中山大学固体物理第五章参考答案

1、3.由同种原子组成的二维密排结构晶体，原子间距为a，作图画出其前三个布里渊区图形，并求：(1)每个原子有一个价电子时的费米半径kf；(2)第一布里渊区的内切圆半径k1；(3)内切圆为费米圆时的电子浓度1 (即平均每个原子的价电子数)；(4)每个原子有两个价电子时的费米半径，画出简约区中近自由电子近似的费米面图形。4.分别求出二维正方晶格简约区中沿m和xzm轴自由电子能量函数en(k) 能量最低的前四条曲线的表达式，画出其示意图并给出各曲线的简并度。 二度简并思考题思考题（1）对有限尺寸晶体（如量子点，量子线或量子井），你认为其晶体能带相对于理想晶体会有什么变化？周期性边界条件破坏，边界效应开始

2、变得明显能带不再是准连续的。 （2）试讨论分别同a、b两种材料组成的一维超晶格量子阱的能带变化。*(如下图)aba8acaevaecbevbe克朗尼格-朋奈模型(基泰尔，固体物理导论，p119)在 0 x 无散射； 散射 偏离平移对称性的结果，稳态bloch态的微扰：散射：偏离平移对称性有几种可能：1）时间和空间都确定的缺陷，如杂质、位错、晶界；2）随时间变化的偏离平移对称性，如晶格振动；3）电子电子相互作用造成的散射，与上面讲到的散射相比，通常并不显著。 4 4、用紧束缚用紧束缚近似近似处理面心立方晶格处理面心立方晶格s s态电子，态电子，试导出其能带关系，并求出能带底的有效质试导出其能带关

3、系，并求出能带底的有效质量。量。5 5、 氢原子外层只有一个电子，为何固态氢不像钾、钠等碱金属那样呈金属性？科学家们又为何相信，只要通过高压手段把氢原子间距压缩得足够小，就可以使固态氢转变为金属？请通过能带模型加以解释。解：固态氢的原子局域在氢原子周围，无法形成公有化运动。当施加高压时，氢原子的间距减小，氢原子周围的电子的周期性势场势垒减小，电子形成公有化运动，从而固态氢可以导电，变为金属。附加题：利用二维自由电子气模型解释利用二维自由电子气模型解释de de haashaasvan alphenvan alphen效应效应。 222ke km12ncen自由二维电子气具有准连续的能谱，在垂直

4、磁场下聚集成间隔为 c 的分立能级。量子态改变，量子态的总数不变。222cmll edb朗道能级的简并度为：landau能级简并度随磁场强度b变化，使得电子气系统的能量随磁场强度变化而变化。德哈斯-范阿尔芬效应dn能量上升能量上升能量不变能量不变能量上升能量上升至最大至最大能量上升后能量上升后又开始下降又开始下降五五. 二维自由电子气模型二维自由电子气模型nbelbelndd221221) 1() 1(n为系统电子总数。能量增量随磁场的变化为：fsenelbbb2111212其中：2222ffnskl为二维自由电子气费米圆的面积。2222222(2 )2ffflknnskl而二维自由电子气系统

5、的磁矩为：bem 系统的能量随系统的能量随1/1/b b周期变化，因此系统的磁矩也随磁场周期变化，因此系统的磁矩也随磁场做周期性震荡变化。而从实验上测出做周期性震荡变化。而从实验上测出mm随随1/1/b b变化的周期，变化的周期，定出费米面定出费米面 s sf f ，这是十分有用的。，这是十分有用的。五五. 二维自由电子气模型二维自由电子气模型金属的电导率、比热等物理量在低温强磁场低温强磁场中也有类似的振荡现象。这种现象与金属费米面附近的电子在强磁场中的行为有关，因而与金属的费米面结构有密切关系，这些现象是研究金属费米面结构的有力工具上面对自由电子的讨论可以推广到bloch电子，只需要用有效质

6、量 m* 代替 m 即可，因为前者已经涵盖了周期场的影响，上式推广到 bloch 电子，有：121febaaf是垂直于磁场的费米面极值截面积，如果我们测出磁场沿是垂直于磁场的费米面极值截面积，如果我们测出磁场沿不同方向给出的截面积，就可以绘出费米面的形状。不同方向给出的截面积，就可以绘出费米面的形状。五五. 扩展到扩展到bloch电子电子解的物理意义： 格波 原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距 的整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。2,( , ,manal m n lq都是整数）。2q如：expexpexp(2)expmnuaitmaqaitnaqilaitnaqu有：1该解表明：

7、晶体中所有原子共同参与的振动，以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。 从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质弹性波中的 x 是可以连续取值的；而在格波中只能取 na 格点位置这样的孤立值。nqit naqaeait xqe连续介质弹性波：第一布里渊区里的色散关系： 分离原子集体振动形成的格波与连续介质中的弹性波相比，色散关系发生了变化，偏离了线性关系，而且具有周期性和反射对称性qq 0q( q )-/ a/ asv q 2()( )qnqa( )()qqq 从解的表达式中可以看出：把 aq 改变 2的整数倍后，所有原子的振动实际上没有任何区别，因此有物理意义的 q 取值范围可以限

8、制在第一布里渊区内。aqqaa 这种性质称作格波的简约性。一维单原子链的倒格矢：2ngna在波矢空间这就避免了某一频率的格波有很多波长与之对应的问题 由图明显看出两个不同波长的格波只表示晶体原子的一种振动状态，q 只需要在第一布里渊区内取值即可，这是与连续介质弹性波的重大区别。12445aa112222252qaqa参考黄昆书 p85 图 由白线所代表的波不能给出比黑虚线更多的信息，为了表示这个运动，只需要大于2a的波长。 见kittel p70 图周期性边界条件（bornkarman 边界条件）nnn 上面求解假定原子链无限长，这是不现实的，确定何种边界条件才既能使运动方程可解，又能使结果符

9、合实际晶体的测量结果呢？ bornkarman 最早利用周期性边界条件解决了此问题，成为固体理论的一个典范。 所谓周期性边界条件就是将一有限长度的晶体链看成无限长晶体链的一个重复单元，即：itn n aqit naqaeae1inaqe即：2qnnan =任意整数，但考虑到 q 值的取值范围，n 取值数目是有限的：只有布里渊区内的 n 个整数值。2nanaa22nnn周期性边界条件并没有改变方程解的形式，只是对解提出一定的条件，q 只可取n个不同的值，每个q对应着一个格波。 引入周期性边界条件后，波数 q 不能任意取值，只能取分立的值。在 q 轴上，相邻两个 q 的取值相距 ， 即在 q 轴上，每一个 q 的取值所占的空间为