集合间的基本关系

1、 11.2集合间的基本关系集合间的基本关系 1观察下面几组集合，集合观察下面几组集合，集合a与集合与集合b具有具有什么关系？什么关系？(1)a1,2,3，b1,2,3,4,5(2)ax|x3，bx|3x60(3)a正方形正方形，b四边形四边形对于两个集合对于两个集合a、b，如果集合，如果集合a中的任意一中的任意一个元素都是集合个元素都是集合b的元素，那么称集合的元素，那么称集合a是是集 合集 合 b 的的， 记 作， 记 作 a b ( 或或ba)用图表示为用图表示为 子集用平面上封闭曲线的用平面上封闭曲线的表示集合的方法表示集合的方法称作图示法这种图称作称作图示法这种图称作venn图图2理解

2、子集概念注意以下几点：理解子集概念注意以下几点：(1)不含任何元素的集合称作空集规定：不含任何元素的集合称作空集规定：是任何集合的子集是任何集合的子集(2)任何一个集合是它本身的子集任何一个集合是它本身的子集(3)对于集合对于集合a、b、c，如果，如果ab，bc，那，那么么a c；内部空集 (4)集合集合a不包含于集合不包含于集合b(a b)包括如下图包括如下图所示几种情况：所示几种情况：3集合相等与真子集集合相等与真子集如果集合如果集合a的所有元素都是集合的所有元素都是集合b的元素，的元素，同时集合同时集合b的所有元素都是集合的所有元素都是集合a的元素，的元素，那么就称集合那么就称集合a等于

3、集合等于集合b.(即：若即：若ab，且且ba，则，则ab)如果集合如果集合a是集合是集合b的子集，并且存在的子集，并且存在xb，且且 ，则称，则称a是是b的真子集的真子集值得说明的是：值得说明的是：x a(1)集合集合a是集合是集合b的真子集，即的真子集，即a是是b的子集，的子集，并且并且b中至少存在一个元素中至少存在一个元素a的元的元素；素；(2)子集包括真子集和相等两种情况；子集包括真子集和相等两种情况；(3)空集空集 是任何是任何非空非空集合的真子集；集合的真子集；不是a例2判定下列集合之间是否具有包含或相等关系：(1)ax|x2m1，mz，bx|x4n1，nz， (2)ax|xa24，

4、ar，by|yb23，br，(3)a(x，y)|xy0，xr，yr，b(x，y)|x0，y0，x，yr例例3已知已知mx|x1，nx|xa，且，且m n，则，则()aa1 ba1ca1 da1分析分析为了形象直观地表示集合的关为了形象直观地表示集合的关系可借助数轴，让系可借助数轴，让a在在x轴上运动，通过轴上运动，通过观察归纳观察归纳m与与n的关系，进而得出的关系，进而得出1与与a的的关系关系 解析随着随着a在在x轴上运动，集合轴上运动，集合n也在变也在变化，满足化，满足mn的情况如图，显见的情况如图，显见a1，故，故选选b.总结评述：总结评述：要特别注意要特别注意a能否取到能否取到1，若把，

5、若把其它条件不变，分别只改以下条件时，结其它条件不变，分别只改以下条件时，结论如何：论如何：mx|x1；nx|xa；mn；mn；m n.已知ax|x3，bx|xa(1)若ba，则a的取值范围是_；(2)若ab，则a的取值范围是_；(3)若ab，则a的取值范围是_；(4)若ab，则a的值是_答案(1)a3(2)a3(3)a3(4)3解析(1)若ba应满足a3；(2)若ab应满足a3；(3)ab应满足a3；(4)若ab则a3.例4设集合ax|x24x0，xr，bx|x22(a1)xa210，xr，若ba，求实数a的值分析ba包括ba与ba两种情形当ba时，集合b中一元二次方程有两实根0和4；当b

6、a时，有b 或b中一元二次方程有两相等实根0(或4)解析a4,01若ba，则4,0是方程x22(a1)xa210的两根，a1.2若b ，则4(a1)24(a21)0，a1，3若b中只有一个元素，则0，a1，经验证a1时，b0满足综上所述a1或a1.点评ba时，容易漏掉b 的情况；b0或4易造成重复讨论，应直接由0，求得a值再验证ba是否成立；分类讨论应按同一标准进行本题解答中，实际是按0，0，0对应ba；0对应b0或b4；0对应b .若非空集合ax|x2pxq0，bx|x23x20，且ba，求p、q满足的条件解析因为b1,2，ab，a .a1，2或1,2(1)a1,2时，p3，q2；(2)a1

7、时，p2，q1；(3)a2时，p4，q4.例5已知集合已知集合ax，xy，xy，集合，集合b0，|x|，y，若，若ab，求实数，求实数x，y的的值值分析分析有限集合的相等，即集合中的元素有限集合的相等，即集合中的元素一一对应相等，可以由此建立关于一一对应相等，可以由此建立关于x、y的的方程组来解决问题方程组来解决问题解析(1)0b，ab，0a，又由集合中元素的互异性，可以断定|x|0，y0，x0，xy0，故xy0，即xy，此时ax，x2,0，b0，|x|，x，x2|x|，当x1时x21矛盾，x1，xy1.(江苏苏北四市2010模拟)已知集合a0,2，a2，b1，a，若ab0,1,2,4，则实数

8、a的值为_答案2解析ab0,1,2,4，a4或a24，若a4，则a216，但16 ab，a24，a2，又2 ab，a2.例6(1)aa，b，c，求集合a子集的个数(2)若集合a含有的元素分别为1个、2个、4个、5个，则集合a的子集的个数分别是多少？*(3)根据上面结果猜测集合a含有n个元素时，集合a子集的个数解析(1)确定集合a各种情形子集的个数：含有一个元素时子集为a，b，c共3个，含有两个元素时子集为a，b，a，c，b，c共3个，含有3个元素时子集为a，b，c共1个，另外还有空集 ，因此集合a共有8个子集(2)按上述方法，当集合a含有1个元素时子集个数为2，含有两个元素时子集个数为4，含有

9、4个元素时子集个数为16，含有5个元素时子集个数为32.(3)将上述子集个数整理为21,22,23,24,25，猜测当集合a含有n个元素时子集个数为2n.例7若集合ax|x2x60，bx|mx10，ba，求m的值错解ax|x2x603,2，ba，mx10的解为3或2.辨析要解答本题，首先要搞清楚集合a的元素是什么，然后根据b a，求m的值在这里未考虑“b ，即方程mx10无解”这一情形导致错误一、选择题1下列四个命题：空集没有子集；空集是任何集合的真子集；任何集合至少有两个子集；若 a，则a ，其中正确的个数是()a1个b2个 c3个 d4个答案a解析空集是本身的子集，但不是本身的真子集，它只有本身这一个子集，故错，只有正确答案d 二、解答题3设集合a1,1，试用列举法写出下列集合(1)bx|xa；(2)c(x，y)|x，ya；(3)dx|xa解析(1)b1,1(2)c(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)(3)d ，1，1，1,14已知集合ax|2x5，非空集合bx|m1x2m1，且ba，求m的取值集合 解析ba且b ，故所求集合为m|2m3若把条件ba，改为(1)b a或(2