高数的经济应用

1、第四节定积分在经济学上的应用 第六六章 一、已知边际函数求总函数一、已知边际函数求总函数二、资金流的现值和未来值二、资金流的现值和未来值机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.成本函数总成本 = 固定成本 + 可变成本)(qc0c)(1qc平均成本(单位成本)=qqcc)(102.收益函数3.利润函数 利润=总收益-总成本，即l(q) = r(q)-c(q) . 复习 收益=价格销量，即r(q) = pq . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、已知边际函数求总函数一、已知边际函数求总函数 问题：已知某边际经济函数，求该总经济量. 设某个经济函数 u(x)的边际函数为 , 则有)(xu )

2、0()()(0uxudxxux 于是 .)()0()(0 xdxxuuxu机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 已知销售某产品的边际收益为 ， x为销售量，r(0)=0, 则总收益函数为)(xr x0dx)x(r)x(r1. 已知生产某产品的边际成本为 ，x为产量，固定成本为c(0), 则总成本函数为( )c x 00( )( )( )xc xc x dxc 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 生产某产品的边际成本函数为 100143)(2 xxxc固定成本 c(0) = 1000, 求生产 x 个产品的总成本函数 . 解 dxxccxcx 0)()0()(dxxxx 02)1001

3、43(1000.1007100023xxx 例2 已知边际收益为 , 设r(0) = 0, 求收益函数r(x) . xxr278)( 解 xdxxrxr0)278()0()(.782xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3：设某商品的边际收益为( )200100qr q 199.75 (50)(50)50rr 00( )200100qqqr q dqdq ( )r q (50)9987.5r 21200200qq (1) 求销售50个商品时的总收益和平均收益； (2) 如果已经销售了100个商品，求再销售100个商品的总收益和平均收益；解: (1) 总收益函数:平均收益:机动 目录 上页

4、 下页 返回 结束 例4：已知生产某产品x台的边际成本为2150( )11c xx 210150ln(1)xxx2( )305r xx ( )c x 201501011xdxx 0(0)( )xcc x dx (万元/台)，边际收入为 (万元/台).(1) 若不变成本为c(0)=10 (万元/台),求总成本函数，总收入函数和总利润函数；(2)当产量从40台增加到80台时,总成本与总收入的增量;解: (1)总成本为机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于当产量为零时总收入为零,即r(0)=0,于是22129150ln(1)105xxxx 0( )(0)( )x

5、r xrr x dx 020(30)5xx dx ( )( )( )l xr xc x 21305xx 总收入为总利润函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 8040(80)(40)( )ccc x dx 143.96 240 8040(80)(40)( )rrr x dx （万元）(2)当产量从40台增加到80台时,总成本的增量为;当产量从40台增加到80台时,总收入的增量为;（万元）机动 目录 上页 下页 返回 结束 由变化率求总量 例5 某工厂生产某商品, 在时刻 t 的总产量变化率为 (单位/小时). 求由 t = 2 到 t = 4 这两小时的总产量 . ttx12100)( 解

6、总产量 4242)12100()(dttdttxq.2726100422 tt例6 生产某产品的边际成本为 , 当 产量由200增加到300时, 需追加成本为多少?xxc2 . 0150)( 解 追加成本dxxc 300200)2 . 0150(30020021 . 0150 xx .10000 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7 在某地区当消费者个人收入为 x 时, 消费支出 w( x ) 的变化率 , 当个人收入由 900 增加到 1600 时, 消费支出增加多少? xxw15)( 解 dxxw 160090015160090030 x .300 机动 目录 上页 下页 返回 结束

7、设有本金a0,年利率为r,则一年后得利息a0r,本利和为1. 单利假设在期初投资一个单位的本金，在每一时期内都得到完全相同的利息金额，这种计息方式为单利.二、收益流的现值与未来值机动 目录 上页 下页 返回 结束 a0a0ra0(1r),n年后所得利息na0r,本利和为an=a0+na0r=a0(1+nr)这就是单利的本利和计算公式 第二年以第一年后的本利和a1为本金,则两年后的2. 复利这种计息方式的基本思想是：利息收入自动被计入下一期的本金. 就像常说的“利滚利”.机动 目录 上页 下页 返回 结束 这就是一般复利的本利和计算公式. 本利和为a2a0(1r)a0(r)ra0(r)2，照此计

8、算,n年后应得本利和为ana0(1r)n 资金周转过程是不断持续进行的, 若一年中分n期计算,年利率仍为r,于是每期利率为r/n ,则一年后的本利和为t年后本利和为ata(1 r/n )nt ，若采取瞬时结算法,即随时生息,随时计算,也就是n时,得t年后本利和为 这就是连续复利公式0lim(1)nttnraan 00lim(1) .nrtrtrnraaen a1a(1 r/n )n， 因此，在年利率为r的情形下,若采用连续复利，有： （1）已知现值为a0, 则t年后的未来值为 （2）已知未来值为at , 则贴现值为期数趋于无穷大的极限情况下的计息方式，即每时3. 连续复利每刻计算复利的方式称为

9、连续复利.贴现值：时刻t的一个货币单位在时刻0时的价值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 ataert，a at e-rt 我们知道, 若以连续复利率 r 计息, 一笔 p 元人民币 从现在起存入银行, t 年后的价值(将来值) ,t rpeb 若 t 年后得到 b 元人民币, 则现在需要存入银行的金 额(现值) .t rbep 下面先介绍收益流和收益流量的概念 . 若某公司的收益是连续地获得的 , 则其收益可被看作是一种随时间连续变化的收益流 . 而收益流对时间的变化率称为收益流量 . 4 4、收益流的现值和将来值、收益流的现值和将来值机动 目录 上页 下页 返回 结束 收益流量实际上是一

10、种速率 , 一般用 r (t) 表示 ; 若时间 t 以年为单位 , 收益以元为单位 , 则收益流量的单位为: 元/年. (时间 t 一般从现在开始计算) . 若 r(t) = b 为常数 , 则称该收益流具有均匀收益流量. 将来值：现在一定量的资金在未来某一时点上的价值 现值：将来某一时点的一定资金折合成现在的价值，俗称“本金” 例如：假设银行利率为5%,你现在存入银行10000块,一年以后可得本息10500元. 10500为10000的将来值,而10000为10500的现值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 和单笔款项一样 , 收益流的将来值定义为将其存入银行并加上利息之后的本利和 ;

11、 而收益流的现值是这样一笔款项, 若把它存入可获息的银行, 将来从收益流中获得的总收益, 与包括利息在内的本利和, 有相同价值. 在讨论连续收益流时, 为简单起见, 假设以连续复利率 r 计息 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若有一笔收益流的收益流量为 r(t) (元/年) , 下面计算其现值及将来值 . 考虑从现在开始(t = 0)到 t 年后这一时间段 . 利用元素法, 在区间 0 , t 内, 任取一小区间 t , t + dt , 在该小区间内将 r (t) 近似看作常数 , 则应获得的金额近似等于 r (t) dt (元) . 从现在( t = 0 )算起, r (t) dt

12、 这一金额是在 t 年后的将来而获得, 因此在 t , t + dt 内, 从而，总现值为00( )trtrr t edt 收益的现值( )rtr t edt 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在计算将来值时, 收入 r(t) dt 在以后的( t t )年内获息, 故在 t , t + dt 内 例8 假设以年连续复利率 r = 0.1 计息 (1) 求收益流量为100元/年的收益流在20年期间的现值和将来值; (2) 将来值和现值的关系如何? 解释这一关系 . 从而，将来值为()0( )tr tttrr t edt 收益流的将来值()( )r ttr t edt 机动 目录 上页 下页

13、返回 结束 dtet1 . 0200100 现值现值;)(66.864)1(10002元元 edtet)20(1 . 0200100 将来值将来值dteet1 . 02200100 . )(06.6389)1(100022元元 ee (2) 显然 ,2e 现现值值将将来来值值若在 t = 0 时刻以现值 作为一笔款项存入银行, 以年连续复利率 r = 0.1计息, 则20年中这笔单独款项的将来值为 )1(10002 e.)1(1000)1(100022(20)0.12eeee 而这正好是上述收益流在20年期间的将来值 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 (1) 例9 某公司投资100万

14、元(总投资的现值已知）建成1条生产线，并于1年后取得经济效益，年收入为，设银行年利率为10%，问公司多少年后收回投资30万元（收益流量） ttt01 . 0100de30解 设t年后可收回投资，投资回收期应是总收入的现值等于总投资的现值的时间长度，因此有 100)e1(301 .0 t即解得t=4.055，即在投资后的4.055年内可收回投资机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般来说, 以年连续复利率 r 计息, 则在从现在起到t 年后（该收益流的将来值等于将该收益流的现值）作为单笔款项存入银行 t 年后的将来值. 例10 设有一项计划现在( t = 0 )需要投入 1000 万元（投入资金的现值）, 在 10 年中每年收益为 200 万元（收益流量）. 若连续利率为 5%, 求收益资本价值w. (设购置的设备10年后完全失去价值) 解资本价值 = 收益流的现值 投入资金的现值 100020010005. 0 dtewt100005. 020010005. 0 te1000)1(40005 . 0 e. )(88.573万元万元 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例11 某企业一项为期10年的投资需购置成本80万元,每年的收益流量为10万元, 求内部利率 (注: 内部利率是使收益价值等于成本的利率) . 解由收益流的现值等于成本, 得 1001080