第三章多维随机变量及其分布习题

1、.习题三一、填空题1.设两随机变量, 且=, 则 5/7 .2.设二维随机变量的联合概率分布为 12310230x12311/41/21/4则关于的边缘分布律为 . 3若的联合分布律为 123121/61/31/91/18应满足条件是 .若相互独立则= 2/9 ,= 1/9 ；4.设独立同分布, 且的分布律为, 则随机变量的分布律为 p(z=0)=0.25, p(z=1)=0.75 ；5.设二维随机变量的联合概率密度为 则概率=_0.3_。6. 设 () 联合概率密度为则系数= 6 ；7.设二维随机变量的联合概率密度为，则c= 21/4 精品.。8. 设二维随机变量（x，y ）的概率密度为则关

2、于x的边缘概率密度是.9. 设随机变量x和y相互独立，且x在区间上服从均匀分布，y服从参数为1的指数分布，则.10. 设随机变量与相互独立，且均服从区间0, 3上的均匀分布，则= 1/9 .11. 若.12已知独立且服从于相同的分布函数，若令，则. 二、选择题1.设随机变量的分布函数为，其边缘分布函数是（b）2.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以x,y表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则（a） （a） . （b）.（c）. （d）.3设随机变量x与y相互独立，它们的概率分布依次为x-11y-11p1/21/2p1/21/2则下列各式正确的是（c）（a）x=y. （b）px=y=0. (c) px

3、=y=1/2. (d) px=y=1.4.设（x，y）的联合概率密度函数为,则下列结论中错误的是精品.（b）.（a）. （b）.（c）. （d）.5. 设二维随机变量的联合概率密度为，则x,y满足（ c ）（a）独立同分布. （b）独立不同分布.（c）不独立同分布. （d）不独立也不同分布.6. 设随机变量相互独立，且分别服从和，则（b）（a）. （b）.（c） . （d） .7. 设x与y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，则的分布函数为（d）（a）. （b）.（c）. （d）.8.若,且x与y相互独立,则（c）（a）. （b）.（c）.（d）.9.已知，且相互独立,记（a）（a） .

4、（b）. （c）. （d）.10.设相独立且都服从,则下式成立的是（b）（a）. （b）.（c）. （d）.精品.三、计算下列各题1. 一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出的联合概率分布律。 解. 2. 袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以x，y，分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数，求（1）二维随机变量的联合概率分布律;（2）x，y的边缘分布律。解：（1）x，y的取值范围为0,1,2，故 xy01201/41/61/3611/31/9021/900（2）0

5、12225/365/181/364/94/91/93. 设随机变量x在1,2,3,4四个整数中等可能取值，另一个随机变量y在1x中等可能取一个整数值，求（1）的联合分布律；（2）x，y的边缘分布律。解：由题意，则由概率的乘法公式有因此 xy123411/41/81/121/1625/48精品.201/81/121/1613/483001/121/167/4840001/163/481/41/41/41/414. 已知随机变量的概率分布：1/41/21/41/21/2且.（1）求的联合分布，（2）问是否独立？为什么？.解y x-101pj0p11p21p311/210p2201/2pi.1/41

6、/21/41（1）设的联合分布为y x-10101/401/4101/20 5. 假设随机变量和相互独立，都服从同一分布：01221/41/21/41/41/21/4求概率解 注意，两个随机变量同分布，并不意味着它们相等，只说明它们取同一值的概率相等由全概率公式及和相互独立，可见6. 设随机变量 () 的联合密度为，精品.求：（1）系数k； （2）； （3）。解：（1）（2）（3）=7. 设二维随机变量的概率密度为，求（1）常数（2）随机变量的边缘密度，（3）概率。解 （1）. ，(3) .8. 假设一微波线路有两个中间站，它们无故障的时间和是随机变量，其联合分布函数为(1) 求两个中间站连续

7、100小时无故障的概率；(2) 证明和相互独立解 (1) 连续100小时无故障的概率(2) 现在证明和相互独立以和分别表示和的分布函数，则由于，可见和相互独立9. 设二维随机变量的概率密度为求：（1）关于x和关于y的边缘密度函数，并判断x与y是否相互独立？精品.（2）。解：（1）由于（2）9. 雷达的圆形屏幕的半径为，设目标出现点在屏幕上均匀分布，（1）求的边缘概率密度，（2）问是否独立？10. 设两个独立随机变量的分布律为, 求的分布律，的分布律 .解 由独立性可得（）（1，2） （1，4） （3，2） （3，4） 0.18 0.12 0.42 0.28 3 5 5 7 1 3 1 1所以

8、的分布律与的分布律分别为精品.z357w310.18 0.54 0.280.120.460.4211. 设随机变量的联合概率密度, 求的概率密度。 解.12. 设二维变量的概率密度为 求 (1)；(2)的概率密度。解：(1) ，其中d为中的那部分区域； 求此二重积分可得 (2) 当时，； 当时，； 当时， 当时，精品. 于是.13.已知随机向量的概率密度为求随机变量的概率密度解 对于和，显然=0(1) 设注意到，当时=0因此，由二随机变量之和的概率密度公式，有(2) 设注意到当时由二随机变量之和的概率密度公式，有于是，随机变量的概率密度14 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为并

9、设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。解：（1）设第一周需要量为x，它是随机变量 设第二周需要量为y，它是随机变量且为同分布，其分布密度为z=x+y表示两周需要的商品量，由x和y的独立性可知：z0 当z0时，由和的概率公式知 （2）设z表示前两周需要量，其概率密度为 设表示第三周需要量，其概率密度为：z与相互独立= z +表示前三周需要量则：0，当u0时所以的概率密度为15. 假设是一矩形，随机变量和的联合分布是区域上的均匀分布考虑随机变量求和的联合概率分布解易见，若，则随机变量和的联合密度为，否则精品.例3.19插图x= yx =2yy1 0g1g2g32x直线和将分为三部分(见插图)：， ，易见随机变量和的联合概率分布:有等4个可能值，因此v u0101/41/4101/2于是，和的联合分布为16. 假设电路装有三个同种电器元件，其状况相互独立，且无故障工作时间都服从参数为的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不正常工作.试求电路正常工作时间t的概率分布。解 以表示第个元件无故障工作时间，则独立且分布函数为. 所以t服从参数为的指数分布17设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从n（160，20）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。解：设x1，