不定积分的概念与性质

1、第八章第八章 不定积分不定积分8.1 不定积分的概念与基本积分公式不定积分的概念与基本积分公式 8.2 换元积分法换元积分法 8.3 分部积分法分部积分法 8.4 几类特殊函数的不定积分几类特殊函数的不定积分 8.1 不定积分的概念不定积分的概念 和基本积分公式和基本积分公式 原函数和不定积分原函数和不定积分 基本积分公式表基本积分公式表 不定积分的线性运算法则不定积分的线性运算法则 例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数. )0(1ln xxxxln是是x1在在区区间间), 0(内内的的原原函函数数.如如果果在在区区间间i内内，定义定义1：可可导导函函数数)(xf的的即

2、即ix ，都都有有)()(xfxf 或或dxxfxdf)()( ，那那么么函函数数)(xf就就称称为为)(xf导导函函数数为为)(xf，或或dxxf)(在在区区间间i内内原原函函数数. .一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：原函数存在定理：如如果果函函数数)(xf在在区区间间i内内连连续续，简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数. .问题：问题： (1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例: xxcossin xcxcossin （ 为任意常数）为任意常数）c那么在区间那么在区间i内存在可导函数内存在可导函数)(xf，使使ix ，都都有有)(

3、)(xfxf . .(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxf ccxf )(都是都是)(xf的原函数的原函数.（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xf)(xg)(xf则则cxgxf )()(（ 为任意常数）为任意常数）c证证: )()()()(xgxfxgxf 0)()( xfxfcxgxf )()(（ 为任意常数）为任意常数）c 根据定义，如果 f(x) 是 f(x) 的一个原函数，则dxxf)(f(x)c， 其中 c 是任意常数，称为积分常数。二、

4、不定积分二、不定积分 定义定义2 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，记作 dxxf)(。 如果 f(x)是 f(x)的一个原函数，则dxxf)(f(x)c。 任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数cxfdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量不定积分的相关名称：不定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量。例 1 因为(sinx)cosx，所以 例例1例 1 因为(sinx)cosx，所以cxxdxsincos。 例 2 因为(x3) 3x2，所以 例例2例 2 因为(x3) 3x2，所以cxd

5、xx323。 例3 求函数xxf1)(的不定积分。 例例3解：当x0 时，(ln x) 解：解：解：当 x0 时，(ln x)x1，x1，cxdxxln 1(x0)； 当 x0 时，ln(x)x0 时，ln(x)xx1) 1(1，x0 时，ln(x)xx1) 1(1xx1) 1(1，cxdxx)ln( 1(x0)。 合并上面两式，得到 cxdxx|ln 1(x0)。 -1 o 1 x y y=x2 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。cxxdx22c1 y=x2+c1 c2 y=x2+c2 c3 y=x2+c3 函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x

6、)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。三、不定积分的几何意义三、不定积分的几何意义 例例4求过点(1, 3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。 解：解：设所求的曲线方程为 y f(x)，则 y f (x) 2x， 即f(x)是2x 的一个原函数。 因为所求曲线通过点(1, 3)， 故 3 1 c，c 2。 于是所求曲线方程为 y x2 2。2 1 o 1 2 x2 1 1 2 yy x2+2 y x2(1, 3) 因为cxxdx22， 所以 y =f(x) x2 c。实例实例: xx 11.11cxdxx 启示启示:能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论:

7、 既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式. .)1( 四、四、 基本积分公式基本积分公式基基本本积积分分表表 kckxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 cxdxx;ln)3( cxxdx说明：说明： , 0 x,ln cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( cxxdx,|ln cxxdx简写为简写为.ln cxxdx dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2co

8、s)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2csc;cotcx dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2csc;cotcx xdxxtansec)10(;seccx xdxxcotcsc)11(;csccx dxex)12(;cex dxax)13(;lncaax xdxsinh)14(;coshcx xdxcosh)15(;sinhcx 例例 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx

9、 25cx 125125.7227cx 根据积分公式根据积分公式（2）cxdxx 11 2772xc72x3xc。 dx x 3dxx 3dx131x 31c x 31c 221xc。 dx 25xdxdx1251251xc 34 xdx134134xc134134xc33x c。 例 1 31xdx 例例1例 2 x2xdx 例例2例 3 3xxdx例例3dxxgxf)()(dxxgdxxf)()(，dxxfkdxxkf)()(。 dxxdxx21255dxxdxx21255 cxx232732572cxxxx310723dxxx)5(2dxxx)5(2125 dxxdxx21255dxxd

10、xx21255 cxx232732572cxxxx310723。 例 4 dxxx)5(2dxxx)5(2125例例4dxxgxf)()(dxxgdxxf)()(，dxxfkdxxkf)()(。 dxxxx)133(2 dxxdxxdxxdx21133 221x3x3ln|x|x1c。 dxxx23) 1(dxxxxx223133 5 dxxx23) 1(dxxxxx223133例例5(4) axdx aaxlnc， (6) cosxdx sinxc， dx2sectgxc， (ex3cosx)dx ex3sinxc。 2x exdx (2e)x dx(2e)x dx)2ln()2(eexc)

11、2ln()2(eexc2ln12xxec。 tg2xdx (sec2x1)dx tgxxc。 (sec2x1)dx tgxxc。 2xdxx)cos1 (21cxx)sin(21dxx)cos1 (21cxx)sin(21。 dxxx2cos2sin122dxx2sin14 4ctg xc。 6 (ex3cosx)dx ex3sinxc。 例例67 2x exdx 例例78 tg2xdx 例例89 sin 22xdx例例910 dxxx2cos2sin122dxx2sin14例例10 (3) x1dx ln|x|c， (11) 211xdx arctgxc。 dxxdxx1112 dxxx)1

12、11(2231dxxdxx1112arctgxln|x|c。 dxxx241dxxx24111dxxxx22211) 1)(1(dxxx241dxxx24111dxxxx22211) 1)(1( dxxx)111(2231x3xarctgxc。 dxxxxx)1 (122dxxxxx)1 ()1 (22dxxx)111(2dxxxxx)1 (122dxxxxx)1 ()1 (22dxxx)111(2 11 dxxxxx)1 (122dxxxxx)1 ()1 (22dxxx)111(2例例1112 dxxx241dxxx24111dxxxx22211) 1)(1(例例12 y)257(xdxxx

13、507 c 。 解：解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，所以 已知当 x=0 时，y=1000， 例例13某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成本 y 的变化率是日产量 x 的函数 yx257 ，已知固定成本为1000元，求总成本与日产量的函数关系。因此有 c =1000，于是总成本 y 与日产量 x 的函数为 yxx507 1000。 例例1414 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21cx 说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表. . dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf证证 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况此性质可推广到有限多个函数之和的情况）五五 、 不定积分的性质不定积分的性质解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costancxx , 5)0( y, 6 c