概率论第十五讲正态分布

1、教学目的教学目的： 1.一维正态分布. 2二维正态分布教学内容教学内容： 第三章， 4.1 4.3 。 第十五讲 正态分布 一、一维 正态分布正态分布若x 的 d.f. 为xexfx222)(21)(则称 x 服从参数为 , 2 的正态分布记作 x n ( , 2 ),为常数，0 亦称高斯(gauss)分布n (-3 , 1.2 )-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.33f (x) 的性质的性质： 图形关于直线 x = 对称, 即在 x = 时, f (x) 取得最大值21在 x = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有拐点曲线 y = f (x) 以 x

2、 轴为渐近线曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状f ( + x) = f ( - x) 21)()(1)()(xpffxp-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3f ( x) 的两个参数：的两个参数： 位置参数即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)的形状不变化，只是位置不同 形状参数固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.若 1 2 则212121比x= 2 所对应的拐点更靠近直线 x=附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点前者取 showfn1,fn3大小-6-5-4-3-2-10.10.20.30.40.5几何意义 大小与曲线陡峭程度成反

3、比数据意义 大小与数据分散程度成正比正态变量的条件 若 r.v. x 受众多相互独立的随机因素影响 每一因素的影响都是微小的 且这些正、负影响可以叠加则称 x 为正态 r.v.可用正态变量描述的实例极多：各种测量的误差； 人体的生理特征；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；热噪声电流强度； 学生的考试成绩；一种重要的正态分布一种重要的正态分布xexx2221)(是偶函数，分布函数记为xtexxtd21)(22其值有专门的表供查. 标准正态分布n (0,1)密度函数5 . 0)0(-3-2-11230.10.20.30.4)(1)(xx1)(2)|(|aaxp-x

4、x)(1)(xx1)(2)|(|aaxp-3-2-11230.10.20.30.4对一般的正态分布 ：x n ( , 2) 其分布函数xttexfd21)(222)(作变量代换tsxxf)(abafbfbxap)()()(aafaxp1)(1)(例例1 1 设 x n(1,4) , 求 p (0 x 1.6)解解210216 . 1)6 . 10(xp5 . 03 . 0 5 . 01 3 . 06915. 01 6179. 03094. 0p289 附表2例例2 2 已知), 2(2nx且 p( 2 x 4 ) = 0.3,求 p ( x 0 ).解一解一20)0(xp212224)42(x

5、p)0(23 . 08 . 022 . 0) 0(xp解二解二 图解法0.22 . 0)0(xp由图-22460.050.10.150.20.3例例3 3 已知), 2(2nx且 p( 2 x 4 ) = 0.3,求 p ( x 0 ).例例4 4 3 原理设 x n ( , 2), 求)3|(|xp解解)33()3|(|xpxp33 33 13219987. 029974. 0一次试验中, x 落入区间( - 3 , +3 )的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小由3 原理知，1)(3,0)(3bbaa时时当标准正态分布的上 分位数 z设 x n (0,1) , 0 3故至少要进行

6、 4 次独立测量才能满足要求. 二、一维 正态分布的数字特征正态分布的数字特征x n ( , 2 ), 求 e ( x ) d( x )dxexxex222)(21)(dueuuux2221）（令dxexxdx222)(221)()(dtetttx222221令2例如 设 x n ( ,2) , y = a x +b, 则)(1|1)(byafayfxy2222)(|21 aabyeayy n ( a +b, a22 )特别地 ，若 x n ( , 2) , ) 1 , 0( nxy则 二、一维 正态随机变量函数的分布正态随机变量函数的分布一维正态正态r.v.的线性函数还服从正态分布的线性函数

7、还服从正态分布例例6 6 已知 x 服从正态分布, e(x ) = 1.7, d(x ) = 3, y =1 2 x , 求y 的密度函数.解 1234)(, 4 . 27 . 121)(ydyeyeyfyy,621)(24)4 . 2(2 若若x 服从正态分布，, ,它它的密度函数完全由期望和方差决定完全由期望和方差决定. .例例7 7 已知 x n (0,1) , y = x 2 , 求 f y (y)解一解一 从分布函数出发)()(yypyfyy)()(2yxpyfyyyy当 y 0 时，)(yxyp)()(yfyfxx)(yfy0, 0y0),()(yyfyfxx故)(yfy0, 0y

8、0,)()(21yyfyfyxx)(yfy0, 0y0,2122/ 1yeyy例例8 8 设x n (0,1), y n (0,1), x ,y 相互独立，求e (max(x ,y ) . 解解22221)()(),(yxyxeyfxfyxf dxdyyxfyxyxe),(,max),(maxd1d221),(,max),(,maxdddxdyyxfyxdxdyyxfyx222122222121dyxdyxdxdyexdxdyeydyyedxexyx222211dyyedxexyx222221dxxedyeyxy222221dxex21其中 称为 概率积分概率积分dxex22)(2dxexdy

9、dxeyx)(22dydxeyx0)(0224一般地，若),(),(22nynxx ,y 相互独立，则),(maxyxe),(minyxedydxeyx0)(022400224rdredr2124所以 dxex2 设由自动线加工的某种零件的内径 x (mm) n ( ,1).已知销售每个零件的利润t (元)与销售零件的内径 x 有如下的关系：12, 51210,2010, 1xxxt问平均直径 为何值时, 销售一个零件的平均利润最大？应用应用解解)10()10() 1(xptp)10()12()1210()20(xptp)12(1)12() 5(xptp)12(1)(5()10()12(20)

10、10() 1()(te5)10(21)12(25)12(25)10(21)(dtde0令0212521212)12(2)10(22ee即2125222e2125ln2111可以验证，,0)(22dted零件的平均利润最大.故2125ln2111时, 销售一个)(91.10mm若r.v.( x ,y ) 的联合为yx,则称( x ,y ) 服从参数为1,12,2,22, 的正态分布, 记作( x ,y ) n(1,12;2,22; ) 其中1,20, -1 -2.869, 1.790, 0.110, aspectratio-0.6,plotpoints-30;二维正态分布图二维正态分布图二维正态

11、分布剖面图二维正态分布剖面图例例9 9 设 ( x ,y ) n ( 1,12;2,22 ; ), 求xy 解解dxdyyxfyxyx),()(),cov(21 dsdtesttts22221)()1 (21 dudteutttu22221)1 (2)( 22112uts令22112sx11ty22dtetduetu222212)1 (222112 21 xy正态分布的边缘分布仍为正态分布正态分布的边缘分布仍为正态分布xexfxx,21)(21212)(1yeyfyy,21)(22222)(202222212122222121212122)(22)(1)()(2)()1 (2122121211

12、21yxyyxxeee证对任何 x,y 有21,yx取);,;,(),(222211nyx相互独立命题命题212212121121故0将0代入),(yxf即得)()(),(yfxfyxfyx0);,;,(),(222211nyx相互独立命题命题x ,y 不相关例例1010 设 ( x ,y ) n ( 1,4; 1,4; 0.5 ), z = x + y , 求 xz解解, 4)()(, 1)()(ydxdyexe1/2, cov( , )2xyx y6),cov(),cov(),cov(yxxxzx12),cov(2)()()()(yxydxdyxdzd3/ 123/2.xz例例1111 设

13、 (x ,y ) n (0,1;0,1;0), 求22yxz的数学期望.解解dxdyyxfyxze),()(22 dxdyeyxyx2222221 2002221drdrerr2例例1212 已知x ,y 相互独立, 且都服从 n (0,0.5), 求 e( | x y | ).解解) 5 . 0 , 0(),5 . 0 , 0(nynx1)(, 0)(yxdyxe故) 1 , 0( nyx dzezyxez2221|)(|222202dzezz令令22212121bb 为正定矩阵ab222121212111110)1 (|22212b再令 则二维正态联合d.f.为tyxx),(21axxtebyxf21212|)2(1),(推广推广axxnnnte