需要注意的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：（1）给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形；（2）从题设条件无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形解答：解：可以得到下列结论：（1）daefae，cbefbe，ad=af，bc=bf，ad+bc=ab，adbc，dab+cba=180，将abc、dab分别对折，易证adefae，bcebfe，aeb=90，af=ad，bc=bf，ab=bc+ad；（2）aeb=90；（3）梯形abcd的面积

29、=2saeb=aeeb点评：本题融操作、观察、猜想、推理于一体，需要一定的综合能力推理论证既是说明道理，也是探索、发现的逄径善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键18如图所示，在abd和ace中，有下列四个论断：ab=ac，ad=ae b=c，bd=ce请以其中三个论断作为条件，余下一下作为结论，写出一个正确的数学题（用序号表示）由或，并证明考点：全等三角形的判定与性质2383486专题：证明题；开放型分析：本题的题意是先证三角形全等，然后得出简单的角或边相等根据全等三角形的判定定理可知：是根据sss来判定其全等，从而得到全等三角形的对应角相等是根据sas来判定其全等，

30、从而得到全等三角形的对应边相等解答：解：由或；先证前一种：ab=ac，ad=ae，bd=ce，abdace（sss）；b=c；再证第二种：ab=ac，b=c，bd=ce，abdace（sas）；ad=ae点评：此题主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有sas、sss、aas、asa、hl等，要求学生对常用的这几种判定方法要熟练掌握19如图，把大小为44的正方形方格图形分别分割成两个全等图形，例如图，请在下图中，沿着须先画出四种不同的分法，把44的正方形分割成两个全等图形 考点：作图应用与设计作图2383486专题：网格型分析：利用正方形的对称轴和中心结合正方形的面积即可解决问题解答：解

31、：点评：本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程20如图，把三角形abc绕着点c顺时针旋转35，得到abc，ab交ac于d点若adc=90，则a=55度考点：旋转的性质2383486分析：根据旋转的性质，可得知aca=35，从而求得a的度数，又因为a的对应角是a，则a度数可求解答：解：三角形abc绕着点c时针旋转35，得到abcaca=35，adc=90a=55，a的对应角是a，即a=a，a=55点评：根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后

32、图形的大小和形状没有改变解题的关键是正确确定对应角21如图所示，在abe和acd中，给出以下4个论断：（1）ab=ac；（2）ad=ae；（3）am=an；（4）addc，aebe，以其中3个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，1个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程已知：（1）（2）（4）；求证：（3）分析：观察本题的条件和图形，我们可看出这四个条件都是根据三角形adc，abe全等和三角形dam，ean全等来展开的，可根据全等三角形的判定和性质来进行选择和求证解答：解：已知（1）（2）（4），求证（3）证明：ab=ac，ad=ae，d=e=90，adcaeb

33、dac=baedacbac=baebac，即dam=eanad=ae，d=e=90，dameanam=an（答案不唯一，其他的解只要正确都可以）22如图，已知1=2，efad于p，交bc延长线于m，求证：m=（acbb）分析：由题中条件可得aepafp，aep=afp，而aep=b+m，acb=afp+m，代入即可证解答：证明：1=2，ap=ap，ape=apf=90，aepafp（asa），aep=afp（全等三角形的性质），又aep=b+m，acb=afp+m，+得，2m=aep+acbbafp=acbb，m=（acbb）23已知如图，在四边形abcd中，ac平分bad，ceab于e，且a

34、e=（ab+ad），求证：b与d互补 分析：可在ab上截取af=ad，可得acfacd，得出afc=d，再由线段之间的关系ae=（ab+ad）得出bc=cf，进而通过角之间的转化即可得出结论解答：证明：在ab上截取af=ad，连接cf，ac平分bad，bac=cad，又ac=ac，acfacd（sas），af=ad，afc=d，ae=（ab+ad），ef=be，又ceab，bc=fc，cfb=b，b+d=cfb+afc=180，即b与d互补点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定及性质问题，能够熟练运用三角形的性质求解一些简单的计算、证明问题24如图，abc中，d是bc的中点，dedf，试判断be+cf与ef的大小关系，并证明你的结论 分析：可延长ed至p，使dp=de，连接fp，将be转化为pc，ef转化为fp，进而在pcf中即可得出结论解答：答：be+cffp=ef证明：延长ed至p，使dp=de，连接fp，d是bc的中点，bd=cd，在bde和cdp中，bdecdp（sas），be=cp，dedf，de=dp，ef=fp，（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）在cfp中，cp+cf=be+cffp=ef点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三