线性代数习题解答第二章矩阵及其运算西安理工大学应用数学系第二

1、线性代数习题解答 第二章 矩阵及其运算 西安理工大学应用数学系第二章 矩阵及其运算2.1矩阵的定义2.2矩阵的基本运算一、 填空题1、矩阵，当且仅当。2、设矩阵，则矩阵可作加法的条件是，可作乘法的条件是。3、设，则是矩阵，且=。4、矩阵的转置矩阵中，第行第列的元素是。5、对于矩阵，当= 1 ， 0 ， 0 时，是对称矩阵。6、若，则矩阵的次方幂=。7、的充要条件是。8、若是3阶方阵，且，则 -24 ， 9 。9、若是3阶方阵，是4阶方阵，且，则 -8 。10、设是阶方阵，是的伴随矩阵，则。二、判断题1、若两个行列式，则他们对应的矩阵有。 （）2、若矩阵的行列式，则必有。 （）3、若矩阵的乘积和

2、都有意义，则必是方阵。 （）4、均是阶方阵，则。 （）5、对任意的阶方阵，有。 （）6、若，则或。 （）7、若，则或。 （）8、对任意的方阵，有。 （）三、单项选择题1、 若是矩阵，是矩阵，是矩阵，则下列运算不可行的是（d）(a) (b) (c) (d) 2、 已知是矩阵，是矩阵，则下列运算结果是阶方阵的是（b）(a) (b) (c) (d) 3、 设是阶方阵，是矩阵，在下列运算，正确的是（d）(a) (b) (c) (d) 4、 若，则矩阵的行列式有（b）(a) (b) 或 (c) (d) 5、 设为阶方阵，则下列结论成立的是（c）() ()()()6、 设为阶方阵，且，则下列结论成立的是（

3、b）() ()或()()7、设行矩阵，且，则（b）(a) -2 (b) 2 (c )-1 (d) 18、设均为阶方阵，则必有（a）(a) (b) (c) (d) 四、计算题1、已知两个线性变换（1） （2）求从到的线性变换。解：线性变换（1）对应的矩阵是，线性变换（）对应的矩阵是，则从到的线性变换所对应的矩阵是从到的线性变换为。2、若，满足方程，求解：由，解得所以。3、按下列给定矩阵，求及。（1），（2），解：（），（2），4、设，求。解： 因为，设，则由数学归纳法知五、证明题1、 设为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵。证明：由为对称阵有，又由知也是对称阵。2、 都是阶对称矩阵，证明是对称

4、矩阵的充要条件是。证明：因为都是对称矩阵，所以有，故有。因为为对称阵，即有，又，还因为，所以，即是对称矩阵。2.3 逆矩阵一、 填空题1、已知，则 e ，= e ，所以 b ，a 。2、设为阶方阵，则是可逆的充分必要条件。 3、若、均为阶可逆方阵，数，则，。4、设，则，。5、设为3阶矩阵，且，则 -16 。6、已知，则。二 、判断题1、 设、均为阶方阵，若，则，且。 （）2、 可逆矩阵就是奇异矩阵。 （）3、 若，则。 （）4、 设，则是非奇异矩阵的充要条件是。 （）5、 若、为同阶方阵，则。 （）6、 设常数，为非奇异矩阵，则。 （）三、选择题1、设为阶方阵，且可逆，则必成立（c）(a) 若

5、则 (b) 若则(c) 若则 (d)若则2、设为同阶可逆阵，则矩阵方程的解（a）(a) (b) (c) (d) 3、设，均为阶方阵，下面结论正确的是（b）(a) 若，均可逆，则可逆 (b)若，均可逆，则可逆(c) 若，均可逆，则可逆 (d)若可逆，则，均可逆4、设为阶可逆方阵， 则（d）(a) (b) (c) (d) 四、计算题1、 试用逆矩阵的方法求下列线性方程组的解。 解：所给方程的矩阵表达式为，其中，由，方程组的解为。2、解矩阵方程，其中，。解：由移项并整理得因为，所以可逆，等式两边左乘得到，由伴随矩阵法求得故。3、设，求矩阵使其满足解：由，知存在，且，。故得到，经计算得到。4、 已知，

6、求矩阵。解：且，所以有五、证明题1、设方阵满足，证明及都可逆，并求及。解：由得到，即，所以可逆，且。同理，由得到，即，故可逆，且。或者由得到，则2、设（为正整数），证明证明 因为所以。2.4 分块矩阵一、设，用矩阵分块法计算（1），（2） （3） （4）解：设，其中，(1) (2) 同理，所以（3）(4) 二、设阶矩阵及阶矩阵都可逆，求（1） （2）解：（1） （2）三、取，验证。解：，而，所以，故有。四、设，求及解：，其中，而，所以，同理，所以， 2.5矩阵的秩 2.6 矩阵的初等变换一、 填空题1、矩阵的秩为 2 ，化为标准形为。2、若矩阵与等价，则与的秩 相等 。3、设，则=。4、设矩阵，且，则=-3。二、 判断题1、设与均为矩阵，若存在阶可逆阵和阶可逆阵，使得，则 （）2、若是满秩矩阵，则 （）3、由矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 （）4、设为矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵。 （）5、矩阵是奇异矩阵。 （）6、在秩为的矩阵中，所有的阶子式都为零。 （）7、在秩为的矩阵中，一定没有等于0的阶子式。 （）三、 计算下列矩阵的秩1、解：由知。2、解：所以。四、 用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵。1、解：由，所以。2、解：所以 五、 设，用初等变换法求