切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理

1、切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。3.弦切角

2、：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线ab切o于p，pc、pd为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理 o中，ab、cd为弦，交于p.papbpcpd.连结ac、bd，证：apcdpb.相交弦定理的推论 o中，ab为直径，cdab于p.pc2papb.用相交弦定理.切割线定理 o中，pt切o于t，割线pb交o于apt2papb连结ta、tb，证：ptbp

3、at切割线定理推论 pb、pd为o的两条割线，交o于a、cpapbpcpd过p作pt切o于t，用两次切割线定理圆幂定理 o中，割线pb交o于a，cd为弦pcpdr2op2papbop2r2r为o的半径延长po交o于m，延长op交o于n，用相交弦定理证；过p作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点p向o作任一直线，交o于两点，则自定点p到两交点的两条线段之积为常数|（r为圆半径），因为叫做点对于o的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】例1.如图1，正方形abcd的边长为1，以bc为直径。在正方形内作半圆o，过a作半圆切线，切点为f，交cd于e，求de：ae的值。图1 解：由

4、切线长定理知：afab1，efce 设ce为x，在rtade中，由勾股定理 ， 例2.o中的两条弦ab与cd相交于e，若ae6cm，be2cm，cd7cm，那么ce_cm。图2 解：由相交弦定理，得 aebecede ae6cm，be2cm，cd7cm， ， ， 即 ce3cm或ce4cm。 故应填3或4。 点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。 例3.已知pa是圆的切线，pcb是圆的割线，则_。 解：pp pacb， pacpba， ， 。 又pa是圆的切线，pcb是圆的割线，由切割线定理，得 ， 即 ， 故应填pc。 点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论

5、。 例4.如图3，p是o外一点，pc切o于点c，pab是o的割线，交o于a、b两点，如果pa：pb1：4，pc12cm，o的半径为10cm，则圆心o到ab的距离是_cm。图3 解：pc是o的切线，pab是o的割线，且pa：pb1：4 pb4pa 又pc12cm 由切割线定理，得 ， pb4624（cm） ab24618（cm） 设圆心o到ab距离为d cm， 由勾股定理，得 故应填。例5.如图4，ab为o的直径，过b点作o的切线bc，oc交o于点e，ae的延长线交bc于点d，（1）求证：；（2）若abbc2厘米，求ce、cd的长。图4 点悟：要证，即要证cedcbe。 证明：（1）连结be （

6、2）。 又， 厘米。 点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。 例6.如图5，ab为o的直径，弦cdab，ae切o于a，交cd的延长线于e。图5 求证： 证明：连结bd， ae切o于a， eadabd aeab，又abcd， aecd ab为o的直径 adb90 eadb90 adebad cdab adbc， 例7.如图6，pa、pc切o于a、c，pdb为割线。求证：adbccdab图6 点悟：由结论adbccdab得，显然要证padpba和pcdpbc 证明：pa切o于a， padpba 又apdbpa， padpba 同理可证pcdpbc pa、pc分别切o

7、于a、c papc adbcdcab 例8.如图7，在直角三角形abc中，a90，以ab边为直径作o，交斜边bc于点d，过d点作o的切线交ac于e。图7 求证：bc2oe。 点悟：由要证结论易想到应证oe是abc的中位线。而oaob，只须证aece。 证明：连结od。 acab，ab为直径 ac为o的切线，又de切o于d eaed，odde obod，bodb 在rtabc中，c90b ode90 cedc edec aeec oe是abc的中位线 bc2oe 例9.如图8，在正方形abcd中，ab1，是以点b为圆心，ab长为半径的圆的一段弧。点e是边ad上的任意一点（点e与点a、d不重合），

8、过e作所在圆的切线，交边dc于点f，g为切点。 当def45时，求证点g为线段ef的中点；图8 解：由def45，得 ， dfedef dedf 又addc aefc 因为ab是圆b的半径，adab，所以ad切圆b于点a；同理，cd切圆b于点c。 又因为ef切圆b于点g，所以aeeg，fcfg。 因此egfg，即点g为线段ef的中点。 【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题 1.已知：pa、pb切o于点a、b，连结ab，若ab8，弦ab的弦心距3，则pa（ ） a. b. c. 5 d. 8 2.下列图形一定有内切圆的是（ ） a.平行四边形 b.矩形 c.菱形 d.梯形 3.已知：如图

9、1直线mn与o相切于c，ab为直径，cab40，则mca的度数（ ）图1 a. 50 b. 40 c. 60 d. 55 4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ） a. 8cm b. 10cm c. 12cm d. 16cm 5.在abc中，d是bc边上的点，ad，bd3cm，dc4cm，如果e是ad的延长线与abc的外接圆的交点，那么de长等于（ ） a. b. c. d. 6. pt切o于t，ct为直径，d为oc上一点，直线pd交o于b和a，b在线段pd上，若cd2，ad3，bd4，则pb等于（ ） a. 20 b. 10 c. 5 d. 二、

10、填空题 7. ab、cd是o切线，abcd，ef是o的切线，它和ab、cd分别交于e、f，则eof_度。 8.已知：o和不在o上的一点p，过p的直线交o于a、b两点，若papb24，op5，则o的半径长为_。 9.若pa为o的切线，a为切点，pbc割线交o于b、c，若bc20，则pc的长为_。 10.正abc内接于o，m、n分别为ab、ac中点，延长mn交o于点d，连结bd交ac于p，则_。 三、解答题 11.如图2，abc中，ac2cm，周长为8cm，f、k、n是abc与内切圆的切点，de切o于点m，且deac，求de的长。图2 12.如图3，已知p为o的直径ab延长线上一点，pc切o于c，cdab于d，求证：cb平分dcp。图3 13.如图4，已知ad为o的直径，ab是o的切线，过b的割线bmn交ad的延长线于c，且bmmnnc，若ab，求o的半径。图4【试题答案】一、选择题 1. a 2. c 3. a 4. b 5. b 6. a 二、填空题 7. 90 8. 1 9. 30 10.