立体的表面交线

1、立体的表面交线 返返 回回 返返 回回 空间几何体分为平面立体和曲面立体。空间几何体分为平面立体和曲面立体。平面立体：平面立体：表面由平面围成的几何体。表面由平面围成的几何体。曲面立体：曲面立体：表面由曲面或者曲面与平面围成表面由曲面或者曲面与平面围成 的几何体。的几何体。平面平面立体立体曲面曲面立体立体截截 交交: :平面与立体平面与立体相交，截去立体的一部分。相交，截去立体的一部分。 平面与立体、立体与立体两两相交形成平面与立体、立体与立体两两相交形成不同的表面交线，可分为两大类：不同的表面交线，可分为两大类：截交线截交线截平面与立体表面的交线。截平面与立体表面的交线。相相 贯贯: :两曲

2、面立体相交。两曲面立体相交。相贯线相贯线曲面立体与曲面立体表面的交线。曲面立体与曲面立体表面的交线。3.1 3.1 平面立体表面的截交线平面立体表面的截交线3.1.1 3.1.1 概述概述 2) 2)截交线的形状是由直线段围成的截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。平面多边形。 3) 3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点，交点， 多边形的各边是截平面与立体各表面的多边形的各边是截平面与立体各表面的交线交线。 截交线的性质：截交线的性质： 1) 1)截交线既在截平面上，又在立体表面上，截交线既在截平面上，又在立体表面上， 是截平面与立体表面的是截平面与立体表

3、面的共有线。共有线。3.1.2 3.1.2 平面与平面立体截交线的求法：平面与平面立体截交线的求法：a. .求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点线面交点法线面交点法b. .求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线面面交线法面面交线法求截交线的步骤：求截交线的步骤：1) 1) 空间及投影分析空间及投影分析2) 2) 画出截交线的投影画出截交线的投影a、截平面与立体的相对位置、截平面与立体的相对位置: :确定截交线的确定截交线的形状。形状。确定截交线的确定截交线的投影特性。投影特性。b、截平面与投影面的相对位置：、截平面与投影面的相对位置：分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。分

4、别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。 例例11四棱锥被正垂面四棱锥被正垂面p切割，求其截交线的投影切割，求其截交线的投影 。3 2 1 (4 )3 2 4 1 3241) 1) 空间分析空间分析12) 2) 投影分析投影分析3) 3) 求截交线求截交线4) 4) 补全棱线的投影补全棱线的投影检查检查: :尤其注意检查尤其注意检查截交线投影的相仿性截交线投影的相仿性ss s 截平面与体的几截平面与体的几个棱面相交？个棱面相交？截交线的形状？截交线的形状？采采用用的的是是哪哪种种解解题题方方法？法？四边形四边形线面交点法线面交点法 例例22求求p、q 两平面与三棱锥截交线的投影两平面与三棱锥

5、截交线的投影 。1解题步骤解题步骤1)1)分析分析: : 截平截平面为正垂面和面为正垂面和水平面，正面水平面，正面投影积聚；投影积聚；2)2)求出点求出点1、2、3、4；ssa aab (c )bbccpvqv3)3)顺次地连接顺次地连接各点，作出截各点，作出截交线，并且判交线，并且判别可见性；别可见性；s (3 )2 2314324)4)补全轮廓线。补全轮廓线。 4 1 4 例例33已知立体的已知立体的v、w投影，试求其投影，试求其h投影。投影。 例例44已知主视图和左视图，求俯视图。已知主视图和左视图，求俯视图。3.2 3.2 曲面立体表面的截交线曲面立体表面的截交线3.2.1 3.2.1

6、 概述概述回转体截切的基本形式回转体截切的基本形式 平面与回转体表面相交，其截交线是平面与回转体表面相交，其截交线是封闭的封闭的平面图形。平面图形。 截交线是由截交线是由曲线围成曲线围成，或者或者由曲线与直线围由曲线与直线围成，成，或者或者由直线段围成。由直线段围成。 求回转体截交线，常利用求回转体截交线，常利用积聚性积聚性或者或者辅助平辅助平面面以及以及投影变换投影变换的方法。的方法。求平面与回转体截交线的一般步骤：求平面与回转体截交线的一般步骤： 空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的的相对位置

7、，以便确定截交线的形状形状。 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的线的投影特性投影特性，如积聚性、相仿性等。找出截交，如积聚性、相仿性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。线的已知投影，预见未知投影。 画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：* * 光滑连接各点，并判断截交线的光滑连接各点，并判断截交线的可见性可见性。 * * 先找先找特殊点特殊点，补充，补充中间点中间点。3.2.2 3.2.2 圆柱的截交线圆柱的截交线 平面与圆柱面相交时，根据平面平面与圆柱面相交时，根据

8、平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种情况：线有三种情况：圆圆、椭圆椭圆和和矩形矩形。圆柱的截交线圆柱的截交线 多个平面截切多个平面截切立体时，要分别对立体时，要分别对各截平面进行截交各截平面进行截交线的分析和作图。线的分析和作图。 例例11圆柱体被圆柱体被p、q 两平面截切，试完成其三视图。两平面截切，试完成其三视图。 1)1)空间及投影空间及投影分析分析3)3)求截交线。求截交线。2)2)分析圆柱体分析圆柱体轮廓素线轮廓素线的投影。的投影。截平面与截平面与立体立体的相对位置；的相对位置；截平面与截平面与投影面投影面的相对位置；的相对位置；解题步骤解题步

9、骤保留动画确定截交线形状为确定截交线形状为矩形矩形和和圆弧圆弧。acbdepvqve b (d )a (c )e a (b ) c (d ) 例例2 2圆柱被正垂面截切，试画出三视图。圆柱被正垂面截切，试画出三视图。1 1分析：截平面为分析：截平面为正垂面正垂面，截交线的正面投影，截交线的正面投影积聚积聚， 侧面投影和水平投影为侧面投影和水平投影为椭圆椭圆；2 2求出截交线上的求出截交线上的特殊点特殊点a、b、c、d；3 3求出若干个求出若干个一般点一般点e、e1；4 4光滑顺次连接各点，作出截交线，并判别可见性；光滑顺次连接各点，作出截交线，并判别可见性；5 5补全轮廓线。补全轮廓线。解题步

10、骤解题步骤 截平面与圆柱轴线的倾角为截平面与圆柱轴线的倾角为，其交线的，其交线的h投影投影为椭圆，且椭圆的长、短轴随为椭圆，且椭圆的长、短轴随的变化而变化的变化而变化 。截平面与圆柱轴线成截平面与圆柱轴线成45时时, ,投影为圆。投影为圆。(1)(1)作圆柱的作圆柱的w w面投影面投影图图 平面与圆柱体相交举例之一平面与圆柱体相交举例之一 例例 如图如图a a，根据，根据v v 面投影和面投影和h h 面投影补出立体的面投影补出立体的w w面投影。面投影。 a a) ) 题图题图 解：解： (2) (2) 作左切块上的投影作左切块上的投影 图图 平面与圆柱体相交举例之一平面与圆柱体相交举例之一

11、(3)(3)作下部通槽的投影作下部通槽的投影 (4)(4)判别可见性，整理、加深完成全图判别可见性，整理、加深完成全图 图图 平面与圆柱体相交举例之一平面与圆柱体相交举例之一 例例44空心圆柱上部开有长方槽，若已知其空心圆柱上部开有长方槽，若已知其v、h投影，试求投影，试求w投影。投影。 例例44空心圆柱上部开有长方槽，若已知其空心圆柱上部开有长方槽，若已知其v、h投影，试求投影，试求w投影。投影。 3.2.3 3.2.3 圆锥截交线圆锥截交线 根据截平面与圆锥轴线的相对根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有位置不同，截交线有五种形状五种形状。圆锥的五种截交线圆锥的五种截交线图图3.9

12、3.9 平面与圆锥体相交举例平面与圆锥体相交举例 例例 补全立体的三面投影。补全立体的三面投影。辅助平面辅助平面纬圆纬圆辅助平面辅助平面 例例33圆锥被正垂面圆锥被正垂面p和侧平面和侧平面q截切，已知截切，已知其主视图，求作俯视图和左视图。其主视图，求作俯视图和左视图。 圆球的截交线总是圆。圆球的截交线总是圆。 由于截平面相对于投影面的位置不同，由于截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投影可能是圆、椭圆或直线。截交线的投影可能是圆、椭圆或直线。 3.2.4 3.2.4 圆球的截交线圆球的截交线 两个侧平面截切圆球，交线在左视图上为部分两个侧平面截切圆球，交线在左视图上为部分圆弧，在俯视图上积

13、聚为直线。圆弧，在俯视图上积聚为直线。 例例2 2 已知上部开有通槽的半圆球的主视图，求其俯已知上部开有通槽的半圆球的主视图，求其俯视图和左视图。视图和左视图。 水平面截切水平面截切圆球，交线在俯圆球，交线在俯视图上为部分圆视图上为部分圆弧，在左视图上弧，在左视图上积聚为直线。积聚为直线。3.2.5 3.2.5 综合举例综合举例 首先分析复合回转体由哪些基本首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。并依次将其连接。保留动画球1圆柱2 圆柱3 例例11已知立体的俯

14、、左视图，完成其主视图。已知立体的俯、左视图，完成其主视图。球1圆柱2 圆柱33.3.1 3.3.1 概述概述相贯线的主要性质：相贯线的主要性质： 其作图实质是找出相贯的两立体表面的其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。若干共有点的投影。1) 1) 共有性共有性 相贯线是两立体表面的共有线。相贯线是两立体表面的共有线。2) 2) 分界性分界性 相贯线两立体表面的分界线。相贯线两立体表面的分界线。3) 3) 封闭性封闭性 相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下为不封闭或平面曲线或直线。下为不封闭或平面曲线或直线。3.3 3.3 回转体的相贯线回转

15、体的相贯线两立体相交可分为两立体相交可分为 1) 1) 两平面立体相交：两平面立体相交：可归结为求两平面可归结为求两平面的交线问题，或求棱线与平面的交点问题。的交线问题，或求棱线与平面的交点问题。 2) 2) 平面立体与曲面立体相交：平面立体与曲面立体相交：可归结为可归结为求平面与曲面立体截交线问题。求平面与曲面立体截交线问题。本节主要介绍此问题本节主要介绍此问题 3) 3) 曲面立体相贯线：曲面立体相贯线：3.3.2 3.3.2 轴线正交的两圆柱体的相贯线轴线正交的两圆柱体的相贯线 3.3.2.13.3.2.1轴线垂直相交的两圆柱，试求其相贯线。轴线垂直相交的两圆柱，试求其相贯线。 相贯线的

16、侧面投影积聚在水相贯线的侧面投影积聚在水平平大圆柱大圆柱侧面投影上，即为侧面投影上，即为圆的圆的一部分一部分。 空间及投影分析：空间及投影分析： 相贯线的水平投影与直立相贯线的水平投影与直立小小圆柱圆柱的水平投影重合，是的水平投影重合，是一个圆一个圆。 求相贯线的投影：求相贯线的投影：利用利用积聚性积聚性，采用，采用表面取点法表面取点法。1. 1. 找全找全特殊点；特殊点；2. 2. 补充补充一般点；一般点；3. 3. 判别可见性、光滑连接；判别可见性、光滑连接；4.4. 补全轮廓线。补全轮廓线。3.3.2.23.3.2.2圆柱与圆锥相贯圆柱与圆锥相贯 例例3.123.12求圆柱与圆锥的相贯线

17、。求圆柱与圆锥的相贯线。a a) ) 求特殊点求特殊点b b）求一般点，连线，整理）求一般点，连线，整理图图3.16 3.16 圆柱与圆锥相贯举例圆柱与圆锥相贯举例曲面立体相贯的三种基本形式曲面立体相贯的三种基本形式2.2.外表面外表面与与内表面内表面相交相交1.1.两外表面两外表面相交相交3.3.两内表面相交两内表面相交 以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。 以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。贯、圆柱内表面与圆柱内

18、表面相贯的情况。圆柱、圆锥相贯线变化规律圆柱、圆锥相贯线变化规律当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。动画一动画一 动画二动画二 特例：轴线正交的两等径圆柱体相贯特例：轴线正交的两等径圆柱体相贯相贯线为椭圆相贯线为椭圆 1. 1.蒙日定理蒙日定理: :若两个二次曲面共切于第三个二次曲面，则两曲若两个二次曲面共切于第三个二次曲面，则两曲面的相贯线为平面曲线（椭圆）。面的相贯线为平面曲线（椭圆）。 3.3.4 相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况相贯线相贯线相贯线相贯线相贯线相贯线 2. 2.具有公共回转轴的两回转体相贯具有公共回转轴的两回转体相贯 相贯线为垂直于公共回转轴线的圆相贯线为垂直于公共回转轴线的圆 图图3.17 3.17 具有公共回转轴的两回转体相贯具有公共回转轴的两回转体相贯图图3.18 3.18 轴线相互平行的两圆柱相贯及共锥顶的两圆锥相贯轴线相互平行的两圆柱相贯及共锥顶的两圆锥相贯 3. 3.轴线相互平行的两圆柱相贯轴线相互平行的两圆柱相贯相贯线为直线相贯线为直线 4.4.共锥顶的两圆锥相贯共锥顶的两圆锥相贯相