概率论与数理统计学习题

1、., 6 . 0, 7 . 0率率少有一次命中目标的概少有一次命中目标的概试求两次独立射击至试求两次独立射击至射击命中目标的概率为射击命中目标的概率为这时这时内的概率为内的概率为假设目标出现在射程之假设目标出现在射程之思路思路 引进事件引进事件 ;目标进入射程目标进入射程 a. 2 , 1, iibi次射击命中目标次射击命中目标第第.,21用全概率公式来求解用全概率公式来求解可利可利因此因此命中目标的命中目标的不在射程之内是不可能不在射程之内是不可能由于目标由于目标的概率的概率故所求概率为事件故所求概率为事件bbb 例例1解解由题意知由题意知)2, 1(, 6 . 0)(, 7 . 0)( i

2、abpapi, 0)(表示目标不在射程之内表示目标不在射程之内因为因为由于由于abap 有有因此由全概率公式因此由全概率公式,)()()()(abpbapabpbp )()(abpap ),()(21abbpap ,21相互独立相互独立与与由题意知由题意知bb 由加法公式得由加法公式得)(21abbp)()()(2121abbpabpabp .36. 06 . 06 . 0 )()()(2121abpabpabbp 从而从而36. 06 . 06 . 0 .84. 0 )()()(21abbpapbp 故故84. 07 . 0 .588. 0 .,573,251510两份两份从中先后抽出从中先

3、后抽出名表名表随机地取一个地区的报随机地取一个地区的报份份份和份和份份为为其中女生的报名表分别其中女生的报名表分别生的报名表生的报名表名考名考名和名和名名设有来自三个地区的各设有来自三个地区的各、;)1(p表的概率表的概率求先抽到的一份是女生求先抽到的一份是女生.,)2(p的一份是女生表的概率的一份是女生表的概率求先抽到求先抽到男生表男生表已知后抽到的一份表是已知后抽到的一份表是思路思路 由于抽到的表与来自哪个地区有关由于抽到的表与来自哪个地区有关,故此故此题要用全概率公式来讨论题要用全概率公式来讨论.例例2解解;3, 2, 1, ihi抽到地区考生的报名表抽到地区考生的报名表记记, 2, 1

4、, jjaj次抽到报名表是男生的次抽到报名表是男生的第第;107)();3 , 2 , 1(31)(11 hapihpi则有则有.2520)(;158)(3121 haphap由全概率公式知由全概率公式知)1( 3111)()()(iiihaphpapp 25515710331.9029 ,)()()()2(22121apaapaapq 由全概率公式得由全概率公式得 312121)()()(iiihaaphpaap, )(313121 iihaap又因为又因为,30797103)(121 haap,308148157)(221 haap.3052420255)(321 haap,9230530

5、830731)(21 aap所以所以)()()(2312iiihaphpap 而而 312)(31iihap,9061252015810731 )()(221apaapq 所以所以.6120906192 .,212. 2, 21,32, 11, 1, 0)(的分布律的分布律并求并求试确定常数试确定常数且且的分布函数为的分布函数为设离散型随机变量设离散型随机变量xbaxpxbaxaxaxxfx 思路思路 首先利用分布函数的性质求出常数首先利用分布函数的性质求出常数 a, b,再用已确定的分布函数来求分布律再用已确定的分布函数来求分布律.解解:)(的性质的性质利用分布函数利用分布函数xf例例3),

6、0()( iiixfxfxxp, 1)( f221 xp知知)32()(aba ,322 ba. 1 ba且且.65,61 ba由此解得由此解得 . 2, 1, 21,21, 11,61, 1, 0)(xxxxxf因此有因此有从而从而 x 的分布律为的分布律为xp211 213161.)3();()2(;)1(.,e)(2的概率密度的概率密度求求的分布函数的分布函数求求求系数求系数的概率密度为的概率密度为已知随机变量已知随机变量xyxfxaxaxfxx 解解有有由概率密度的性质由概率密度的性质,)1( xaxxfxded)(1 0de2xax,2a .21 a故故例例4,de21)()2( x

7、xxxf有有时时当当,0 xxxfxxde21)( ;e21x 有有时时当当,0 xdede21)(00 xxxxxxf;e211x 所以所以 x 的分布函数为的分布函数为 . 0,e211, 0,e21)(xxxfxx, 0)3(2 xy由于由于; 0)(,0 yypyfyy有有时时故当故当有有时时当当,0 y)(2yxpyypyfy yxyp yyxxde21,de2120 yxx),()(yfyfyy 由于由于有有时时故当故当,0 ydedd)(dd0 yxyxyyfy,21eyy 的概率密度为的概率密度为从而从而 y, . 0, 00,e21)(yyyyfyy ., 0,0,e),(

8、),(其他其他的联合概率密度为的联合概率密度为设随机变量设随机变量yxcxyxfyxy例例5.1),min()8(;1)7(;)6(;),()5(;21,21)4();(),()3(?)2(;)1( yxpyxpyxzyxyxpyxpxyfyxfyxcxyyx求求求求的密度函数的密度函数求求的联合分布函数的联合分布函数求求求求求求为什么为什么是否独立是否独立与与求常数求常数解解得得由由,1dd),()1( yxyxfxcxyyyded100 ,)3(2de202ccyycy . 1 cyyxfxfxd),()()2( . 0, 0, 0,dexxyxxy . 0, 0, 0,exxxxxyxf

9、yfyd),()( . 0, 0, 0,de0yyxxyy . 0, 0, 0,e212yyyy, )()(),(,0yfxfyxfyxyx 上上由于在由于在.不独立不独立与与故故yx)(),()()3(yfyxfyxfyyx ., 0,0,22其他其他yxyx)(),()(xfyxfxyfxxy ., 0,0,e其他其他yxyx21)4( yxp22, 1 ypyxp 212d)(dd),(yyfyxyxfy 202102de21dedyyyxxyxy.e51e21e21221 又由条件密度的性质知又由条件密度的性质知,d)2(211xxfyxpyx ., 0, 20,2)2(其他其他而而x

10、xxfyx从而有从而有xxyxpd22110 .41 :,),()5(故有故有由于由于yyxxpyxf . 0),(,00 yxfyx有有时时或或当当有有时时当当,0 xy,),(yyxxpyxf uuvvvyded00 yvvv02de21.e )12(12yyy 有有时时当当,0 yx,),(yyxxpyxf vuuyuvxded0 xyuuu0d)ee (.e21e )1(12yxxx 故得故得 .0,e21e )1(1,0,e )12(1, 00, 0),(22yxxxxyyyyxyxfyxy或或 ,d),()()6(xxzxfzfz根据根据,20,0,),(时时即即只有当只有当非零非

11、零由于要被积函数由于要被积函数zxxzxxzxf 从而有从而有:; 0)(,0 zfzz时时当当,0时时当当 z 20)(de)(zxzzxxzf 20deezxzxx;e )12(e2zzz 因此因此 . 0, 0, 0e12e)(2zzzzfzzz 1d)(1)7(zzfyxpzzzzzde )12(e 102 .ee1121 1),min()8( yxp1),min(1 yxp1, 11 yxpuuvvvded101 vvvde21112 .e2511 解解).( )( , 2 , 1,)1( , 1xdxekppkxpxk和和求求它的分布律为它的分布律为服从几何分布服从几何分布设设 1

12、1)(kkpqkxe )1 (pq 其中其中 11kkqkp2)1(qp ,1p 例例6 1122)(kkpqkxe 112kkqkp3)1()1(qqp ,12pq 22)()()(xexexd 2211ppq .2pq ).( )( )0( ., 0, 11,)1()( 2xdxexxcxfx和和求求其他其他的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量 解解, )( 是偶函数是偶函数因为因为xf xxxfxed)()( 所以所以 112d)1(xxcx , 0 22)()()(xexexd )(2xe 例例7 1122112d)1()1(21d)1()1(21xxcxxxc 1122d)1

13、(xxcx 11121112d)1()1(2)1()1(2xxcxxc 1d)( xxxf)(d)(2xdxxfx ),()1(21)1(21)( xdxd 于是于是.321)( xd故故解解. , )10(,21的无偏估计量的无偏估计量并验证它是达到方差界并验证它是达到方差界的最大似然估计量的最大似然估计量求参数求参数分布的一个样本分布的一个样本的的是来自参数为是来自参数为设设pppxxxn ,1, 0,)1();(1 xpppxfxx);()(1pxfplnii ,)1(11 niiniixnxpp )(lnpl),1ln(ln11pxnpxniinii 例例8 ppld)(lnd,111

14、pxnpxniinii , 0d)(lnd ppl由由,)1( 11 niiniixnpxp得得 的最大似然估计值为的最大似然估计值为故参数故参数 p,11 niixnp 的最大似然估计量为的最大似然估计量为参数参数 p,11xxnpnii )()(xepe niixne11,)(11pxennii . 的无偏估计量的无偏估计量是是所以所以pp, 1, 0,)1();( 1 xpppxfxx又因为又因为),1ln()1(ln);(lnpxpxpxf ppxf);(ln,11pxpx 2);(lnppxfe 1 ,012)1(11xxxpppxpxpppp 221)1()1(1,)1(1pp 都满足不等式都满足不等式的任何一个无偏估计量的任何一个无偏估计量的参数的参数因为因为 ),( );( 21nxxxpppxf,)1();(ln)(2nppppxfenpd 的无偏估计量的无偏估计量对于参数对于参数 p,11 niixnxp niixndpd11)( niixdn12)(1)1(12ppnn ),1(1ppn . 偏估计量偏估计量的无的无的达到方差界的达到方差界是总体分布参数是总体分布参数故故pxp 解解?)05. 0( ,0025. 0 ,7 .12 ,16,0.01, , ),( 22 问此仪器工作是否稳定问此仪器工作是否稳定算得算得个点个点今抽测今抽测超过超过