理论力学课件上

1、理论力学理论力学第八章第八章 点的合成运动点的合成运动第八章点的合成运动第八章点的合成运动复习复习点的速度合成点的速度合成rrromm点的绝对速度为：点的绝对速度为：dtrddtrddtrdvomardtrddtrdeodtrdrveoreavvv即即：其中牵连速度为：其中牵连速度为：rvveoezxyoi ejokmrmror（m ）eoerreoemerrrv三、点的加速度合成定理三、点的加速度合成定理点的加速度合成定理点的加速度合成定理（设（设 e为动系为动系c-ijk绕轴绕轴 z 的瞬时角速度）的瞬时角速度）dtvddtvddtvdareaa正确的推导方法（正确的推导方法（1）相对速度

2、的导数相对速度的导数：rerrvdtvddtvdrervareaaaa?zxyoi ejokmrmror（m ）renrrvaa点的加速度合成定理点的加速度合成定理正确的推导方法（正确的推导方法（2）牵连牵连速度的导数速度的导数：dtrdrdtdaeeoreeeeovrrareevarvdtddtvdeoe牵连速度：牵连速度：rvveoezxyoi ejokmrmror（m ）eoeredarvrdt点的牵连加速度点的牵连加速度其中牵连加其中牵连加速度速度：eoeeeaarrzxyoi ejokmrmror（m ）oeoeeoarreeoeeoarrrremeemmrraneeereeerdv

3、avaavdt即：即：（设（设z 为瞬时转动轴）为瞬时转动轴）点的加速度合成定理点的加速度合成定理根据（根据（1）和（）和（2）的结果：）的结果：得到加速度合成定理的表达式：得到加速度合成定理的表达式：dtvdrrervadtvdereevadtvddtvddtvdareaacreaaaaa即即：绝对加速度牵连加速度、相对加速度、绝对加速度牵连加速度、相对加速度、科氏加速度科氏加速度的矢量和的矢量和点的加速度合成定理点的加速度合成定理creaaaaa绝对加速度牵连加速度、相对加速度、绝对加速度牵连加速度、相对加速度、科氏加速度科氏加速度的矢量和的矢量和科氏科氏（coriolis）加速度加速度:

4、recva 2)v ,(varerecsin2 evrac科氏加速度科氏加速度的的大小大小：科氏加速度科氏加速度的的方向方向：按右手法则确定按右手法则确定点的加速度合成定理点的加速度合成定理在求解加速度问题时，由于涉及的矢量较多在求解加速度问题时，由于涉及的矢量较多（最多可以有七个最多可以有七个）：）：cnrrneenaaaaaaaaa所以通常采用在所以通常采用在（选定的选定的）轴上投影的办法解决轴上投影的办法解决。思考思考：在什么情况下：在什么情况下科氏加速度科氏加速度0 ？1 动系作平移运动，这时动系作平移运动，这时 e0， reaaaa2相对速度矢量相对速度矢量vr与角速度矢量与角速度矢

5、量 e平行。平行。3相对速度矢量相对速度矢量vr0。recva 2根据公式根据公式emm t 瞬时瞬时t+t 瞬时瞬时vr点的加速度合成点的加速度合成例子例子vevavavrve已知已知：直管直管绕定轴绕定轴o转动，管中质点转动，管中质点m沿管线运动，（沿管线运动，（相对相对）速度）速度vr。求求：质点质点m的的绝对加速度绝对加速度。1、运动分析、运动分析:动点动点m动系动系固连于直管固连于直管牵连运动牵连运动定轴转动定轴转动相对运动相对运动直线运动直线运动绝对运动绝对运动平面曲线平面曲线在在t +t 瞬时瞬时：reavvvreavvv由速度合成定理，在由速度合成定理，在t 瞬时瞬时：点的加速

6、度合成点的加速度合成例子例子emm t 瞬时瞬时t+t 瞬时瞬时vrvevavavrvem1ve1vr2经经t 的速度改变量：的速度改变量：reavvvreaaaa两边除以两边除以t 并取极限，并取极限，下列关系成立否？下列关系成立否？?由加速度的定义，有：由加速度的定义，有：tvvaaata0limtvvarrtr20limtvvaeete10lim下面我们进一步考察加速度的定义。下面我们进一步考察加速度的定义。点的加速度合成点的加速度合成例子例子emm t 瞬时瞬时t+t 瞬时瞬时vrvevavavrvem1ve1vr200limlimeraatt vvvatttvvtvvrrteet00

7、limlimrcecrrrteeetaaaaatvvatvv212010limlimtvvvveeeet110limtvvvvrrrrt220lim点的加速度合成点的加速度合成例子例子emm t 瞬时瞬时t+t 瞬时瞬时vrvevavavrvem1ve1vr2vrvr2vrtvvaeetc101lim10limetomomtrevtvvarrtc202limtvtvrtrt00limlimrev绝对加速度：绝对加速度：creaaaaa点的加速度合成点的加速度合成讨论讨论tvvaeetc101limtvvarrtc202lim相对运动使得牵连速度的相对运动使得牵连速度的大小大小发生了附加改变发生

8、了附加改变牵连运动使得相对速度的牵连运动使得相对速度的方向方向发生了附加改变发生了附加改变科氏加速度科氏加速度的的意义：意义：recccvaaa221emm t 瞬时瞬时t+t 瞬时瞬时vrvevavavrvem1ve1vr2河岸冲刷河岸冲刷在北半球沿经线流动的河流，其右岸受到的冲在北半球沿经线流动的河流，其右岸受到的冲刷更严重！刷更严重！科氏加速度科氏加速度实例实例q铁轨磨损铁轨磨损由于由于科氏加速度科氏加速度，在北半球运行的列，在北半球运行的列车使右边的铁轨磨损更严重！车使右边的铁轨磨损更严重！q离心式压气机离心式压气机旋转叶片中的气流有旋转叶片中的气流有科氏加速度科氏加速度的作用。的作用

9、。科氏加速度科氏加速度实例实例q台风台风在北半球，在北半球，台风台风总是逆时针旋转的。总是逆时针旋转的。q炮弹、弹道导弹的轨迹炮弹、弹道导弹的轨迹傅科（傅科（foucault）摆）摆科氏加速度科氏加速度实例实例圆盘角速度圆盘角速度为常量，点为常量，点m在圆盘上半径在圆盘上半径为为r 的槽中以不变的速度的槽中以不变的速度vr 运动，求点运动，求点m的的速度和加速度。速度和加速度。例题例题 4圆盘与动点圆盘与动点rmrvevrvavm解解1、运动分析（动点、动系、三种运动）、运动分析（动点、动系、三种运动）2、速度：、速度：reavvvrreavrvvv3、加速度、加速度creaaaaacnrne

10、aaaaarrvrvr2/22aneanraca比较：比较：rvvrvareaa/22rvvrvrvrere/2/22仿形机床中半径仿形机床中半径为为r的半圆形靠模凸的半圆形靠模凸轮沿水平轨道向右轮沿水平轨道向右运动，速度运动，速度v0，加速，加速度度a，带动顶杆，带动顶杆ab沿沿铅垂方向运动，试铅垂方向运动，试求求 = =60时时，顶杆顶杆ab的加速度。的加速度。 例题例题 5半圆靠模凸轮（加速度）半圆靠模凸轮（加速度）abv0nra例题例题 5半圆靠模凸轮半圆靠模凸轮例题例题 5半圆靠模凸轮半圆靠模凸轮abv0nro2、速度分析（画速度矢图）、速度分析（画速度矢图）vvave05770co

11、tv.vvea1、运动分析：、运动分析：动点动点 ab的端点的端点a动系动系固连于凸轮固连于凸轮绝对运动绝对运动直线运动直线运动相对运动相对运动圆周运动圆周运动牵连运动牵连运动水平平水平平动动sin0/vvr例题例题 5半圆靠模凸轮半圆靠模凸轮reavvv3、加速度分析（动系平移）、加速度分析（动系平移）abnroav0杆杆ab的的加速度加速度切线切线anrreaaaaa法线法线vr2/raeaanratranreaa aacossin上式投影到法线上式投影到法线 n 上，得上，得32sincotrvaaa例题例题 5半圆靠模凸轮半圆靠模凸轮大小大小方向方向?例题例题 6曲柄摇杆机构（加速度）

12、曲柄摇杆机构（加速度）已知：已知： 0，oa=r，oo1= l求：当曲柄在水平位置时求：当曲柄在水平位置时摇杆的角加速度摇杆的角加速度 1例题例题 6曲柄摇杆机构（加速度）曲柄摇杆机构（加速度）ab11r解解 1、运动分析：、运动分析：sin,sin11raovvae2221rlr （方向如图）（方向如图）vae例题例题 6曲柄摇杆机构曲柄摇杆机构动点动点滑块滑块 a动系动系固连于摇杆固连于摇杆o1b绝对运动绝对运动圆周运动圆周运动相对运动相对运动直线运动直线运动牵连运动牵连运动定轴转动定轴转动2、速度分析（画速度矢图）、速度分析（画速度矢图）reavvv例题例题 6曲柄摇杆机构曲柄摇杆机构3

13、、加速度分析（动系定轴转动）、加速度分析（动系定轴转动）crneeaaaaaaab11r大小大小方向方向2r?21vr12o1ao1ao1a/o1a /o1a投影到投影到：2232222rlrlrlae22322221 rlrlloaaeceaaaacos解得解得故故摇杆摇杆的角加速度：的角加速度：（逆时针逆时针）aaarac点的复合运动例题点的复合运动例题四、点的复合运动四、点的复合运动例例 题题reavvv点的复合运动点的复合运动概念及公式概念及公式一、概念及公式一、概念及公式 1. 一个动点、二个参考系、三种运动一个动点、二个参考系、三种运动2. 速度合成定理速度合成定理3. 加速度合成

14、定理加速度合成定理reaaaa牵连运动为平动时牵连运动为平动时)2( rccreavaaaaa牵连运动为转动时牵连运动为转动时 点的绝对运动点的绝对运动 = 点的相对运点的相对运动与牵连运动的合成。动与牵连运动的合成。二、解题步骤二、解题步骤1. 选择动点、动系、静系。选择动点、动系、静系。2. 分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。3. 作速度分析，画出速度平行四边形，求出有关的速度、作速度分析，画出速度平行四边形，求出有关的速度、角速度的未知量。角速度的未知量。4. 作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、作加速度分析，画出加速度

15、矢量图，求出有关的加速度、角加速度未知量。角加速度未知量。点的复合运动点的复合运动概念及公式概念及公式三、注意问题三、注意问题1. 牵连速度及加速度是牵连速度及加速度是牵连点牵连点的速度及加速度。的速度及加速度。2. 牵连运动为转动时，作加速度分析不要丢掉牵连运动为转动时，作加速度分析不要丢掉 ac，要正确，要正确地分析和计算地分析和计算 ac 。3. 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影式并程的投影式并不不相同。相同。4. 圆周运动时圆周运动时rrvan22/非圆周运动时非圆周运动时（ 为曲率半径）为曲率半径）22/ van

16、点的复合运动点的复合运动概念及公式概念及公式例题例题 7曲柄滑杆机构曲柄滑杆机构已知曲柄的角速度已知曲柄的角速度 、角加速度角加速度 ，曲柄，曲柄oal；求；求 = 45o 时小时小车的速度与加速度。车的速度与加速度。例题例题 7曲柄滑杆机构曲柄滑杆机构解解：运动分析：运动分析动点动点 oa杆上杆上 a点点动系动系固连于滑杆固连于滑杆绝对运动绝对运动圆周运动圆周运动相对运动相对运动直线运动直线运动牵连运动牵连运动水平平水平平动动reavvv 根据速度合成定理根据速度合成定理做出速度平行四边形如图。做出速度平行四边形如图。)(coscos llvvae2245小车的速度小车的速度：evv 投影至

17、投影至 x 轴：轴：enaaaaasincos45sin45cos 2llael )(222小车的加速度：小车的加速度：eaa 根据加速度合成定理根据加速度合成定理（牵连运动为平移）（牵连运动为平移）renaaaaaa做出加速度矢量图如图。做出加速度矢量图如图。例题例题 7曲柄滑杆机构曲柄滑杆机构 sin lx例题例题 7曲柄滑杆机构曲柄滑杆机构（用坐标法求解用坐标法求解）建立坐标系）建立坐标系写出点的坐标：写出点的坐标：coslxl22 cossin2lxl )(222 x例题例题 8摇杆滑道机构摇杆滑道机构已知：已知： bc杆的速度杆的速度v、加速度、加速度a以及以及h，求，求oa杆的角速

18、度和角杆的角速度和角加速度加速度例题例题 8摇杆滑道机构摇杆滑道机构动点动点销钉销钉d动系动系固结于固结于oa杆杆绝对运动绝对运动直线运动直线运动（已知）（已知）相对运动相对运动直线运动直线运动牵连运动牵连运动定轴转动定轴转动解解：运动分析：运动分析reavvv根据速度合成定理根据速度合成定理做出速度平行四边形如图。做出速度平行四边形如图。coscosvvvaeodve/例题例题 8摇杆滑道机构摇杆滑道机构reavvvsinsinvvvarhvhv2cos )cos/(cos （ 方向如图所示）方向如图所示）投影至投影至 轴：轴：ceaaaacoscossincos222ahvae22coss

19、in21hvahodae根据牵连转动的加速度合成定理根据牵连转动的加速度合成定理crneeaaaaaa2 odane例题例题 8摇杆滑道机构摇杆滑道机构sincos222vhvvarchvhvh3222coscoscos 例题例题 8摇杆滑道机构摇杆滑道机构tan hx（用坐标法求解用坐标法求解）建立坐标系）建立坐标系写出点的坐标：写出点的坐标：x2coshx22coscoshvhx运动方程对运动方程对 t 求导：求导：注意注意当当 t x ， ，有，有hx2cosxv速度方程对速度方程对 t 求导：求导： hxxcossin2cos222cossin21hvah 例题例题 9曲柄滑块机构曲柄

20、滑块机构机构尺寸为机构尺寸为：h、o1a=r。已知已知 、 1，在图示瞬时在图示瞬时o1a / o2e。 求该瞬时杆求该瞬时杆o2e 的角速度的角速度2 2 。例题例题 9曲柄滑块机构曲柄滑块机构解解（1）运动分析（曲柄运动分析（曲柄o1a）动点动点曲柄曲柄o1a上上点点a动系动系固结于固结于bcd杆杆绝对运动绝对运动圆周运动圆周运动（已知）（已知）相对运动相对运动直线运动直线运动牵连运动牵连运动平移运动平移运动sinsin1rvvae由由reavvv做速度平行四边形：做速度平行四边形：frfefavvv21sinsinsinrvvvefafesin/ , 222hfofovef312122s

21、insinsin hrhrfovef例题例题 9曲柄滑块机构曲柄滑块机构（2）运动分析运动分析bcd杆杆再选再选动点动点bcd上上f点点动系动系固结于固结于o2e杆杆绝对运动绝对运动直线运动直线运动相对运动相对运动直线运动直线运动牵连运动牵连运动定轴转动定轴转动 2例题例题 9曲柄滑块机构曲柄滑块机构222cos1xh cos1 rx（用坐标法求解用坐标法求解）建立坐标系）建立坐标系点点a 的坐标：的坐标： 2 x2x1点点f 的坐标：的坐标：tan2 hx22coshx21sinxrx为什么为什么？2sinsin1rh31sinhr例题例题 10套筒滑杆机构套筒滑杆机构已知：滑杆已知：滑杆c

22、d的速度的速度v、加速度、加速度a以及以及h，求套筒，求套筒o的角速度和的角速度和角加速度。角加速度。动点动点cd杆上杆上a点点动系动系套筒套筒o解解：绝对运动绝对运动直线运动直线运动相对运动相对运动直线运动直线运动牵连运动牵连运动定轴转动定轴转动hvoave2cos/coscosvvvaevva其中其中例题例题 10套筒滑杆机构套筒滑杆机构sinvvr由由reavvv做速度平行四边形：做速度平行四边形： hvahoaae2sincos 22ecaaaacos2sincoscos2hvaae例题例题 10套筒滑杆机构套筒滑杆机构crneeaaaaaa由由sincos222vhvvarcaaa其

23、中其中投影至投影至ac方向：方向：tan hxa例题例题 10套筒滑杆机构套筒滑杆机构（用坐标法求解用坐标法求解）a 2sechxa2cos1axhsincos2cos12 aaxxhhv2coshvah2sincos 22 例题例题 11凸轮摆杆机构凸轮摆杆机构凸轮半径为凸轮半径为r，图示瞬时，图示瞬时o、c在一条铅直线上；已知在一条铅直线上；已知凸轮的凸轮的速速度和加速度度和加速度v、a以及以及 角角，求该瞬时，求该瞬时oa杆的角速度和角加速度。杆的角速度和角加速度。分析分析：由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不：由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。宜

24、选接触点为动点。例题例题 11凸轮摆杆机构凸轮摆杆机构动点动点凸轮中心凸轮中心c点点动系动系固结于固结于oa杆杆绝对运动绝对运动直线运动直线运动相对运动相对运动直线运动直线运动牵连运动牵连运动定轴转动定轴转动解解：由由reavvv做速度平行四边形：做速度平行四边形：vvvvaer , 0sinsin/rvrvocve 由由crneeaaaaaa做出加速度矢量图做出加速度矢量图sinsinsin22rvrvrane投影至投影至 轴：轴：cossincoseneaaaatanneaeaaa2222sinsinsin/sinrvrarrvaocae例题例题 11凸轮摆杆机构凸轮摆杆机构02 rcva已知圆盘和杆已知圆盘和杆oa均以匀角速度转动，均以匀角速度转动， 1=9rad/s， 2=3rad/s，b =0.1m。销钉销钉m 可在可在圆盘和杆圆盘和杆oa的导槽中滑动。的导槽中滑动。求求：图示位置：图示位置销钉销钉m的加的加速度。速度。例题例