工程力学应力状态与应力状态分析

1、工程力学应力状态与应力状态分析8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面,主应力是作用于主平面上的正应力。（1)过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:最大切应力为 (2)任斜截面上的应力() 主应力的大小主平面的方位4、主应变 5、广义胡克定律 , 、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。”解题范例8. 试画出下图8.1(a)所示简支梁a点处的原始单元体。图8.1解(1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算,因此应选取如下三对平面:点左

2、右侧的横截面,此对截面上的应力可直接计算得到;与梁y平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取a点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d）所示。(2)分析单元体各面上的应力:a点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b）、()所示,将a点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得点单元体左右侧面的应力为： 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力t ;前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到点单元体如图8.（d)。82图.()所示的单元体,试求(1)图示斜截面上的应力;(）主方向和主应力,画出主单元体;（3）主切应力作用平面

3、的位置及该平面上的正应力,并画出该单元体。解(1)求斜截面上的正应力和切应力图82由公式 （2)求主方向及主应力 最大主应力在第一象限中，对应的角度为,主应力的大小为由可解出因有一个为零的主应力,因此画出主单元体如图8.（）。(）主切应力作用面的法线方向 主切应力为此两截面上的正应力为 主切应力单元体如图8.2（c）所示。由，可以验证上述结果的正确性。8. 试用图形解析法,重解例8.2。解 （)画应力圆建立比例尺,画坐标轴。对图8.2(a)所示单元体，在平面上画出代表的点a(-,-60)和代表的点b(100,0)。连接a、b，与水平轴交于c点,以c点为圆心,(或)为半径,作应力圆如图8所示.图

4、83(2)斜截面上的应力在应力圆上自a点顺时针转过,到达g点。点在坐标系内的坐标即为该斜截面上的应力，从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到点的水平和垂直坐标值： mp=3495p(3)主方向、主应力及主单元体图8.所示应力圆图上h点横坐标为第一主应力,即k点的横坐标为第三主应力，即由应力圆图上可以看出，由点顺时针转过为第一主方向，在单元体上则为由y轴顺时针转,且应力圆图上由a顺时针转到k点(),则在单元体上由x轴顺时针转过为第三主方向,画出主单元体仍如图.2(b)所示。(4）主切应力作用面的位置及其上的应力图8.所示应力圆上n、p点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。在应力圆上由到

5、n，逆时针转过,单元体上作用面的外法线方向为由y轴逆时针转过,且作用面上的正应力均为2mpa,主切应力作用面的单元体仍如图8.2（c)所示。8.4如图8.4所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压强p和外力矩m的作用。在圆筒表面点用应变仪测出与x轴分别成正负4方向两个微小线段ab和c的的应变e4569.4106,5=66.9106，试求压强p和外力矩m。已知薄壁筒的平均直径d20mm，厚度10mm, e20a，泊松比m0.25。图.解 （1)a点为平面应力状态,在点取出如图8.4(c)所示的原始单元体,其上应力：(2）求图8.4(c）斜单元体efgh各面上的正应力:（3)利用胡克定律，列出应变4、e5

6、表达式将给定数据代入上式得内压强和外力矩p=0mpa, m3knm.矩形截面简支梁如图85所示,已知梁的横截面面积为,截面惯性矩为i，材料的弹性模量为e，泊松比为，梁外表面中性层上a点45方向的线应变为450。请选择荷载. 图8.(a) （b) （c） (d）答案:(a) 习题解析81 单元体最大正应力面上的切应力恒等于零吗? 解 正确。因为在主平面上的正应力1是单元体内各截面上正应力的极值(可以为最大值),而主平面上切应力为零。8.2 单元体最大切应力面上的正应力恒等于零,对吗?解 不正确。三向应力状态下单元体有个主应力，而最大切应力由决定,即:.3若一单元体中两个面上切应力数值相等， 符号

7、相反， 则该两平面必定相互垂直,这种说法对吗?解 正确。由切应力双生互等定理知,若切应力数值上，符号相反时,该两平面必定相互垂直。 图 8.6.直径 d=20m、=2m 的圆截面杆,受力如图 8.7。试绘杆件中a 点和 点的单元体受力图,算出单元体上的应力的数值,并确定这些点是否为危险点。（c）图 8.7(a)（b）（d） 解 以下图.8为图87各单元体受力图： 图.8应力计算：图（)的a点: 图(b）的点: 图(c)的a点: b点: , 图(d）中a点(压应力): 点: (b）中的a为危险点,（c）中的a、b为危险点，（d）中的a,b点均为危险点，相比之下a 点的应力较大。8.5已知应力状态

8、如图 8.9 所示(应力单位：mp）。试用图解法求：(1)()、(）中指定斜截面上的应力；并用解析法校核之；(2) ()、(d) 、(e）上主应力的大小与方向,在单元体上画出主平面的位置 ,求最大切应力。()300 斜截面单元本；() 斜截面单元体;(c) 纯切应力单元体;(d) 压拉切单元体(） 拉压切单元体。图 89解（a) 按比例画出应力圆如下图,可得00的斜截面的正应力和切应力为点的坐标为 解析法校核:() 用比例画出应力圆,e点的坐标为 yscexoy解析法校核:()应力圆如下图,与轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为：主平面的方位可由应力圆上量

9、得,因最大主应力作用面与x平面之夹角为(从1到1是顺时针转的):(d）应力圆与轴的交点即为主应力得应点，从应力图上可按比例直接量得两个主应力之值分别为: 最大主应力作用面与x平面之夹角为(可由应力圆上得):(e)应力圆与轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为 主平面的方位，可由应力圆上量得：(对应于主应力1所在主平面）86图8.10 示单元体 ( 单位为 mpa), 问分别属于什么应力状态。图 8.0 解 (1）(a)属于单向拉应力状态;(2）(b)属于双向拉应力状态(平面应力状态);（3）（c) 属于双向拉剪应力状态;()() 属于纯剪应力状态;(）()

10、属于双向拉应力状态(平面应力状态）.7用直角应变花测得构件表面上一点处三个方向的线应变分别为070106,50=35010-6,00=-501-,试作应变圆,求该点处的主应变数值和方向。解选比例尺如图8.11(b）所示，绘出纵坐标轴，并根据已知的值分别作出平行于该轴的直线,过lb线上任一点b,作与lb 线成顺时针方向45角的a线,交la线于a点,作与b线成逆时针转向5角的bc线交lc线于点。作ba与bc两线的垂直的平分线，相交于o点,过点作横坐标轴即轴,并以为半径作圆,按上述比例尺量取些二者的交点1，d2横坐标，即得： 再从应变圆上量得：/2cd2 图 8.118.8用直角应变花测得构件表面上

11、某点处0+4000-6, 40=+26010-6, 900=-810-6,试求该点处三个应变的数值和方向。解 因 利用公式得 8.9用直角应变花测得受力构件表面上某点处的应变值为0-271-6,450=-5701-6 及00 =710-6 ,构件材料为 q235钢,e=21105mp, =0.3。试利用应变圆求主应变，再求出该点处主应力的数值和方向。 图 8.1解 选比例尺和纵坐标轴如图8.1所示,已知 先做la 、lb、c,过上的任一点作与lb线成顺时针转向4度角的ba线,交a线于点;作与l线成逆时针转向45度角的c线交c线于点，作ba与bc线 交线于c点作与c两线的垂直等分线,相交于1点作

12、横坐标轴即轴并以为半径作圆,按上述比例尺即此二者的交点的横坐标,即得 根据虎克定律得:-66m=-10a根据主应变求主应力: 可解得: 根据： 可解得: 从x轴到主应力所在平面外法线，其角是沿顺时针转向量取的。8.10 图 813 示矩形截面简支梁在集中载荷p作用下。（1)在 a、b、c、d、e 五点取单元体,定性分析这五点的应力情况,并指出单元体属于哪种应力状态。(2）若测得图示梁上 点在x及y 方向上的正应变为=400 及y1.2 10-4, 已知e=0n/m,=3， 试求d点 x及 y 方向上的正应力。图8.3 解 （1)a 、 b 、c 、 d 、 五点的应力状态如图14所示，其中、均为压应力，、e均为拉应力。a 、 b 、 d、 e为平面应力状态,c为纯剪切应力状态。deebdc a aa bbcde 图 8.14（2）根据广义虎克定律得24.mpa 85mpa .11图 8.15 示一钢质圆杆，直径 d=20mm, 已知a 点与水平线成0度 方向上 的正应变600=41-4,试求载荷 p。已知 e=210gn/m2，=0.8。 图 8.1 解 过点取单元体,根据题意有 812 如图8.16所示,外力矩 m