七年级数学有理数及其运算

1、像像1010、1.21.2、1717这样的数叫做这样的数叫做正数正数，它们都比，它们都比0 0大。大。在正数前面加上在正数前面加上“”号的数叫做号的数叫做负数负数，例如，例如1010，3 3 我们常用正数和负数表示一些相反意义的量我们常用正数和负数表示一些相反意义的量。0既不是正数，也不是负数既不是正数，也不是负数如：向东走10米记为+10米，向西走15米记为-15米。整数整数与与分数分数统称为有理数。统称为有理数。整数整数分数分数正整数正整数：如：如 1 1、2 2、3 3零零： 0 0负整数负整数：如：如1 1、2 2、3 3有有理理数数正分数正分数: : 如如 1/2 1/2 、1/31

2、/3、5.25.2、3.53.5负分数负分数：如：如 -1/5-1/5、-3.5-3.5、-5/6-5/6、-2.8-2.8规定了规定了原点原点、正方向正方向和和单位长度单位长度的直线叫做的直线叫做数轴数轴。1、数轴的特点、数轴的特点（1）数轴是一条直线（2）数轴有原点（点）（）数轴有正方向（通常取向右为正方向）（）数轴有单位长度、数形结合、数形结合任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。、数轴的画法、数轴的画法0 01 12 23 3-1 1-2 2-3 3(1)取原点(2)规定正方向,通常取向右为正方向(3)选取适当的长度为单位长度定义一：定义一：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中

3、一个数如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的为另一个数的相反数相反数，也称这两个数，也称这两个数互为相反数互为相反数。特别地，。特别地，0的相反数是的相反数是0。定义二定义二：和为的两个数互为相反数。：和为的两个数互为相反数。1 20.35873 求、 - 、 的相反数0 01 12 23 3-1 1-2 2-3 3、数轴上两个点所表示的数，右边的总比左边大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。越越 来来 越越 大大、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。、利用数轴比较两个数的大小。、利用数轴比较两个数的大小。在数轴上用两个相应的点表示两个

4、数，通过比较这两个点在数轴上的位置关系来比较两个数的大小。在数轴上，一个数所对应的点与原点的在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离距离叫做这个数的叫做这个数的绝绝对值对值。例如：的绝对值等于，记作。例如：的绝对值等于，记作，的绝对值等于，记作的绝对值等于，记作、一个数本身与它的绝对值的关系、一个数本身与它的绝对值的关系正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值是0， 任何数的绝对值都是非负数。任何数的绝对值都是非负数。15绝对值大于 而小于 的所有整数的和是_、利用绝对值比较两个负数的大小、利用绝对值比较两个负数的大小两个负数比较大小，绝对值大的反而小。两个负数比较大小，绝对

5、值大的反而小。例、比较和的大小解：因为解：因为-5= 5， | -8 | = 8 5 -8 3、绝对值的特性、绝对值的特性| a 2 | + | b 3 | = 0 , 求求2 a + 3 b的值。的值。解：依题意有 | a 2 | = 0 | b 3 | = 0 , 则 a = 2 b = 3 2 a + 3 b = 13有理数加法法则：有理数加法法则：1 1、同号同号两数相加，取两数相加，取相同的符号相同的符号，并把，并把绝对值相加绝对值相加。2 2、异号异号两数相加，绝对值相等时和为两数相加，绝对值相等时和为0 0； 绝对值不相绝对值不相等时，等时，取绝对值大的数的符号取绝对值大的数的符

6、号，并用，并用较大的绝对值较大的绝对值减去较小的绝对值减去较小的绝对值。3 3、一个数同零相加，仍得这个数。、一个数同零相加，仍得这个数。进行有理数加法运算的步骤：进行有理数加法运算的步骤：1、判断加法类型（同号相加？异号相加？和零相加？）2、确定和的符号3、确定和的绝对值1、同号同号两数相加，取两数相加，取相同的符号相同的符号，并把，并把绝对值相加绝对值相加。（+5）+（+3）（5）+（ 3）= +（ | 5 | +| 3 | ）= +81、判断加法类型同号相加2、确定和的符号取相同的符号“+”3、确定和的绝对值绝对值相加= （ | 5 | + | 3 | ）= 81、判断加法类型同号相加2

7、、确定和的符号取相同的符号“+”3、确定和的绝对值绝对值相加2、异号异号两数相加，绝对值相等时和为两数相加，绝对值相等时和为0； 绝对值不相等时，绝对值不相等时，取绝对值大的数的符号取绝对值大的数的符号，并用，并用较大的绝对值减去较小的绝对值较大的绝对值减去较小的绝对值。（5）+（+3）（5）+（ 3）= （ | 5 | | 3 | ）= 1、判断加法类型异号相加2、确定和的符号取绝对值较大的符号“+”3、确定和的绝对值较大的绝对值减去较小的绝对值= （ | 5 | | 3 | ）= 1、判断加法类型异号相加2、确定和的符号取绝对值较大的符号“+”3、确定和的绝对值较大的绝对值减去较小的绝对值

8、（5）+（ 5）= 0异号相加，绝对值相等，和为异号相加，绝对值相等，和为03、一个数同零相加，仍得这个数。、一个数同零相加，仍得这个数。（ -5）+ 0 = -51 7.94.32.91.3 、（-）（）2 1213( 18) 16( 5) 、（-）214113 32523 、（）（）+(-)4 15( 20)28( 10)( 5) 、做一做做一做减法法则减法法则减去减去一个数，等于一个数，等于加上加上这个数的这个数的相反数相反数。a b = a + ( - b )有理数减法运算步骤：有理数减法运算步骤：1、被减数不变2、减法变加法3、确定减数并把减数变成其相反数4、根据加法法则进行运算计算

9、、计算、 （ - 5 ）- 6（ - 5 ）- 6=（ - 5 ） + （- 6）1、被减数不变2、减法变加法3、确定减数并把减数变成其相反数= - 11= - ( 5 + 6 )4、根据加法法则进行运算1 2.41059、（- . ）112 17( 17)44、（-） -2323 ( 3 )( 2 )( 1 ) 1.75343 、11114 0()()( 1.25)6432 、做一做做一做有理数乘法法则有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与任何数与0相乘，积仍未相乘，积仍未0。当负因数有当负因数有奇数奇数个时，积为个时，积为

10、负负；当负因数有；当负因数有偶数偶数个时，积为个时，积为正正；有因数为；有因数为零零时，积就为时，积就为零零。乘积为乘积为1的两个有理数的两个有理数互为倒数互为倒数。倒数的概念倒数的概念536 0.50.1257求、 、的倒数乘法的乘法的交换律交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不：两个数相乘，交换因数的位置，积不变；变；乘法的乘法的结合律结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变；者先把后两个数相乘，积不变；乘法的乘法的分配律分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加

11、。个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 乘法运算的步骤：乘法运算的步骤：1、判断乘法类型（同号相乘？异号相乘？和零相乘？）2、确定积的符号3、确定积的绝对值1、两数相乘，、两数相乘，同号同号得得正正，绝对值，绝对值相乘相乘（5）x x（3）（5）x x（ +3）= +（ | 5 | x x | 3 | ）= +151、判断乘法类型同号相乘2、确定积的符号同号得正“ + ”3、确定积的绝对值绝对值相乘= （ | 5 | x x | 3 | ）= 151、判断乘法类型同号相乘2、确定积的符号同号得正“+”3、确定积的绝对值绝对值相乘2、两数相乘，、两数相乘，异号异号得得负负，绝对值，绝对值相乘相乘

12、（5）x x（+ 3）（5） x 0 x 0= （ | 5 | x x | 3 | ）= 151、判断乘法类型异号相乘2、确定积的符号异号得负“ ”3、确定积的绝对值绝对值相乘= 0（与0相乘）3、任何数与、任何数与0相乘，积仍未相乘，积仍未0。做一做做一做131 ( 7 ) ( 8) () 3.25344 、314722 () ( 2 ) 1( 1 ) 2537811 、11253 () ( 60)3456 、57274 () ( 18) 16 (-)969 18 、有理数除法法则一有理数除法法则一两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除。两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除。0除以任何

13、除以任何数等于数等于0。0不能做除数。不能做除数。有理数除法法则二有理数除法法则二除以一个数等于乘以这个数的倒数。除以一个数等于乘以这个数的倒数。除法运算的步骤：除法运算的步骤：1、判断除法类型（同号相除？异号相除？被零除？）2、确定商的符号3、确定商的绝对值1、两数相除，、两数相除，同号同号得得正正，绝对值，绝对值相除相除（6） （3）（6） （ +3）= +（ | 6 | | 3 | ）= +21、判断除法类型同号相除2、确定商的符号同号得正“ + ”3、确定商的绝对值绝对值相除= （ | 6 | | 3 | ）= 21、判断除法类型同号相除2、确定商的符号同号得正“+”3、确定商的绝对值

14、绝对值相除2、两数相除，、两数相除，异号异号得得负负，绝对值，绝对值相除相除（6） （+ 3）（6） （ 3）= （ | 6 | | 3 | ）= 21、判断除法类型异号相除2、确定商的符号异号得正“ ”3、确定商的绝对值绝对值相除= （ | 6 | | 3 | ）= 21、判断除法类型异号相除2、确定商的符号异号得正“+”3、确定商的绝对值绝对值相除3、0除以任何数等于除以任何数等于0。0 5 = 00 （-5）= 04、除除以一个数等于以一个数等于乘乘以这个数的以这个数的倒数倒数。1 12 25 5() 除法化成乘法除法化成乘法换成倒数换成倒数5 51 12 2() 5 52 2 1 (

15、32)( 8) 、2 ( 0.26)0.26、13 0( 302 )6 、54 ( 0.75)( 0.3)4 、做一做做一做求几个求几个相同因数的积相同因数的积的运算，叫做的运算，叫做乘方乘方一般的一般的,任意多个相同的有理数相乘任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作我们通常记作: anaaaa个nana幂幂指数指数底数底数a n读作读作a的的n次方，次方，也可读作也可读作a的的n次幂次幂a n表示表示n个个a相乘相乘做一做做一做321 ( 3)( 5) 、33312 ( )( 1 )42 、2213 3()3 、334 ( 32)( 2)34 、正数正数的任何次幂都是的任何次幂都是正数正数；负数负数的的奇次幂奇次幂是是负数负数，负数负数的的偶次幂偶次幂是是正数正数乘方运算的法则：乘方运算的法则：1、(-2)4 与与 -24 相同吗？相同吗？ 相乘个负表示24)2(44242表示个负 相乘的积的相反数它们的意义不相同它们的意义不相同16) 2)(2)(2)(2() 2(416222224有理数的运算律有理数的运算律加法运算律：加法运算律： 加法交换律加法交换律: :a+b=b+a 加法结合律加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)乘法运算律：乘法运算律： 乘法交换律乘法交换律: :ab=b 乘法结合律乘法结合律:(ab)c=a(bc) 乘法对