冲激函数和阶跃函数傅立叶变换

1、 3.6 3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 主要内容主要内容 重点：重点：冲激函数和阶跃函数傅里叶变换冲激函数和阶跃函数傅里叶变换 难点：难点：傅立叶变换的推导傅立叶变换的推导冲激函数的傅里叶变换冲激函数的傅里叶变换冲激偶的傅里叶变换冲激偶的傅里叶变换阶跃函数的傅里叶变换阶跃函数的傅里叶变换（1 1）冲激函数的傅里叶正变换）冲激函数的傅里叶正变换 f(t)= d(tf(t)= d(t) )(1(), 1)(0)ff（正实函数）一、冲激函数的傅里叶变换一、冲激函数的傅里叶变换 单位冲激函数的频谱等于常数，即：在整个频率单位冲激函数的频谱等于常数，即：在整个频率

2、范围内频谱是均匀分布的。范围内频谱是均匀分布的。 在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。的所有频率分量。 称此频谱为称此频谱为“均匀谱均匀谱”或或“白色谱白色谱”。0)(t) 1 (tw01)(wf其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：（2 2）冲激函数的傅里叶反变换）冲激函数的傅里叶反变换 其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：直流信号直流信号 f(tf(t)=e)=e (2)(,)20efef （正实函数）)()(wwf求求f(tf(t) )冲激函数的频谱等于常数。冲激函数的频谱等于常数。反过来，直流信号的频谱是冲激函数。反过来，直流信号的

3、频谱是冲激函数。w01)(w)(tf021t 求解直流信号的傅里叶变换求解直流信号的傅里叶变换解：采用宽度为解：采用宽度为 的矩形脉冲的矩形脉冲 的极限而求得。的极限而求得。22( )e u tu tf t0t( )2sfea0w22w0)2(e)(w)(tf0et 当当 时，矩形脉冲成为直流信号时，矩形脉冲成为直流信号f(tf(t)=e,)=e,其傅氏变换为：其傅氏变换为：若令若令sin()2 lim() ()222wwwf wesasaw)(limkwsakk2k比较上两式可得到：比较上两式可得到：)(2wewf当当e=1e=1时，时，)(2wwf)(211)(wtftft二、冲激偶信号的

4、傅里叶变换二、冲激偶信号的傅里叶变换 冲激偶函数：冲激偶函数：)(tf)( t)( )(ttf01t1w0)(wfw0)(w22(,0( ),2,( )0)2fjf （纯虚函数）其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：推导：推导：解：解： dwetiftjwt21)(:两边求导：两边求导：dwejwdttdjwt)(21)(得：得：jwdttdft)(nftnnjwdttd)()(推广：推广： nnnftndwwdjt)()(2 222( ),10,0,02,021( )( )fjf （复函数）三、阶跃信号的傅里叶变换三、阶跃信号的傅里叶变换 阶跃函数：阶跃函数：阶跃函数阶跃函数u(tu(t) )不满足不满足绝对可积条件，但它绝对可积条件，但它仍存在傅里叶变换。仍存在傅里叶变换。2121)(tu)sgn(t)()f tu t01t 222( )1f w0可见：可见：单位阶跃函数单位阶跃函数u(tu(t) )的频谱在的频谱在w=0w=0点存在一个冲激函数，点存在一个冲激函数，即：即：u(tu(t) )含有直流分量。含有直流分量。此外：由于此外：由于u(tu(t) )不是纯直流信号，它在不是纯直流信号，它在t=0t=0点有跳变，点有跳变，因此在频谱中还存在其他频率分量。因此在频谱中还存在其他频率分量。思考题思考题 1