矩阵的数值特征行列式范数条件数迹秩相对特征根

1、第五专题 矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知apq, bqp, 则|ip+ab|=|iq+ba|证明一：参照课本194页，例4.3.证明二：利用ab和ba有相同的非零特征值的性质；从而ip+ab，iq+ba中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。行列式是特征值的乘积，因此|ip+ab|和|iq+ba|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。定义：，

2、etra=exp(tra)性质：1. ，线性性质；2. ；3. ；4. ；5. 为向量；6. ;从schur定理（或jordan标准形）和（4）证明；7. ,则,且等号成立的充要条件是a=0；8. ,则，且等号成立的充要条件是a=b（）；9. 对于n阶方阵a，若存在正整数k,使得ak=0,则tr(a)=0（从schur定理或jordan标准形证明）。若干基本不等式对于两个mn复矩阵a和b，tr(ahb)是mn维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn维列向量的内积，利用cauchy-schwarz不等式x,y2x,xy,y 得定理：对任意两个mn复矩阵a和b |tr(ahb)|2tr

3、(aha)tr(bhb) 这里等号成立的充要条件是a=cb,c为一常数。特别当a和b为实对称阵或hermit矩阵时0|tr(ab)|定理：设a和b为两个n阶hermite阵,且a0，b0，则 0tr(ab)1(b)tr(a) tr(a)tr(b) 1(b)表示b的最大特征值。证明：tr(ab)= tr(a1/2ba1/2) 0，又因为a1/21(b)i-ba1/20，所以1(b)tr(a)a1/2ba1/2，得tr(ab)= tr(a1/2ba1/2)tr(1(b) a)=1(b) tr(a)tr(a)tr(b)推论：设a为hermite矩阵，且a0，则tr(a)tr(a-1)n另外，关于矩阵

4、的迹的不等式还有很多，请参考矩阵论中不等式。三、矩阵的秩矩阵的秩的概念是由sylvester于1861年引进的。它是矩阵的最重要的数字特征之一。下面讨论有关矩阵秩的一些性质和不等式。定义：矩阵a的秩定义为它的行（或列）向量的最大无关组所包含的向量的个数。记为rank(a)性质：1. ；2. ；3. ；4. ，其中x列满秩，y行满秩（消去法则）。定理（sylvester）：设a和b分别为mn和nl矩阵，则 sylveste定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的矩阵论中不等式，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。四、相对特征根定义：设a和b均为p阶实对称

5、阵，b0，方程|a-b|=0的根称为a相对于b的特征根。性质：|a-b|=0等价于|b-1/2ab-1/2-i|=0(因为b0，所以b1/20)注：求a相对于b的特征根问题转化为求b-1/2ab-1/2的特征根问题或ab-1的特征根。因b-1/2ab-1/2是实对称阵，所以特征根为实数。定义：使(a-ib)li=0的非零向量li称为对应于i的a相对于b的特征向量。性质： 设l是相对于的a b-1的特征向量，则a b-1l=l 或 a (b-1l)=b( b-1l)b-1l 为对应的a相对于b的特征向量（转化为求a b-1的特征向量问题）。 设l是相对于的b-1/2ab-1/2的特征向量，则b-

6、1/2ab-1/2l=l 可得a (b-1/2l)=b(b-1/2l)则b-1/2l 为对应的a相对于b的特征向量（转化为求b-1/2ab-1/2对称阵的特征向量问题）。五、向量范数与矩阵范数向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的一种度量。先讨论向量范数。1. 向量范数定义：设v为数域f上的线性空间，若对于v的任一向量x，对应一个实值函数，并满足以下三个条件： （1）非负性 ，等号当且仅当x=0时成立； （2）齐次性 （3）三角不等式。则称为v中向量x的范数，简称为向量范数。定义了范数的线性空间定义称为赋范线性空间。例1. ，它可表示成， 就是一种范数，称为欧氏范数或2-范数。证明：（i）

7、非负性 ，当且仅当时，即x0时，0 （ii）齐次性 （iii）三角不等式 ， 根据hlder不等式：， 2. 常用的向量范数（设向量为） 1-范数：； -范数：；p-范数： （p1, p=1, 2,）;2-范数：;椭圆范数(2-范数的推广):，a为hermite正定阵.加权范数：， 当，证明：显然满足非负性和齐次性 （iii），应用hlder不等式 即 3. 向量范数的等价性定理 设、为的两种向量范数，则必定存在正数m、m，使得 ，（m、m与x无关），称此为向量范数的等价性。同时有注：（1）对某一向量x而言，如果它的某一种范数小（或大），那么它的其它范数也小（或大）。（2）不同的向量范数可能大

8、小不同，但在考虑向量序列的收敛性问题时，却表现出明显的一致性。4、矩阵范数向量范数的概念推广到矩阵情况。因为一个mn阶矩阵可以看成一个mn维向量，所以中任何一种向量范数都可以认为是mn阶矩阵的矩阵范数。1. 矩阵范数定义：设表示数域c上全体阶矩阵的集合。若对于中任一矩阵a，均对应一个实值函数，并满足以下四个条件： （1）非负性： ，等号当且仅当a=0时成立； （2）齐次性： （3）三角不等式：,则称为广义矩阵范数； （4）相容性：,则称为矩阵范数。5. 常用的矩阵范数（1）frobenius范数（f-范数）f-范数： = =矩阵和向量之间常以乘积的形式出现，因而需要考虑矩阵范数与向量范数的协调

9、性。定义：如果矩阵范数和向量范数满足则称这两种范数是相容的。给一种向量范数后，我们总可以找到一个矩阵范数与之相容。（2）诱导范数设acmn，xcn, 为x的某种向量范数，记 则是矩阵a的且与相容的矩阵范数，也称之为a的诱导范数或算子范数。（3）p-范数：，,x为所有可能的向量， ，可以证明下列矩阵范数都是诱导范数：（1） 列（和）范数；（2） 谱范数；的最大特征值称为的谱半径。当a是hermite矩阵时，是a的谱半径。注：谱范数有许多良好的性质，因而经常用到。（3） 行（和）范数（ ，）定理 矩阵a的任意一种范数是a的元素的连续函数；矩阵a的任意两种范数是等价的。定理 设acnn，xcn, 则

10、和是相容的即 证明：由于成立。定理 设acnn，则是酉不变的，即对于任意酉矩阵u,vcnn，有证明： 定义 设acnn，a的所有不同特征值组成的集合称为a的谱；特征值的模的最大值称为a的谱半径，记为(a)。定理 (a)不大于a的任何一种诱导范数，即(a) 证明：设是a的任意特征值，x是相应的特征向量，即 ax=x则|x|= |ax|a|x|, |x|0即 |a|试证：设a是n阶方阵，|a|是诱导范数，当|a|1时，i-a可逆，且有|(i-a)-1|(1-|a|)-1证明：若i-a不可逆，则齐次线性方程组(i-a)x=0有非零解x，即x=ax，因而有|x|=|ax|a|x|x|但这是不可能的，故

11、i-a可逆。于是 (i-a)-1= (i-a)+a (i-a)-1=i+a (i-a)-1因此|(i-a)-1|i|+|a(i-a)-1|=1+|a(i-a)-1|1+|a| (i-a)-1|即证 |(i-a)-1|(1-|a|)-1补充证明|i|=1：由相容性可知：|a|a-1|a a-1|=|i|对于诱导范数( )。六、条件数条件数对研究方程的性态起着重要的作用。 定义：设矩阵a是可逆方阵，称|a|a-1|为矩阵a的条件数，记为cond(a)，即cond(a)= |a|a-1|性质：（1）cond(a) 1,并且a的条件数与所取的诱导范数的类型有关。因cond(a)= |a|a-1|a a

12、-1|=|i|=1（2）cond(ka)= cond(a)=cond(a-1)，这里k为任意非零常数。当选用不用的范数时，就得到不同的条件数，如：cond1(a)= |a|1|a-1|1cond(a)= |a|a-1|cond2(a)= |a|2|a-1|2=，其中分别为aha的特征值的模的最大值和最小值。谱条件数特别地，如果a为可逆的hermite矩阵，则有cond2(a)= 这里分别为a的特征值的模的最大值和最小值。如果a为酉阵，则cond2(a)= 1例 求矩阵a的条件数cond1(a)，cond(a) 解：|a|1=max6;14;4=14;|a|=max8;3;13=14;故|a-1

13、|1=17/4;|a-1|=47/4;cond1(a)= |a|1|a-1|1=1417/4=259/2;cond(a)= |a|a-1|=611/4。例 设线性方程组ax=b的系数矩阵a可逆。讨论当b有误差b时，解的相对误差x的大小。解：因矩阵a可逆，所以ax=b有唯一解x=a-1b，设解的误差为x，由a(x+x)=b+b得 ax=b或x=a-1b得 （1）又ax=b，可得，或 （2）所以由（1）和（2），得 这说明相误差的大小与条件数cond(a)密切相关；当右端b的相对误差一定时，cond(a)越大，解的相对误差就可能越大；cond(a)越小，解的相对误差就可能越小。因而条件数cond(a)可以反映a的特性。一般来说：条件数反映了误差放大的程度，条件