数字逻辑基础

1、第一章第一章 数字逻辑基础数字逻辑基础 第一章第一章 数字逻辑基础数字逻辑基础 本章将依次讨论数字系统中本章将依次讨论数字系统中数的表示方法数的表示方法、常、常用的几种用的几种编码编码，然后介绍，然后介绍逻辑代数逻辑代数的基本概念和基的基本概念和基本理论，说明本理论，说明逻辑函数逻辑函数的基本表示形式及其化简。的基本表示形式及其化简。逻辑函数及其化简。逻辑函数及其化简。重点重点: :二进制数、二进制数、常用的几种编码、常用的几种编码、逻辑代数基础、逻辑代数基础、第一节第一节 数制与编码数制与编码数制数制不同数制之间的转换不同数制之间的转换二进制正负数的表示及运算二进制正负数的表示及运算常用的编

2、码常用的编码第一节第一节 数制与编码数制与编码 一、数制一、数制2 321031203+2 3十位数字十位数字2个位数字个位数字3权值基数：基数： 由由09十个数码组十个数码组成，基数为成，基数为10。位权：位权：102 101 100 10-1 10-2 10-3计数规律：计数规律： 逢十进一逢十进一权值1010的幂的幂十进制（十进制（decimal） 10-1权权 权权 权权 权权任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式。任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式。(652.5)d位置计数法位置计数法按按权权展开式展开式(n)d=(kn-1 k1 k0. k-1 k-m)d110

3、nmiiik=kn-1 10n-1 + +k1101 + k0100 + k-1 10-1 + + k-m 10-m十进制（十进制（decimal）第一节第一节 数制与编码数制与编码 = 6 102+ 5 101+ 2 100+ 5下标下标d表示十进制表示十进制二进制（二进制（binary）第一节第一节 数制与编码数制与编码 只由只由0、1两个数码和小数点组成，两个数码和小数点组成，不同数位上的数具有不同的权值不同数位上的数具有不同的权值2i。基数基数2，逢二进一逢二进一任意一个二进制数，都可按其权位展成多项式的形式。任意一个二进制数，都可按其权位展成多项式的形式。12nmiiik(n)b=(

4、kn-1 k1 k0. k-1 k-m)b=kn-1 2n-1 + +k121 + k020 + k-1 2-1 + + k-m 2-m下标下标b表示二进制表示二进制任意任意r进制进制只由只由0 （r-1）r个数码和小数点组成，个数码和小数点组成，不同数位上的数具有不同的权值不同数位上的数具有不同的权值ri，基数基数r，逢逢r进一进一。1nmiirik(n)r=(kn-1 k1 k0. k-1 k-m)r=kn-1 rn-1 + +k1r1 + k0r0 + k-1 r-1 + + k-m r-m任意一个任意一个r进制数，都可按其权位展成多项式的形式。进制数，都可按其权位展成多项式的形式。常用

5、数制对照表常用数制对照表 十进制十进制 二进制二进制 八进制八进制 十六进制十六进制十进制十进制 二进制二进制 八进制八进制 十六进制十六进制012345678910111213141500000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110123456701234567101112131415161789abcdef第一节第一节 数制与编码数制与编码 二、不同数制之间的转换二、不同数制之间的转换二进制转换成十进制二进制转换成十进制 十进制转换成二进制十进制转换成二进制 二进制转换成十六进制二进制转换成十六进制 十六进制

6、转换成二进制十六进制转换成二进制 例：例： ( 10011.101 )b= ( ？ )d(10011.101)b124023022121120 121022123 二进制转换成十进制二进制转换成十进制 利用二进制数的利用二进制数的按权展开按权展开式式，可以将任意一个二进制数，可以将任意一个二进制数转换成相应的十进制数。转换成相应的十进制数。（19.625）d第一节第一节 数制与编码数制与编码 十进制转换成二进制十进制转换成二进制 整数部分的转换整数部分的转换除基取余法除基取余法：用目标数制的：用目标数制的基数基数（r=2=2）去除去除十进制数，十进制数，第一次第一次相除所得余数为目的数的相除所

7、得余数为目的数的最低位最低位k0 0，将所得将所得商商再除以再除以基数基数，反复执行上述过程，反复执行上述过程，直到商为直到商为“0”“0”，所得余数为目所得余数为目的数的的数的最高位最高位kn-1-1。例：（例：（29）d=（？）（？）b29147310 2 2 2 2 21k00k11k21k31k4lsbmsb得（得（29）d=（11101）b第一节第一节 数制与编码数制与编码 十进制转换成二进制十进制转换成二进制 小数部分的转换小数部分的转换乘基取整法乘基取整法：小数小数乘以目标数制的乘以目标数制的基数基数（r=2=2），），第一次第一次相乘结果的相乘结果的整数整数部分为目的数的部分为

8、目的数的最高位最高位k-1-1，将其小数部分将其小数部分再乘基数依次记下整数部分，反复进行下去，再乘基数依次记下整数部分，反复进行下去，直到小数部分直到小数部分为为“0”“0”，或满足要求的，或满足要求的精度精度为止（即根据设备字长限制，为止（即根据设备字长限制，取有限位的近似值）。取有限位的近似值）。例：将十进制数例：将十进制数（0.723）d转换成转换成不大于不大于2-6的二的二进制数。进制数。 不大于不大于2-6 ，即要求保留到即要求保留到小数点后第六位。小数点后第六位。例：将十进制数例：将十进制数（0.723）d转换成转换成不大于不大于2-6的二进的二进制数。制数。0.723 2k-1

9、10.446k-20.892k-30.784k-40.568k-50.136由此得：由此得：(0.723)d=(0.101110)b十进制十进制二进制二进制八进制、十六进制八进制、十六进制第一节第一节 数制与编码数制与编码 0.272 2 2 2 2 201110k-6 从从小数点小数点开始，将二进制数的整数和小数部分开始，将二进制数的整数和小数部分每每4 4位位分为分为一组一组，不足不足四位的分别在整数的最高位前和小数四位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后的最低位后加加“0”“0”补足，然后每组用等值的十六进制码补足，然后每组用等值的十六进制码替代，即得目的数。替代，即得目的数。例例：

10、（1011101.101001）b = （?）h ( (1011101.101001） b = （5d.a4） h1011101.101001小数点为界小数点为界000d5a4二进制与十六进制之间的转换二进制与十六进制之间的转换 第一节第一节 数制与编码数制与编码 第一节第一节 数制与编码数制与编码 二进制与八进制之间的转换二进制与八进制之间的转换 从从小数点小数点开始，将二进制数的整数和小数部分开始，将二进制数的整数和小数部分每每3 3位位分为分为一组一组，不足不足三位的分别在整数的最高位前和小数的最三位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后低位后加加“0”“0”补足，然后每组用等值的八进制

11、码替代，补足，然后每组用等值的八进制码替代，即得目的数。即得目的数。例例：（：（11010111.0100111）b = （?）q（11010111.0100111）b = （327.234 ）q11010111.0100111小数点为界小数点为界000723234补码分为两种：补码分为两种：基数的补码基数的补码和和降基数的补码降基数的补码。前面介绍的十进制和二进制数都属于前面介绍的十进制和二进制数都属于原码原码。各种数制都有各种数制都有原码原码和和补码补码之分。之分。第一节第一节 数制与编码数制与编码 三、二进制正负数的表示及运算三、二进制正负数的表示及运算 nnn 2补n是二进制数是二进制

12、数n整数部分的位数。整数部分的位数。 二进制数二进制数n 的基数的补码又称为的基数的补码又称为2 2的补码，的补码，常简称为常简称为补码补码，其定义为，其定义为例：例：1010补补=24-1010=10000-1010=01101010.101补补=24-1010.101=10000.000- 1010.101 =0101.011二进制二进制原码原码、补码补码及及反码反码 1010.101反反=(24-2-3)-1010.101 =1111.111-1010.101 =0101.010n是二进制数是二进制数n整数部分的位数，整数部分的位数，m是是n的小数部分的位数。的小数部分的位数。第一节第一

13、节 数制与编码数制与编码 例：例：1010反反=(24-20)-1010=1111-1010=0101 二进制数二进制数n的降基数补码又称为的降基数补码又称为1的补码，习惯的补码，习惯上称为上称为反码反码，其定义为，其定义为 nnmn)22(反二进制二进制原码原码、补码补码及及反码反码 n反反=01001001第一节第一节 数制与编码数制与编码 二进制二进制原码原码、补码补码及及反码反码 例：例：n =10110110 根据定义，二进制数的补码可由反码在最低有根据定义，二进制数的补码可由反码在最低有效位加效位加1得到。得到。n补补= 无论是补码还是反码，按定义无论是补码还是反码，按定义再求补或

14、求反再求补或求反一次，将还原为原码。一次，将还原为原码。01001001+ 00000001 0100101001001010即即n补补= n反反+1+1即即n补补补补= n原原第一节第一节 数制与编码数制与编码 例：例：(+43)d 二进制正负数的表示法有原码、反码和补码三二进制正负数的表示法有原码、反码和补码三种表示方法。对于种表示方法。对于正数正数而言，三种表示法都是一样而言，三种表示法都是一样的，即的，即符号位为符号位为0，随后是，随后是二进制数的绝对值二进制数的绝对值，也，也就是原码。就是原码。二进制正负数的表示法二进制正负数的表示法 符号位符号位绝对值绝对值 二进制负数的原码、反码

15、和补码二进制负数的原码、反码和补码= 00101011例：例：-25原原= 1 0011001-25反反= 1 1100110-25补补= 1 1100111符号位符号位“1”加原码加原码 符号位符号位“1”加反码加反码 符号位符号位“1”加补码加补码补码运算：补码运算： x1反反+x2反反 = x1+x2反反符号位参加运算符号位参加运算x1补补+x2补补 = x1+x2补补符号位参加运算符号位参加运算 在数字电路中，用原码求两个正数在数字电路中，用原码求两个正数m和和n的减法运算的减法运算电路相当复杂，但如果采用反码或补码，即可电路相当复杂，但如果采用反码或补码，即可把原码的把原码的减法运算

16、变成反码或补码的加法运算减法运算变成反码或补码的加法运算，易于电路实现。，易于电路实现。补码的算术运算补码的算术运算 反码运算反码运算 ：第一节第一节 数制与编码数制与编码 例：例： x1 = 0001000，x2 = -0000011， 求求x1+ x2 解：解： x1反反+x2反反 = x1+x2反反x1反反 = 0 0001000x2反反 = 1 1111100+）1 0 0000100+） 1x1反反+x2反反= 0 0000101 反码在进行算术运反码在进行算术运算时不需判断两数符算时不需判断两数符号位是否相同。号位是否相同。当符号位有进位时需循当符号位有进位时需循环进位，即把符号位

17、进环进位，即把符号位进位加到和的最低位。位加到和的最低位。故得故得x1+ x2 = + 0000101例：例： x1 =-0001000，x2 = 0001011， 求求x1+ x2解：解： x1补补+x2补补 = x1+x2补补x1补补 = 1 1111000x2补补 = 0 0001011+）1 0 0000011x1补补+x2补补 = 0 0000011 符号位参加运算。符号位参加运算。不过不需循环进位，如不过不需循环进位，如有进位，自动丢弃。有进位，自动丢弃。故得故得 x1+ x2 = + 0000011自动丢弃自动丢弃第一节第一节 数制与编码数制与编码 四、常用的四、常用的编码编码

18、二二十进制码十进制码 格雷码格雷码 校验码校验码 字符编码字符编码（一（一）二二十进制码（十进制码（bcd码码） 有权码有权码8421bcd码码 用四位自然二进制码的用四位自然二进制码的16种组合种组合中的前中的前10种，来表示十进制数种，来表示十进制数09，由高位到低位的权值为由高位到低位的权值为23、22、21、20，即为，即为8、4、2、1，由此得名。，由此得名。用文字、符号或数码表示特定用文字、符号或数码表示特定对象的过程称为编码。对象的过程称为编码。 此外，有权的此外，有权的bcd码还有码还有2421bcd码和码和5421bcd码等。码等。 无权码无权码余三码是一种常用的无权余三码是

19、一种常用的无权bcd码。码。常用的常用的bcd码码 十进制十进制8421bcd码码01234567890 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 12421bcd码码5421bcd码码余三码余三码 8 4 2 1b3 b2 b1 b0位权位权0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 10 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1

20、11 1 0 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0 2 4 2 1b3 b2 b1 b0 5 4 2 1b3 b2 b1 b0无权无权 二二十进制码十进制码 格雷码格雷码 校验码校验码 字符编码字符编码四、常用的四、常用的编码编码： （二（二）格雷码格雷码2.2.编码还具有反射性，因此又可称其编码还具有反射性，因此又可称其为反射码。为反射码。1.1.任意两组任意两组相邻码相邻码之间只有之间只有一位一位不同。不同。第一节第一节 数制与编码数制与编码 注：首尾两个数码即最小数注：首尾两个数码即

21、最小数00000000和最和最大数大数10001000之间也符合此特点，故它可之间也符合此特点，故它可称为循环码。称为循环码。十进制十进制 b3 b2 b1 b0012345670 0 0 00 0 0 10 0 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 0十进制十进制 g3 g2 g1 g0891011121314151 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0 1 11 0 0 11 0 0 0 最常用的误差检验码是奇偶校最常用的误差检验码是奇偶校验码，它的编码方法是在信息码验码，它的编码方法是在信息码组外增加一位监督码元。组

22、外增加一位监督码元。（四）四）字符编码字符编码ascii码码: :七位代码表示七位代码表示128个字符个字符 96个为图形字符个为图形字符 控制字符控制字符32个个（三）校验码（三）校验码第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则（一）逻辑变量（一）逻辑变量 取值：逻辑取值：逻辑0 0、逻辑、逻辑1 1。逻辑。逻辑0 0和逻辑和逻辑1 1不代表不代表数数值值大小大小，仅表示相互矛盾、相互对立的，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状两种逻辑状态态。（二）基本逻辑运算（

23、二）基本逻辑运算逻辑与逻辑与 逻辑或逻辑或 逻辑非逻辑非 第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 一、逻辑变量及基本逻辑运算一、逻辑变量及基本逻辑运算逻辑符号逻辑符号逻辑表达式逻辑表达式f = =a b = = ab与逻辑真值表与逻辑真值表与逻辑关系表与逻辑关系表逻辑与逻辑与 开关开关a 开关开关b灯灯f断 断断 合合 断合 合灭灭灭亮abf1 01 10 10 00010abf 与逻辑运算符，也有用与逻辑运算符，也有用“ ”、“”“”、“”“”、“&”“&”表示。表示。第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 只有决定某一事件的只有决定某一事件的所有条件所有条件全部全部具备，这一事件才能发生。

24、具备，这一事件才能发生。uabf逻辑符号逻辑符号或逻辑真值表或逻辑真值表或逻辑关系表或逻辑关系表逻辑或逻辑或 开关开关a 开关开关b灯灯f断 断断 合合 断合 合亮亮亮灭abf1 01 10 10 01110第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 决定某一事件的条件决定某一事件的条件有一个或有一个或一个以上一个以上具备，这一事件才能发生具备，这一事件才能发生。 逻辑表达式逻辑表达式f= a + babfufab1 或逻辑运算符，也有用或逻辑运算符，也有用“”、“”表示。表示。非逻辑真值表非逻辑真值表非逻辑关系表非逻辑关系表逻辑非逻辑非 开关开关a 灯灯faf第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基

25、础 当决定某一事件的条件满足时，事当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。件不发生；反之事件发生。逻辑表达式逻辑表达式 f = a “-” “-”非逻辑运算符非逻辑运算符ufar断 合亮灭1001逻辑符号逻辑符号abf1与非逻辑运算与非逻辑运算f1=ab或非逻辑运算或非逻辑运算f2=a+b与或非逻辑运算与或非逻辑运算f3=ab+cd（三）复合逻辑运算（三）复合逻辑运算第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 abf1 abf21abf3cd1 abf1 01 10 10 01100逻辑表达式逻辑表达式f=a b=ab+ab abf=1逻辑符号逻辑符号逻辑表达式逻辑表达式f=a ba

26、bf1 01 10 10 00011第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 异或运算异或运算 同或运算同或运算“ ”异或逻辑异或逻辑运算符运算符= a b“”同或逻辑同或逻辑运算符运算符abf=1逻辑符号逻辑符号abf=（四）（四）正逻辑正逻辑与与负逻辑负逻辑（与门）（与门）（或门）（或门）第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 abfvl vl vl电平关系电平关系vl vh vlvh vl vlvh vh vh正逻辑正逻辑abf负逻辑负逻辑abf0 0 00 1 01 0 01 1 11 1 11 0 10 1 10 0 0vh ：高电平 vl：低电平逻辑0：vh 逻辑1： vl逻辑1：v

27、h 逻辑0： vl 高电平高电平vh用逻辑用逻辑0表示，表示，低电平低电平vl用逻辑用逻辑1表示。表示。 正、负逻辑间关系正、负逻辑间关系正或正或 = 负与负与正与正与 = 负或负或正与非正与非 = 负或非负或非正或非正或非 = 负与非负与非1逻辑符号等效逻辑符号等效 在一种逻辑符号的所有入、在一种逻辑符号的所有入、出端同时加上或者去掉小圈。出端同时加上或者去掉小圈。 原来的符号互换（与原来的符号互换（与或、或、同或同或异或异或） 高电平高电平vh用逻辑用逻辑1表示，表示，低电平低电平vl用逻辑用逻辑0表示。表示。第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 1 1正逻辑正逻辑正与正与正与非正与非正

28、或正或正或非正或非1 1负逻辑负逻辑负与负与负与非负与非负或负或负或非负或非第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 二、逻辑函数及其表示方法二、逻辑函数及其表示方法 用有限个与、或、非等用有限个与、或、非等逻辑运算符逻辑运算符，应用逻辑关系，应用逻辑关系将若干个将若干个逻辑变量逻辑变量a、b、c等连接起来，所得的表达式等连接起来，所得的表达式称为称为逻辑函数逻辑函数。f(a，b)=a+b f(a，b，c)=a+bc输出变量输出变量逻辑函数的表示方法：逻辑函数的表示方法：逻辑图逻辑图逻辑表达式逻辑表达式 波形图波形图 真值表真值表 输入变量输入变量例：例：三个人表决一件事情，结果按三个人表决一件

29、事情，结果按“少数服从多数少数服从多数”的原则决定。试建立该问题的逻辑函数。的原则决定。试建立该问题的逻辑函数。abcf00000100110111100101011111011000三个人意见分别用逻辑变量三个人意见分别用逻辑变量a、b、c表示表示表决结果用逻辑变量表决结果用逻辑变量f表示表示同意为逻辑同意为逻辑1，不同意为逻辑，不同意为逻辑0。表决通过为逻辑表决通过为逻辑1，不通过为逻辑不通过为逻辑0。1.真值表真值表2.逻辑函数表达式逻辑函数表达式 找出函数值为找出函数值为1的项。的项。 每个函数值为每个函数值为1 1的输入变量的输入变量取值组合写成一个取值组合写成一个乘积项。乘积项。

30、这些乘积项作这些乘积项作逻辑加。逻辑加。f= abc+abc+abc +abc 输入变量取值为输入变量取值为1 1用原变量用原变量表示表示; ;反之，则用反变量表示反之，则用反变量表示abc、abc、abc 、abc 。1011111010111111第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 3.逻辑图逻辑图f= abc+abc+abc +abc乘积项乘积项用用与门与门实现实现和项和项用用或门或门实现实现4.波形图波形图abf cab cab cab c1abcfa+ 0=a a+ 1=1a 0=0 a 1=a a a=0 a+a=1a a=a a+a=aa b = b a a + b = b

31、+ a (ab)c = a (bc) (a+b)+c = a+(b+c) a ( b+c ) = a b+ a c a+ b c =( a + b) (a+ c )0-1律律互补律互补律重叠律重叠律交换律交换律结合律结合律分配律分配律第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 三、逻辑代数的运算公式和规则三、逻辑代数的运算公式和规则反演律反演律a b= a+b a+ b=ab还原律还原律 a= a吸收律吸收律a+a b=a a (a+b)=aa+ a b =a+b a (a+ b) =a b ab+ a c +bc= ab+ a c(a+b)( a+ c )(b+c)= (a+b)(a +c)第二

32、节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 三、逻辑代数的运算公式和规则三、逻辑代数的运算公式和规则例：证明吸收律例：证明吸收律babaa成立成立baa)()(aabbbabababba)(互补律互补律重叠律重叠律第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 ababababababab例：证明反演律例：证明反演律a b= a+b 和和 a+ b=aba ba bab a+ ba ba+b000110111110111010001000由真值表得由真值表得 第二节第二节 逻辑代数基础逻辑代数基础 证：证：利用真值表利用真值表a b= a+b ， a+ b=ab1110111010001000 反演律又称摩根

33、定律，常反演律又称摩根定律，常变形为变形为a b= a+b 和和 a+b=ab逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则 三个基本运算规则三个基本运算规则 代入规则代入规则：任何含有某变量的等式，如果任何含有某变量的等式，如果等式等式中中所有出现此所有出现此变量变量的位置均代之以一个的位置均代之以一个逻辑函数式逻辑函数式，则此等式依然成立。，则此等式依然成立。例：例： a b= a+bbc替代替代b得得由此反演律能推广到由此反演律能推广到n个变量：个变量： n naaa a aa2121利用反演律利用反演律 n naaaa aa2121 abc = a+bc= a+b+c基本运算规则基本

34、运算规则 反演规则反演规则：对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式f，做如下处理：做如下处理： 若把式中的运算符若把式中的运算符“”换成换成“+ +”, “”, “+ +” ” 换成换成“”； 常量常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”； 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量，变量，那么得到的那么得到的新函数式新函数式称为原函数式称为原函数式f的的反函数式反函数式。例：例：f(a，b，c)cbab )c a(ba 其反函数为其反函数为)cba(bca)ba(f 保持原函数的运算次序保持原函数的运算次序-先与后先与后或，必要时适当地加入括

35、号。或，必要时适当地加入括号。基本运算规则基本运算规则 对偶式对偶式： 对于任意一个逻辑函数，做如下处理：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：1）若把式中的运算符）若把式中的运算符“.”换成换成“+”，“+”换成换成“.”；2）常量）常量“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”。得到的新函数为原函数得到的新函数为原函数f的对偶式的对偶式f，也称对偶函数。也称对偶函数。 对偶规则：对偶规则： 如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即等。即 若若f f1 1 = = f f2 2 则则f f1 1= = f f2 2。使公式的数目增使公式的数目增加

36、一倍。加一倍。 求对偶式时求对偶式时运算顺序不变运算顺序不变，且它只，且它只变换运变换运算符和常量算符和常量，其，其变量是不变变量是不变的。的。注：注： 函数式中有函数式中有“ ”和和“”“”运算符，求反运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符函数及对偶函数时，要将运算符“ ”换成换成“”， “ “”换成换成“ ”。 其对偶式其对偶式例：例：fb1c aba )( fb0c aba ) ()(第三节第三节 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式函数表达式的常用形式函数表达式的常用形式逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 五种常用表达式五种常用表达式f(a，b，c)“与与或或”式式)(baca“或

37、或与与”式式caab“与非与非与非与非”式式 baca“或非或非或非或非”式式baca“与与或或非非”式式 表达式形式转换表达式形式转换函数表达式的常用形式函数表达式的常用形式 = ab+ ac基本形式基本形式例如函数例如函数f= ab+ ac 1.与与-或表达式转换为或或表达式转换为或-与表达式与表达式f = ab+ ac= aa+ ab+ac+bc= a(a+ b)+c(a+b)= (a +c) (a+ b)吸收率吸收率互补率互补率 2.与与-或表达式转换为与非或表达式转换为与非与非表达式与非表达式f = ab+ ac= ab+ ac= ab ac还原率还原率反演率反演率 3.或或-与表达

38、式转换为或非与表达式转换为或非或非表达式或非表达式f = (a +c) (a+ b)= (a +c) (a+ b)= a +c+ a+ b4.或或-与表达式转换为与与表达式转换为与-或或-非表达式非表达式= a c+ a b逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式最小项：最小项：n个变量有个变量有2 2n个最小项，记作个最小项，记作mi。3 3个变量有个变量有2 23 3（8 8）个最小项。个最小项。cbacbam0m100000101cbabcacbacbacababc m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567n个变量的逻辑函数中，包括个变量的逻辑函数中，包括全部

39、全部n个变量个变量的的乘积项乘积项（每个变量必须而且只能以原变（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。量或反变量的形式出现一次）。一、 最小项最小项和和最大项最大项乘积项乘积项和项和项最小项最小项二进制数二进制数十进制数十进制数编号编号 最小项编号最小项编号i：各输各输入变量取值看成二进制入变量取值看成二进制数，对应十进制数。数，对应十进制数。0 0 1a b c0 0 0m m0 0cbam m1 1m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 7cbacbabcacbacbacab abc1 -20niimf1000000001000000110 1

40、 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量的最小项三变量的最小项 最小项的性质：最小项的性质： 同一组变量取值：任意同一组变量取值：任意两个不同两个不同最小最小项的项的乘积乘积为为0，即，即mi mj=0 (ij)。 全部全部最小项之最小项之和和为为1，即，即1201niim 任意一组变量取值：任意一组变量取值：只有一个只有一个最小最小 项的项的值为值为1，其它最小项的值均为，其它最小项的值均为0。n个变量有个变量有2 2n个最大项，记作个最大项，记作 i。n个变量的逻

41、辑函数中，包括个变量的逻辑函数中，包括全部全部n个变量的个变量的和项和项（每个变量必须而且只能以原变量或反（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。变量的形式出现一次）。 同一组变量同一组变量, 取值任意的取值任意的两个不同两个不同最最大项的大项的和和为为1，即，即mi+mj=1 (ij)。 全部全部最大项之最大项之积积为为0，即，即 任意一组变量取值，任意一组变量取值，只有一个只有一个最大项最大项的值为的值为0，其它最大项的值均为，其它最大项的值均为1。最大项：最大项：最大项的性质：最大项的性质：1200niim逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 最小项与最大项的关系最小项与

42、最大项的关系 相同编号的最小项和最大项存在互补关系。相同编号的最小项和最大项存在互补关系。即即: mi =mi mi =mi 7531mmmmf 例：例：7531mmmmfm1m3m5m7= 7531mmmm=) , , ,(m6510f, , ,(7) m432f = m（2，3，4，7）ff = m（0，1，5，6）例：例：由若干个最小项之和表示的表达式由若干个最小项之和表示的表达式f，其反函数其反函数f可用与这些最小项相对应的最大项之积表示。可用与这些最小项相对应的最大项之积表示。逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 标准积之和标准积之和( 最小项）表达式最小项）表达式d c badcb

43、adc b ad c b adcbaf),(8510mmmm)8 , 5 , 1 , 0(m 式中的每一个式中的每一个乘积项均为最小项乘积项均为最小项cbbacdbbadcbaf)()(cdbabcdadcbaabcdcdbabcdadcbmmmmmm)0,11,14,151 , 9 , 7 , 3(m解：解：)()(ddcbaddabc例：例：的标准积之和表达式。的标准积之和表达式。accdadcbaf求函数求函数利用互补律，补利用互补律，补上所缺变量上所缺变量b。dcbacdbadabc利用互补律，补利用互补律，补上所缺变量上所缺变量d。逻辑函数的标准形式逻辑函数

44、的标准形式a b c0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1mi01234567fmi0123456701010101例：例：已知函数的真值表，求该函数的标准积之和表达式。已知函数的真值表，求该函数的标准积之和表达式。 从真值表找出从真值表找出f为为1的对应最小项。的对应最小项。解解:0 0 1 1 1 1 0 1 1 3 3 1 1 0 1 5 5 1 1 1 1 7 7 1 然后将这些项逻辑加。然后将这些项逻辑加。f(a,b,c)abccbabcacba7531mmmm)7 , 5 , 3 , 1 (m 函数的最小项函数的最小项表达式是唯一的。表达式

45、是唯一的。 标准和之积标准和之积 ( 最大项）表达式最大项）表达式)()(),(cbacbacbacbaf) 7 , 4 , 0(047mmmm逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 式中的每一个式中的每一个或项均为最大项。或项均为最大项。a b c0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1mi01234567fmi0123456701010101例：例：已知函数的真值表，求该函数的标准和之积表达式。已知函数的真值表，求该函数的标准和之积表达式。 从真值表找出从真值表找出f为为1的对应最大项。的对应最大项。解解:0 0 1 1 1 1 0 1 1 3 3 1

46、 1 0 1 5 5 1 1 1 1 7 7 1 然后将这些项逻辑与。然后将这些项逻辑与。 函数的最大项函数的最大项表达式是唯一的。表达式是唯一的。“0”代以原变量代以原变量，“1”代以反变量代以反变量)()(cbacbacba)(),(cbacbaf0246mmmm)6 , 4 , 2 , 0(m第四节第四节 逻辑函数的简化逻辑函数的简化代数法化简逻辑函数代数法化简逻辑函数图解法化简逻辑函数图解法化简逻辑函数 具有无关项的逻辑函数化简具有无关项的逻辑函数化简函数化简的目的函数化简的目的 逻辑电路所用门的数量少逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少

47、逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作逻辑电路保证能可靠地工作 降低成本降低成本提高电路的工作提高电路的工作速度和可靠性速度和可靠性第四节第四节 逻辑函数的化简逻辑函数的化简与或表达式最简的标准与或表达式最简的标准 与项最少，即表达式中与项最少，即表达式中“+”“+”号最少。号最少。 每个与项中变量数最少，即表达式中每个与项中变量数最少，即表达式中“ ”号最少。号最少。 实现电路的与门少实现电路的与门少 下级或门输入端个数少下级或门输入端个数少与门的输入端个数少与门的输入端个数少方法：方法： 并项：利用并项：利用1 aa将两项并为一项，消去将两项并为一项，消去一个变量一个变量。 吸收：利

48、用吸收：利用 a + ab = a消去多余的与项消去多余的与项。 消元：利用消元：利用babaa消去多余因子消去多余因子。第四节第四节 逻辑函数的化简逻辑函数的化简一、代数法化简逻辑函数一、代数法化简逻辑函数 配项：先乘以配项：先乘以 a+a或加上或加上 aa，增加必要的乘积项，增加必要的乘积项，再用以上方法化简。再用以上方法化简。代数法化简函数代数法化简函数例：化简逻辑函数例：化简逻辑函数f = ab+ac+ad+abcdf = a（b+c+d）+abcd解：解：= abcd+ abcd= a（bcd+ bcd）= a反演律并项法例：化简逻辑函数例：化简逻辑函数f = ( (a+b+c)()

49、(b+bc+c)()(dc+de+de) )( (c+d) )1= ( (a+b+c) )( (c+d) )= ac+bc+ad+bd+cd= ac+bc+cd二二变变量量k图图a b mi图形法化简函数图形法化简函数 卡诺图（卡诺图（k图）图） 图中图中一小格一小格对应真值表中的对应真值表中的一一行行，即一个，即一个最小项最小项，又称真值图。，又称真值图。aabbabbaababab1010 m0 m1 m2 m30 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3abc01000111100001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m2 m3

50、m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11abcd三三变变量量k图图四四变变量量k图图0001111000011110abcd（1）n个逻辑变量的函数，个逻辑变量的函数，卡诺图有卡诺图有2n个方格，对应个方格，对应2n个最小项。个最小项。（2）行列两组变量取值按）行列两组变量取值按循环码规律排列，相邻最循环码规律排列，相邻最小项为逻辑相邻项。小项为逻辑相邻项。（3）相邻有邻接和对称两）相邻有邻接和对称两种情况。种情况。特点：特点：1. 已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填填1，其余格均填，其余格均填0

51、。2. 若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那的那些最小项对应的方格填些最小项对应的方格填1，其余格均填，其余格均填0。3. 函数为一个复杂的运算式，则先将其变成函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式与或式，再用直接法填写。再用直接法填写。图形法化简函数图形法化简函数 用用卡诺图表示逻辑函数卡诺图表示逻辑函数例：某函数的真值表如图所示，用卡诺图表示例：某函数的真值表如图所示，用卡诺图表示该逻辑函数。该逻辑函数。abcf00000100100100010111110101111110abc000111100111110000f= abc+abc

52、+abc+abc例：用卡诺图表示该逻辑函数例：用卡诺图表示该逻辑函数abc0001111001100001111011111100000001111000011110abcd四四变变量量k图图 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11图形法化简函数图形法化简函数 两个相邻格圈在两个相邻格圈在一起，结果消去一个一起，结果消去一个变量。变量。abd ada1 四个相邻格圈在四个相邻格圈在一起，结果消去两个一起，结果消去两个变量。变量。 八个相邻格圈在八个相邻格圈在一起，结果消去三个一起，结果消去三个变量。变量。卡诺图化简函数依据卡诺

53、图化简函数依据： 几何相邻的几何相邻的2i（i = 1、2、3n）个小格个小格可合可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量，而个变量，而用含用含（n - i）个变量的积项标注该圈个变量的积项标注该圈。 上下左右上下左右几何相邻几何相邻的方格的方格内，只有内，只有一个因子不同。一个因子不同。 十六个相邻格十六个相邻格圈在一起，结果圈在一起，结果 mi=1。卡诺图合并最小项原则卡诺图合并最小项原则：（1）圈要尽可能大圈要尽可能大，每个圈包含，每个圈包含2n个相邻项。个相邻项。（2）圈的）圈的个数要少个数要少，使化简后逻辑函数的与项最少。，使化简后逻辑函数的与项最少。（3）所有含）所有含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项。的格都应被圈入，以防止遗漏积项。（4）圈）圈可重复包围可重复包围但每个圈内必须有但每个圈内必须有新新的最小项。的最小项。 图形法化简函数图形法化简函数 与或表达式的简化与或表达式的简化步步骤骤 由真值表或函数表达式画出逻辑函数的卡诺由真值表或函数表达式画出逻辑函数的卡诺图。图。 合并相邻的最小项，注意将图上填合并相邻的最小项，注意将图上填1的方格的方格圈起来，要求圈的圈起来，要求圈的数量少数量少、范围大范围大，