差商及其性质

1、 4.1 差商（均差）及性质差商（均差）及性质1 差商（均差）差商（均差）已知已知y = =)(xf函数表函数表)()()()(1010nnxfxfxfxfxxxx),(jixxji 当当)(xf则则 在在 nnxxxxxx,12110 上平均变化率分别为：上平均变化率分别为： ,)()(,010110 xxxfxfxxf ,)()(,121221xxxfxfxxf .)()(,111 nnnnnnxxxfxfxxf，即有定义：即有定义：定义为定义为f( (x) )的差商的差商）（ 1 .44 差商与牛顿插值多项式差商与牛顿插值多项式定义定义4为函数为函数在在jixx ,的的一阶差商一阶差商（

2、一阶一阶均差均差）；）；)(xf ,)(,ikjikjkjikjixxxxfxxfxfxxxxxxf 称为称为y = =在点在点kjixxx,的的二阶差商二阶差商（二阶均差二阶均差）；)(xf （3）一般由函数）一般由函数y= =的的n1 1阶差商表可定义函数的阶差商表可定义函数的n阶阶差商。差商。)(xf)(xf称为函数称为函数y= =在在nxxx,10点的点的n阶差商阶差商（n阶均差阶均差）。,jixx，称，称 ,)()()(,ijijjijixxxfxfxfxxxxf （1 1）对于）对于 的一阶差商表，再作一次差商，即的一阶差商表，再作一次差商，即)(xf（2）由函数）由函数y= =）

3、（xfxxxxxxfnn,1010 011021,xxxxxfxxxfnnn 即即 nxxxf,21 110, nxxxfn1 1阶阶差商差商2 基本性质基本性质定理定理5 kjijkjiijxxxf00)()( kjjkjxxf01)()( （2）k 阶差商阶差商 kxxxf,10关于节点关于节点kxxx,10是对称的，或说是对称的，或说均差均差与节点顺序无关，与节点顺序无关，即即例如：例如：共共6个个 ijkxxxf, jikxxxf, kjixxxf, ,jkixxxf kijxxxf, ikjxxxf, kxxxf,10 kjkjjjjjjjjxxxxxxxxxxxf01110)()(

4、)()(的线性组合，的线性组合，即即)(xf的的k阶差商阶差商 kxxxf,10是函数值是函数值)(,),(),(10kxfxfxf（1） kxxxf,10 kxxxf,01 01,xxxfkk kxxxf,10 kjkjjjjjjjjxxxxxxxxxxxf01110)()()()(分析分析 ：当当k =1=1时时, ,01110010)()(xxxfxxxfxxf ， ( (1) )可用归纳法证明。可用归纳法证明。(2)(2)利用利用(1)(1)很容易得到。只证很容易得到。只证(1)(1) 010110)()(,xxxfxfxxf 证明：证明：（1）当）当k =1=1时时, , 01011

5、0)()(,xxxfxfxxf 011100)()(xxxfxxxf 时时成成立立，即即有有假假设设当当nk 111111121)()()()(njnjjjjjjjnxxxxxxxxxfxxxf， njnjjjjjjjnxxxxxxxxxfxxxf011010)()()()(， 111111121)()()()(njnjjjjjjjnxxxxxxxxxfxxxf，,110 nnxxxxf，则则由由定定义义 0110121,xxxxxfxxxfnnn 011xxn njnjjjjjjjnjjnjxxxxxxxxxxxxxxxxxf1111101001)()()()()()(#)()()()(10

6、11110 njnjjjjjjjjxxxxxxxxxxxf时时成成立立，即即有有假假设设当当nk njnjjjjjjjnxxxxxxxxxfxxxf011010)()()()(，)()()(020100nxxxxxxxf )()()(121111nnnnnxxxxxxxf (0 阶差商阶差商)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商k 阶差商阶差商 ix0 x1x2x3x4xkx)(ixf)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf)(4xf)(kxf表表2.4,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,321xxxf,210 xxxf,432xxxf,3210 xxxxf,43

7、21xxxxf,10kxxxf,12kkkxxxf ,1kkxxf 3 差商表差商表 计算顺序计算顺序: :同列维尔法，即每次用前一列同行的差商与前一列同列维尔法，即每次用前一列同行的差商与前一列 上一行的差商再作差商。上一行的差商再作差商。4.2 牛顿插值多项式牛顿插值多项式已知已知)(xfy 函数表（函数表（4.1）, 由差商定义及对称性，得由差商定义及对称性，得 000)()(,xxxfxfxxf )()(,)()(000axxxxfxfxf 110010,xxxxfxxfxxxf )()(,110100bxxxxxfxxfxxf 221010210,xxxxxfxxxfxxxxf )(

8、)(,221021010cxxxxxxfxxxfxxxf nnnnxxxxxfxxxfxxxf ,10100 )()(,01010dxxxxxfxxxfxxxfnnnn 1 牛顿插值多项式的推导牛顿插值多项式的推导，)()()()(1010nnxfxfxfxfxxxx）（ 1 .4),(jixxji 当当将将(b)式两边同乘以式两边同乘以,)(0 xx )()(,)()(000axxxxfxfxf )()(,110100bxxxxxfxxfxxf )()(,221021010cxxxxxxfxxxfxxxf )()(,01010dxxxxxfxxxfxxxfnnnn )()(,11010 nn

9、xxxxxxxxxf)()(,1100nnnxxxxxxxxxxxf )(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf )(0 xx ,0 xxf )(,00 xxxxf 抵消抵消)(10 xxxx 10,xxxf )(,110 xxxxxf 抵消抵消)()(110 nxxxxxx)(,2210 xxxxxxf 10, nxxxf抵消抵消)()(0 xfxf ,10 xxf)(0 xx )(10 xxxx 210,xxxf)(0 xx )(,010nnnxxxxxfxxxf )()(110 nxxxxxx)()(110 nxxxxxx(d)(d)式两边同乘以式两边同乘

10、以, ,把所有式子相加把所有式子相加, ,得得，)(10 xxxx ,(c),(c)式两边同乘以式两边同乘以 )()(,)()(,)(,)(,)()(110011010102100100nnnnnxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxf 记记 )()(,)(,)(,)()(11010102100100 nnnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxp)()(,)(1100nnnnxxxxxxxxxxxfxr )()(,1100nnnxxxxxxxxxxxf )()(,)(,)(,)(11010102100100 nnxxxxxxxxxfxxxx

11、xxxfxxxxfxf- - 牛顿插值多项式牛顿插值多项式- - 牛顿插值余项牛顿插值余项)(,10jnjnxxxxxf 可以验证可以验证 ), 1 , 0)()(nixpxfini ，即，即 满足插值条件满足插值条件, 因此因此)(xpn可得以下结论。可得以下结论。 )(xf)(xpn)(xrn 定理定理6 ),();, 1 , 0)(,(jixxnixfxjiii 当当则满足插值条件则满足插值条件), 1 , 0(),()(nixpxfini 的插值多项式为：的插值多项式为：)()()(xrxpxfnn （牛顿插值多项式）（牛顿插值多项式）)2 . 4(其中，其中， )(,)()(0100

12、 xxxxfxfxpn)()(,11010 nnxxxxxxxxxf- - 牛顿插值多项式牛顿插值多项式)(,)(010ininnxxxxxxfxr - - 牛顿插值余项牛顿插值余项2 n +1+1阶差商函数与导数的关系阶差商函数与导数的关系由由n次插值多项式的唯一性，则有次插值多项式的唯一性，则有)()(xlxpnn , 牛顿插值牛顿插值多项式多项式)(xpn)(xln与拉格朗日插值多项式与拉格朗日插值多项式都是次数小于或等于都是次数小于或等于n的多项式的多项式, ,只是表达方式不同只是表达方式不同. .? ? 因为因为nnnhxlxp )()( ， 而而 的基函数可为的基函数可为:nhnx

13、x, 1) 1 ()()( , 1) 2(1100 nxxxxxxxx)(,),(),() 3(10 xlxlxln 已知已知 函数表函数表)(xfy ,10 xxf,10nxxxf)(0 xf牛顿插值多牛顿插值多项式系数项式系数牛顿插值多牛顿插值多项式系数项式系数牛顿插值多牛顿插值多项式系数项式系数1)( nxf的的若若阶导数存在时，阶导数存在时，由插值多项式的唯一性由插值多项式的唯一性有余项公式有余项公式)()()(xpxfxrnn )(,010ininxxxxxxf )()!1()(0) 1(ininxxnf ！)1(,)1(10 nfxxxxfnn n+1+1阶差商函数阶差商函数导数导

14、数其中其中 ba, 且且 bax, 为包含为包含), 1 , 0(nixi 区间区间.依赖于依赖于则则n 阶差商与导数阶差商与导数,)()1(阶阶导导数数存存在在在在区区间间设设nbaxf的关系为的关系为 ！nfxxxfnn )(10, 其中其中 ，ba, 的的区区间间。，为为包包含含nxxxba10,n +1+1阶差商函数与导数的关系阶差商函数与导数的关系定理定理7 则则次次多多项项式式是是一一个个若若,)2(0nxaxfinii ,10kxxxf 时时当当时时当当nkankn,0计算步骤计算步骤: :(2) 用秦九韶算法或着说用嵌套乘法计算用秦九韶算法或着说用嵌套乘法计算 .)(xpn3

15、牛顿插值多项式计算次数牛顿插值多项式计算次数( (当当k = =n 时时) )(1) (1) 计算计算差商表差商表( (计算计算 的系数的系数) )(xpn (0 阶差商阶差商)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商k 阶差商阶差商 ix0 x1x2x3x4xkx)(ixf)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf)(4xf)(kxf,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,321xxxf,210 xxxf,432xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,10kxxxf,12kkkxxxf ,1kkxxf ,10 xxfn1 n,210 xxxf2 n,3210

16、xxxxf1,10kxxxf除法次数除法次数( (k = =n):):)(213212nnn (2) 用秦九韶算法或着说用嵌套乘法计算用秦九韶算法或着说用嵌套乘法计算 .)(xpn )()(,)(,)(,)()(11010102100100 nnnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxp乘法次数乘法次数: : n优点优点: :(1)(1)计算量小计算量小, ,较较 l- - 插值法减少了插值法减少了3-43-4倍倍. .(2)(2)当需要增加一个插值节点时当需要增加一个插值节点时, ,只需再计算一项只需再计算一项, ,即即)()(1xpxpkk )()(,10110kkxxxxx

17、xxxxf - - 递推公式递推公式( (适合计算机计算适合计算机计算).). ,10 xxf乘除法次数大约为乘除法次数大约为: :nnn )(212)(0 xx )(0 xx )(0 xx )(0 xx )(1xx )(1xx )(1xx )(0 xf,210 xxxf ,10nxxxf)(1 nxx nn23212 4 两函数相乘的差商两函数相乘的差商 定理定理8（两函数相乘的差商）（两函数相乘的差商） kiilkillikiiitthttgtttf,1 ,1kikiiithtttg 显然显然公式成立。公式成立。1 k 事实上，事实上，iiiiiitttftfttf 111)()(,iii

18、iiittthtgthtg 111)()()()( ,11 iiittgth一般情况，可用归纳法证明。一般情况，可用归纳法证明。 #ktfthtgtf的的则则)(),()()( 设设证明：证明：,11kiiiitthttg ,)(1kiiiittthtg )()()()(11 iiiithtgthtg)()()()(111 iiiithtgthtgiiiiitttgtgth 111)()()(iitt 1iiiiittththtg 11)()()()()()()(1iiiithtgthtg iitt 1,)(1 iiitthtg阶差商为阶差商为5 重节点差商重节点差商 （通过差商极限定义）（通

19、过差商极限定义） 定义定义5 ( (重节点差商重节点差商) ) xxxxxfxxxfxxxxxfxxn )1(10)1(1010,lim,1)1(）（,lim,)1(00000)1(0 xxfxxfxx 记记若若 ,)()()(lim00)1(00)1(00)1(0 xfxxxfxfxx )()()(lim00)1(00)1(00)1(0 xfxxxfxfxx 的节点的节点xi( (i= =0 0，1 1，n) )定理定理7中中 ！nfxxxfnn )(10, 互异，有了重节点差商的定义，该式中的节点可以相同。互异，有了重节点差商的定义，该式中的节点可以相同。 说明：说明：? ?,10 xxx

20、xfdxdn 则定义则定义 类似的有类似的有!)(,)2(0)(1000nxfxxxfnn 个个其中其中 )(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxpn )()(,)(1100nnnnxxxxxxxxxxxfxr - - 牛顿插值多项式牛顿插值多项式- - 牛顿插值余项牛顿插值余项)()()(xrxpxfnn 4 差商与牛顿插值多项式差商与牛顿插值多项式牛顿插值公式牛顿插值公式 )()(,11010 nnxxxxxxxxxf5 重节点差商重节点差商 定义定义5 ( (重节点差商重节点差商) )xxxxxfxxxfxxxxxfxxn )1(10)1(1010,lim

21、,1)1(）（,lim,)1(00000)1(0 xxfxxfxx 记记若若 ,)()()(lim00)1(00)1(00)1(0 xfxxxfxfxx )()()(lim00)1(00)1(00)1(0 xfxxxfxfxx ? ?,10 xxxxfdxdn 则定义则定义 类似的有类似的有!)(,)2(0)(1000nxfxxxfnn 个个证明：证明：(2)首先首先,由定义由定义! 1)()(,0000 xfxfxxf 0000000,lim,0 xxxxfxxfxxxfxx 又又)()(!)()(! 2)()()()(000)(200000nnnxxoxxnxfxxxfxxxfxfxf )

22、()(!)()(! 2)()()()(,10100)(000000 nnnxxoxxnxfxxxfxfxxxfxfxxf，! 2)(,0000 xfxxxf 000000,xxxxfxxfxxxf 泰勒展开式泰勒展开式)()(!)()(! 3)(! 2)(20200)(000 nnnxxoxxnxfxxxfxf000000000,xxxxxfxxxfxxxxf )()(!)()(! 4)(! 3)(30300)(0040 nnnxxoxxnxfxxxfxf）（，及及! 2)(,0000 xfxxxf 000000,xxxxfxxfxxxf 由由于于！）（3)(,lim,030000000000

23、0 xfxxxxxfxxxfxxxxfxx ！）（nxfxxxfnn)(,01000 ，)()(!)()(! 3)(! 2)(20200)(000 nnnxxoxxnxfxxxfxf# 1、理解理解差商定义差商定义p.85 7作业作业: : 3、会用会用牛顿插值多项式解简单题目。牛顿插值多项式解简单题目。 2、掌握掌握牛顿插值公式牛顿插值公式)()()(xrxpxfnn 其中，其中， )(,)()(0100 xxxxfxfxpn)()(,11010 nnxxxxxxxxxf- - 牛顿插值多项式牛顿插值多项式)(,)(010ininnxxxxxxfxr - - 牛顿插值余项牛顿插值余项,1010nnxxxxxxf 011021,xx