数字信号习题1

1、第一章习题讲解第一章习题讲解解： 342x nrnh nrn）， 34y nx nh nrnrn1-2 已知线性移不变系统的输入为 ，系统的单位抽样响应为 ，试求系统的输出 ，并画图。 x n h n y n 412nnnrn 44412rnrnrn解： 3320.5nx nnh nrn）， 32320.50.52nny nx nh nnrnrn解： my nx m h nm 4210.5nnx nunh nu n ），1n 当时 20.5nmn mmy n24nnmm24nmmn14422143nnn0n 当时 120.5mn mmy n 4121233nny nunu n 124nmm12

2、4nmm114122143nn 1 01nh na una ， h n 1-3 已知 ，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 的线性移不变系统的阶跃响应。解：lsi系统的阶跃响应是指输入为阶跃序列时系统的输出，即 1 ,01nh na una ,x nu n my nx nh nx m h nm求1n 当时0n 当时 0n mmy na1naa 1n mm ny na 1aa或1n 当时0n 当时 111naay nunu naa my nh nx nh m x nm求 nmmy na1nmmnaaa 1mmy na11mmaaa1-4 判断下列每个序列是否是周期性的，若是周期性的，

3、试确定其周期 31cos78x nan（）037其中02143是有理数( )x n解：为正弦序列 14x n为周期序列，周期为14()( )nx nnx n是满足的最小正整数1-6 试判断 是否是线性系统？ 并判断是否是移不变系统？ 2y nx n 21212t x nxnx nxn不满足可加性 或 2t ax nax n不满足比例性 不是线性系统 2t x nmx nm是移不变系统 2212122x nxnx n xn 12t x nt xn解：设 211( )( )t x nx n222( )( )t x nx n 22ax nat x n2()y nmx nm1-7 判断以下每一系统是否

4、是（1）线性（2）移不变（3）因果（4）稳定的？ 1t x ng n x n（） 1212t ax nbxng nax nbxn解：满足叠加原理 是线性系统 t x nmg n x nm不是移不变系统 12ag n x nbg n xn 12at x nbt xn y nmg nm x nmt x nm因为系统的输出只取决于当前输入，与未来输入无关。所以是因果系统 若 有界 x n当 时，输出有界，系统为稳定系统 g n 当 时，输出无界，系统为不稳定系统 g n x nm t x ng n m则 t x ng n x n 01212nk nt ax nbxnax kbxk满足叠加原理 是线性

5、系统0nk nt x nmx km是移变系统 02nk nt x nx k（ ） 0012nnk nk nax kbxk 12at x nbt xn 0n mkk mknmx k 令 0n mk ny nmx kt x nm当 时，输出只取决于当前输入和以前 的输入 0nn而当 时，输出还取决于未来输入0nn是非因果系统 当 时， x nm 0nk nt x nx k 0nk nx k是不稳定系统 n 当01nnm 0nk nt x nx k 121020t ax nbxnax nnbxnn满足叠加原理 是线性系统0t x nmx nmny nm是移不变系统 是非因果系统 x nm 若0 x

6、nnm 则是稳定系统 03t x nx nn（ ） 12at x nbt xn当 时，输出取决于未来输入 00n 是因果系统 当 时，输出与未来输入无关 00n 1212ax nbxnt ax nbxne不满足叠加原理 是非线性系统x n mt x nmey nm是移不变系统 输出只取决于当前输入，与未来输入无关 是因果系统 x nm 若 x nx nmeee 则是稳定系统 4x nt x ne（ ） 1212x nxnat x nbt xnaebe 12ax nbxnee1-8 以下序列是系统的单位抽样响应 ， 试说明系统是否是（1）因果的（2）稳定的 h n 33nu n（ ） 解：0n

7、当时 0h n 是因果的 03nnnh n 是不稳定的 43nun（ ） 解：0n 当时( )0h n 是非因果的 03nnnh n是稳定的 03nn131213 50.3nu n（ ） 解：是因果的 00.3nnnh n是稳定的 0n 当时 0h n 11010.37 31nun （6） 0.解：是非因果的 10.3nnnh n是不稳定的 0n 当时 0h n 10.3nn 74n（ ）解：4n 当时( )410h nn 是非因果的 41nnh nn是稳定的 1-10设有一系统，其输入输出关系由以下 差分方程确定 111122y ny nx nx n设系统是因果性的。（a）求该系统的单位抽样

8、响应（b）由（a）的结果，利用卷积和求输入 的响应 j nx ne（a）系统是因果性的 0,0h nn 111122y ny nx nx n x nn令 111122y nh nh nx nx n则 211010112211110101 1122211121212221113232222 hhxxhhxxhhxxhhxx系统的单位抽样响应 1112nh nnu n 111111222nh nh nx nx n122112jj nj njeeee 1112nj nby nh nx nnu ne（ ）1112mjn mj nmee1122mj nj mmee2212121j njj nj njje

9、eeeee2je12212121jjjnj nj njjeeeeeee 1112nj ny nx nh nenu n或1112nmnj nj mmee 11122nmj njmnee 11121212njnj njeee1-12 已知一个线性时不变系统的单位抽样响应 除区间 之外皆为零；又已知输入 除区间 之外皆为零；设输出 除区间 之外皆为零，试以 和 表示和 。 h n01nnn x n23nnn y n45nnn012,nn n4n5n3n解： 对线性移不变系统，有 my nx nh nx mh nm对 ，非零值的区间为 x m23nmn对 ，非零值区间为h nm01nnmn402nnn

10、513nnn y n0213nnnnn得输出 的非零值区间01nmnnm( )x nn02n3n( )h nn00n1n02nnn13nnn0nn1nn()h nmm00n1n0n ()h nmm0()h nmm0()h nmm02n()h nmm03n 1-14 有一调幅信号用dft做频谱分析，要求能分辨 的所有频率分量，问(1)抽样频率应为多少赫兹（hz）?(2)抽样时间间隔应为多少秒（sec）?(3)抽样点数应为多少点？(4)若用 频率抽样，抽样数据为512点，做频谱分析，求 ，512点，并粗略画出 的幅频特性 ，标出主要点的坐标值。 1cos 2100cos 2600axttt axt

11、3khzsf ( ) ( )x kdft x n( )x k( )x k（1）抽样频率应为 2 7001400sfhz解：（2）抽样时间间隔应为110.000720.721400stsecmsf 1cos 2100cos 2600axtttcos 260011 cos 2700cos 250022ttt61715cos 2cos 2cos 214214214nnn3( )( )at ntx nx t（ ）( )14x nn 为周期序列，周期14抽样点数至少为点500 600 700hz或者因为频率分量分别为、0100hzf 得 0/1400/10014snff14n最小记录点数2/stff 2

12、/k n* /sffk n第二章习题讲解第二章习题讲解2-1求以下序列的z 变换并画出零极点图和收敛域：解：( )( )nnzt x nx n z1112z零点： 0z 极点： 12z 1( )( )2nx nu n(2)012nnnz12zz11112z收敛域： 12z re zim jz01/2解：11( )( )2nnnnnzt x nx n zz1( )(1)2nx nun （3）零点： 0z 极点： 12z 收敛域： 12z 12nnnz21122zzzz 21z re zim jz01/2 221211415311448zx zzzz x n x z2-2 假如 的z变换代数表示式

13、是下式，问 可能有多少不同的收敛域，它们分别对应什么序列？解：对 的分子和分母进行因式分解，得 x z 221211415311448zx zzzz11211111122113111424zzzzz1111112113111224zjzjzz1111112( )113111224zx zjzjzz1, 02z 零点：3224jjz 极点：，-，-112z ） ，为左边序列( )x z所以的收敛域为：re zim jz03/4/2j/2j0.513224z） ，为双边序列334z ） ，为右边序列re zim jz03/4/2j/2j0.5re zim jz03/4/2j/2j0.512112(

14、 )114zx zz（1）12z 解：长除法 11111112111111222zzzz 2-3 用长除法，留数定理，部分分式法求以下 的z反变换 ( )x z12112( )114zx zz1121211112111241 12 4 1 2zzzzzz 1211124zz由roc判定x(n)是右边序列，用长除法展成z的负幂级数，分子分母按z的降幂排列1211( )124x zzz 012nnnz1( )( )2nx nu n 1:lim( )1( )2zroczx zx z 又 即 处收敛留数法 ( )( )0 0 x nx nn为因果序列 即，当 时，0n 111( )( )11122nn

15、nzzf zx z zzz在围线c内只有一个单阶极点 12z f zre zim jz0c0.512( )res( )zx nf z1( )( )2nx nu n 12n 121122nzzzz11( )112x zz部分分式法 1122z 1 ( )( )2nx nu n 得查表由 11( )1nzt a u nzaaz（2）14z 1112( )114zx zz解：长除法 22( )1144zzx zzz由roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数，分子分母按z的升幂排列22( )87474x zzz( )8 ( )74(1)nx nnun 1874nnnz1874nnnz22

16、2232312428 7774 747474 74zzzzzzzzzz 2287474zz留数法 11(2)( )( )1/4nnzzf zx z zz当 时， 只有极点 ， 围线c内无极点。故 1n ( )f z14z ( )0 x n 0( )re( )zx ns f z当 时， 在围线c内有一单阶极点 0n 0z ( )f zre zim jz0c1/4re zim jz0c1/4810(2)1/4nzzzzz1/4( )re( )zx ns f z ( )8 ( )74(1)nx nnun re zim jz0c1/4当 时， 在围线c内有一 阶极点 在围线c外有单阶极点 ， 且分母阶

17、次高于分子阶次二阶以上1n ( )f z0z 1/4z (1)n11/4(2)1/41/4nzzzzz 17 1744 4nn部分分式法 ( )21144x zzabzzzzz0( )res8zx zaz14( )res7zx zbz 7( )814zx zz ( )8 ( )74(1)nx nnun 得查表由11(1)1nzt a unzaaz 其中 11( )( ),2nx nu n21( )( )3nx nu n已知 11( ),1nzta u naz za利用 变换性质求 的 变换 ( )y nz( )y zz12( )(3)*(1)y nx nxn 2-6 有一个信号 ，它与另两个信

18、号 和 的关系是( )y n1( )x n2( )x n解： 11( )( )2nx nu n由21( )( )3nx nu n由11111 ( )( ) 1212xzzt x nzz得22111 ( )( ) 1313xzzt x nzz得 331111(3) 1212zzt x nz xzzz由序列的移位性质，得221zt xnxz11 33zz222( ) () 1x nxnxn 翻褶左移一位2 1zt xn 求1113zz2211zt xnz xz 1113z11221(1)( )113zzt x nz xzz221(1)zt xnxz 12(3)(1)y zzt x nzt xn 3

19、1111123zzzz53132zzz132z222 ( ) (1) 1x nx nxn 或右移一位翻褶2( )xz13z 113zz11 33zz（1）0()nn2-7 求以下序列 的频谱( )x n():jx e()( )jj nnx ex n e0()j nnnn e0j ne（3）0()( )jneu n0()0()( )jnjj nj nnnx ex n eee0()0jnne0()11jee0()0njnee10e 当40()( )jj nj nnnx ex n ee2-9 求 的傅里叶变换5( )( )x nr n解： 511jjee555222222()()jjjjjjeeee

20、ee25sin2sin25je2 k2 kk为整数2-10 设 是如图所示的 信号的傅里叶变换，不必求出 ，试完成下列计算： jx e x njx e01jx e（） 00jjnnx ex n e得 nx n6() ( )( )jj nnx edtft x nx n e解：由序列的傅里叶变换公式23 jx ed（ ）解：由解：由parsevalparseval公式公式 2212jnx nx ed 22 2jnx edx n得28jx ed（2） 0jjjx edx eed得 20 x411( )()()2jjj nx ndtftx ex eed解：由序列的傅里叶反变换公式解 ：（a）1( )(

21、1)( 1)x nxnxn 1()(1)( 1)jx edtft xnxn ()()jjjjex eex e2-11 已知 有傅里叶变换 ，用 表示下列信号的傅里叶变换 ( )x n()jx e()jx e(1)( 1)dtft xndtft xn 2cos()jx e()jdtft xnx e()j mjdtft x nmex e*31()()()2jjjxexex e*3()( )( )2xnx nx n（b）re()jx e()jdtft xnx e *()jdtft xnxe2-13 研究一个输入为 和输出为 的时域线性离散移不变系统，已知它满足10(1)( )(1)( )3y ny

22、ny nx n( )y n( )x n 并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。 解：对差分方程两边取z变换 110( )( )( )( )3z y zy zzy zx z1( )1( )10( )3y zh zx zzz得系统函数：133zzz1, 33z 极点：1 :33rocz系统稳定10(1)( )(1)( )3y ny ny nx n21013zzz0, z 零点： 3388133zzh zzz 133zh zzz由 1:3 3roczh n求 121113333h zaazzzzz 11/33res8zh zaz 233res8zh zaz11( )1nzt a u nzaaz11

23、(1)1nzt a unzaaz 13zz 1( )3nu n1/3z 3zz3(1)nun 3z 1:3 3rocz 3388133zzh zzz 3 13318 38nnh nu nun 2-14 研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统，该系统不限定因果、稳定系统，利用方程的零极点图，试求系统单位抽样响应的三种可能选择方案。 5(1)( )(1)( )2y ny ny nx n15( )( )( )( )2z y zy zzy zx z解：对差分方程两边取z变换1( )1( )5( )2y zh zx zzz极点： 1, 22z 可能有的收敛域： 零点： 0,z 12z 122z2z 得

24、系统函数2511222zzzzzz( )122zh zzz对部分分式分解 2233122zzh zzz12( )1112222h zaazzzzz 11/22res3zh zaz 222res3zh zaz2 12( )(1)2(1)3 23nnh nunun （1）当 时，系统非因果不稳定12z 2233122zzh zzz(1)nzzt a unzaza re zim jz020.5212(1)32nnun （2）当 时，系统稳定，非因果122z2 12( )( )2(1)3 23nnh nu nun ( )nzzt a u nzaza(1)nzzt a unzaza 2233122zzh

25、 zzzre zim jz020.521( )2(1)32nnu nun （3）当 时，系统因果，不稳定 2z 2 12( )2( )3 23nnh nu nu n ( )nzzt a u nzaza 2233122zzh zzzre zim jz020.5212( )32nnu n 2-17 设 是一离散时间信号，其z变换为 。利用 求下列信号的z变换： x n x z x z 111x nx nx nx nx n （），这里 记作一次后向差分算子， 定义为： 1ztx nzt x nzt x n解： 111x zz x zzx z 2220nxnxnn 为偶数（ ）为奇数 222nnnnn

26、zt xnxn zxz为偶数解： 22mmx m zx z22nnmnxzm， 为整数 332xnxn（ ） 332nnnnzt xnxn zxn z=-解： 22mmnx m zn， 为整数 1 112mx mx m 令 231112mmmzt xnx mz 1221122mmmmx m zx mz 112212xzxz第三章习题讲解第三章习题讲解1,04( )0,nnx nn其他3设 4( )(2)h nr n令 ， ，6( )( )x nx n6( )( )h nh n试求 与 的周期卷积并作图。 ( )x n( )h n解：10( )( ) ()nmy nx m h nm1 1 1 1

27、 1 1 0 0 1 1 0 01 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 11 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 00 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 2 3 4 5 0 3 4 5 06 7 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1n m/x n mhm1hm2hm3hm4hm5hm/h n m14 12 10 8 6 10 ( )y n4. 已知 如图p3-4（a）所示，为 ，试画出 ， ， ， ， ， 等各序列。 1

28、,1,3,2( )x n5()xn66()( )xnr n33( )( )x nr n6( )x n55(3)( )x nr n77( )( )x nr n5()xn6( )x n66()( )xnr n55(3)( )x nr n33( )( )x nr n77( )( )x nr n5. 试求以下有限长序列的 点 （闭合形式表达式）：ndft0( )cos()( )nx nan rn(1) 10( )( )( )nnknnnx kx n wrk解：002101()( )2njnkjnjnnnnaeeerk2100cos()( )njnknnnan erk002211()()001( )2n

29、njknjknnnnnnaeerk000022()()111( )211jnjnnjkjknneearkee0000002221 21 21 2()()()2221()2()nnnjjjjkjkjknnneeeaeee0000002221 21 21 2()()()222()( )()nnnjjjnjkjkjknnneeerkeee0000112200sin()sin()122( )112sin()sin()22nnjkjjkjnnnnnaeerkkknn210( )njnknnnna erk(2) ( )( )nnx na rn10( )( )( )nnknnnx kx n wrk解：21(

30、 )1nnjknarkae210( )nnjknnnaerk210( )( )njnknnnx n erk2100()( )njnknnnnn erk02( )jn knnerk(3) 0( )()x nnn00nn10( )( )( )nnknnnx kx n wrk解：1( 2/)01()()njnn kkx nxken6. 如图p3-6（a）画出了几个周期序列 ，这些序列可以表示成傅里叶级数 ()x n（1）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 成为实数？ ( )x k（2）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 （除 外）成为虚数？( )x k(0)x（3）哪些序列能做到 ，( )0x

31、k 2, 4, 6,.k 为共轭对称序列，即满足实部偶对称，虚部奇对称（以 为轴）。( )x n0n 即 是以 为对称轴的偶对称( )x n0n 解:（1）要使 为实数，根据dft的性质:( )x k( )( )re( )ex nx nx k( )0im( )0ox njx k( )x n( )x n( )()x nxn又由图知， 为实序列，虚部为零，故 应满足偶对称： 故第二个序列满足这个条件 为共轭反对称序列，即满足实部奇对称，虚部偶对称（以 为轴）。( )x n0n 即 是以 对称轴的奇对称( )x n0n （2）要使 为虚数，根据dft的性质:( )x k( )0re( )0ex nx

32、 k( )( )im( )ox nx njx k( )x n( )x n( )()x nxn 又由图知， 为实序列，虚部为零，故 应满足奇对称： 故这三个序列都不满足这个条件（3）由于是8点周期序列，其dfs:238104411( 1)( )11j kkjnkjkjknex keee 当 时， 2, 4, 6,.k 1( )0x k 序列2:32442041( )1jkjnkjknexkee217800( )( )( )njnknknnnx kx n wx n e序列1:当 时， 2, 4, 6,.k 1( )0x k 序列3:311( )( )(4)x nx nx n根据序列移位性质可知31

33、141( 1)x ( )x ( )x ( )(1)1kj kj kjkkkekee 当 时， 2, 4, 6,.k 3( )0x k 综上所得，第一个和第三个序列满足 ( )0x k 2, 4,.k 8. 下图表示一个5点序列 。( )x n（1）试画出 ； ( )( )x nx n（2）试画出 ； ( )x n( )x n（3）试画出 ； ( )x n( )x n( )( )x nx n ( )x n( )x n ( )x n( )x n9. 设有两个序列( ),05( )0,x nnx nn其他( ),014( )0,y nny nn其他 各作15点的dft，然后将两个dft相乘，再求乘积

34、的idft，设所得结果为 ，问 的哪些点（用序号 表示）对应于 应该得到的点。( )f n( )f nn( )( )x ny n解: 序列 的点数为 ， 的点数为 ，故 的点数应为( )x n16n ( )y n215n ( )( )x ny n12120nnn 0n 4(1)nnl019(1)n ( )f n( )x n( )y n又 为 与 的15点的圆周卷积，即l15。是线性卷积以15为周期周期延拓后取主值序列混叠点数为nl20155( )f n5n 14n ( )( )x ny n故 中只有 到 的点对应于 应该得到的点。154(1)ln()l1534(1)ln( )l10. 已知两个

35、有限长序列为1,03( )0,46nnx nn1,04( )1,56ny nn试用作图表示 ， 以及 。( )x n( )y n( )( )f nx n( )y n-3 -2 -10 1 2 3 4 5 67 81 2 3 4 0 0 0-1 -1 -1 -1 -1 1 1-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1-1 -1-1 -1 -1-1 1 1 -1 -1 -1 -1-1 1-1 1 1 -1 -1 -1 -1-1 -1 1 1 -1 -1 -1-1 -1 -1 1 1 -1 -1-1 -1 -1 -1 1 1 -1-1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -

36、1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1n m/x n m/y n m 77ymrn 771ymrn 772ymrn 773ymrn 774ymrn 775ymrn7ym 7ym 776ymrn0 4 -2 -10 -10 -8 ( )f n-4 11.已知 是n点有限长序列， 。现将长度变成rn点的有限长序列( )x n( )( )x kdft x n( )y n( ),01( )0,1x nnny nnnrn试求rn点 与 的关系。( )dft y n( )x k解：由210( ) ( )( ),01njnknnx kdft x nx n ekn得10( ) ( )( )rnnk

37、rnny kdft y ny n w210( )knjnnrnx n e10( )nnkrnnx n w, 0,1,.,1klr lnkxr210( )njnkrnnx n e 在一个周期内，y (k)的抽样点数是x (k)的r倍( y (k)的周期为nr)，相当于在x (k)的每两个值之间插入r-1个其他值（不一定为零），而当k为r的整数l倍时，y (k)与x (k / r)相等。相当于频域插值210( )( ) 01njnknnx kx n ekn, 0,1,.,1klr ln( )ky kxr12. 已知 是n点的有限长序列， ，现将 的每两点之间补进 个零值点，得到一个rn点的有限长序

38、列 ( )x n( ) ( )x kdft x n( )x n1r ( )y n(),0,1,.,1( )0,x n rnir iny nn其他试求rn点 与 的关系。 ( )dft y n( )x k解：由10( ) ( )( ),01nnknnx kdft x nx n wkn10( ) ( )( )rnnkrnny kdft y ny n w得10()nirkrnix ir r w01krn10( )niknix i w故( )( )( )nrny kxkrk 离散时域每两点间插入 r -1个零值点，相当于频域以n为周期延拓r次，即y(k)周期为rn。10( )( ) 01nnknnx

39、kx n wkn01krn10( )( )nikniy kx i w14.设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力 ，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。10hz解:（1）因为 ，而 ，所以001tf010fhz0110ts即最小记录长度为0.1s。（2）因为 ，而31110100.1sfkhzt2shff152hsffkhz即允许处理的信号的最高频率为 。5khz 又因n必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数为 300.13 10100

40、00.1tnt（ ）1021024n 19. 复数有限长序列 是由两个实有限长序列 和 组成的，且已知 有以下两种表达式： f n x n 01y nnn f nx njy n f kdftf n 11111nnkknnabf kjawbw 21f kjn 其中 为实数。试用 求, a b f k ,x kdft x n ,y kdft y n ,x n y n 111 11nnkknnabf kjawbw ( ) ( ) ( )( )f kdft f ndft x njy n解：由dft的线性性 ( ) ( )dft x njdft y n( )( )x kjy k( ) ( )re ( )

41、x kdft x ndftf n( )epfk*1( )()( )2nnf kfnkrk由共轭对称性得*11111( )2 1111nnnnnkkn kn knnnnababjjrkawbwawbw*11111( )2 1111nnnnnkkkknnnnababjjrkawbwa wb w*1( )( )()( )2nnx kf kfnkrk1( )1nnknarkaw10( )nnknnnna wrk1( )1nknnknawrkaw( )( )nnx na rn( ) ( )im ( )y kdft y ndftf n1( )opfkj*1( )()( )2nnf kfnkrkj*1111

42、1( )21111nnnnnkkn kn knnnnababjjrkjawbwawbw*11111( )21111nnnnnkkkknnnnababjjrkjawbwa wb w1( )1nnknbrkbw10( )nnknnnnb wrk1( )1nknnknbwrkbw( )( )nny nb rn*111( )2njnjnrk111( )2njnjn rk ( )nrk( )( )x nn( ) ( )re ( )x kdft x ndftf n( )epfk*1( )()( )2nnf kfnkrk 21f kjn *111( )2njnjnrkj111( )2njnjn rkj (

43、)nnrk( )( )y nnn( ) ( )im ( )y kdft y ndftf n1( )opfkj*1( )()( )2nnf kfnkrk20. 已知序列 现对于x(n) 的 变换在单位圆上 等分抽样，抽样值为 试求有限长序列 , 点。 idft x k ,01,nx na u nazn 2jkknnz wex kx zn( )( ), 01nx na u na解：由101( )( )1nnx zx n zaz得11( )( )1knknz wz wx kx zaz11knaw1111nnknnkna waaw1011nnknnnawa1011nnnknnna wa1( )( )1

44、nnnidft x ka rna ( )()( )knnknz wnx knwznxx zx对在单位圆上 点等间隔抽样，得周期序列：( )x kidfs的：( )()nrxnx nrn( )( )( )nnx kx k rk点 ( )( )x nidft x k1( )1nnna rna( )( )nnxn rn ()( )n rnnrau nrn rn0( )n rnnrarn0( )rnnnraarn26. 研究一个离散时间序列 ，由 形成两个新序列 和 ，其中 相当于以抽样周期为2对 抽样而得到，而 则是以2对 进行抽取而得到，即 x n x n pxn dxn pxn x n dxn

45、x n , 0, 2, 4,0, 1, 3,px nnxnn 2dxnxn(a)若 如图p326 (a)所示，画出 和 。 x n pxn dxn(b) 如图p326 (b)所示， 画出 及 jx edtft x n jppxedtft xn jddxedtft xn()jx e , 0, 2, 4,0, 1, 3,px nnxnn 2dxnxn1()01()()sdjkjpkxex ed()()jjddpxexe()jx e3454223454223232()jdxe2342()jpxe34第四章习题讲解第四章习题讲解1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘 ，每次复加 ，用它来计算512

46、点的 ，问直接计算需要多少时间，用 运算需要多少时间。 5 s0.5 s dft x nfft解：(1)直接利用 计算： 复乘次数为 ，复加次数为 。 dft2n1n n 复乘所需时间 626215 105 105121.31072tns 复加所需时间 6260.5 1010.5 1051251210.130816tnns所以直接利用dft 计算所需时间： 121.441536ttts复乘所需时间 612625 10log25125 10log 5120.011522ntns622620.5 10log0.5 10512log 5120.002304tnns复加所需时间 所以用 fft 计算所

47、需时间 120.013824ttts(2) 利用 计算： 复乘次数为 ，复加次数为 。 fft2log2nn2lognn2.已知 ， 是两个n点实序列 ， 的 值，今需要从 ， 求 ， 的值，为了提高运算效率，试用一个n点 运算一次完成。 x k y k x n y ndft x k y k x n y nifft 例：设x1(n)和x2(n)都是n点的实数序列，试用一次n点dft运算来计算它们各自的dft: 11 ( )( )dft x nx k22( )( )dft x nxk解：利用两序列构成一个复序列12( )( )( )w nx njx n12( ) ( )( )( )w kdft

48、w ndft x njx n则12( )( )dft x njdft x n12( )( )x kjxkre ( )( )epw nwkim ( )( )opjw nwk1( )re ( )x nw n由得11( )( )re ( )( )epx kdft x ndftw nwk*1( )() ( )2nnnwkwnkrk2( )im ( )x nw n由得221( )( )im ( )( )opxkdft x ndftw nwkj*1( )() ( )2nnnwkwnkrkj解： 由题意 x kdft x ny kdft y n，构造序列 z kx kjy k对 作一次n点ifft可得序列

49、z k z n又根据dft的线性性质 idft x kjidft y k而 ， 都是实序列 x n y n reimx nz ny nz n ( )z nidft z k ( )z nidft z kidft x kjy k x njy n3. n=16 时，画出基 -2 按时间抽取法及按频率抽取法的 fft 流图（时间抽取采用输入倒位序，输出自然数顺序，频率抽取采用输入自然顺序，输出倒位序）。 解：自然序 倒位序0 0000 0000 010001 1000 820010 0100 430011 1100 1240100 0010 250101 1010 1060110 0110 6 70111 1110 14自然序