6几个著名的不等式

1、6几个著名的不等式在不等式的证明中，掌握一些常用的不等式是必要的，下面我们对几个常用的著名不等式作一介绍。1 基本原理先介绍排序不等式，设与是两组实数，且，我们将称为这两组实数的顺序积和，将称为这两组实数的倒序积和，设是的一个排列，则称为这两组实数的乱序积和。对于这3类积和我们有如下结论：定理1（排序不等式）设，是的一个全排列，则有 ，等号全成立的充要条件是或.证 我们先用数学归纳法证明. （1） 当时，因为 ，所以 时，（1）式成立。假设对于时（1）式成立，即，其中是1,2,的一个排列，那么对于，设是1,2，的一个全排列，则当时，由归纳假设知，= ，所以（1）式成立 当时，必存在，使得，则

2、，即时（1）式成立。由归纳法原理知对于，（1）式成立.再证 .事实上，因为，由（1）知，对于1,2，的一个排列，有 ， .再证等号成立的条件，充分性是显然的.我们用反证法证明必要性.若结论不成立，即在 = （2）的条件下，不全相等，也不全相等，则存在，使得 ， .不妨设 ，则有 ， ，从而有 ，所以 (3)(3)与（2）矛盾.排序不等式表明对于两组实数，其顺序积和最大，倒序积和最小，乱序积和居中，顺序积和与倒序积和相等的充要条件是这两组实数中有一组全相等。推论1 若对于 ，有 ，则 ，等号成立的条件是 .证 由对称性，不妨设 ，则 .有排序不等式，有 .等号成立的条件是或 ，即 . 推论2 若

3、对于 ，且，则 .等号成立的充要条件是 . 证 令则，这里均为正实数，由推论1知， .等号成立的充要条件是，即. 定理2 设是个正数，令（调和平均值）， （几何平均值）， （算术平均值）， （平方平均值），则有 （）(调和平均几何平均不等式) ； （）(几何平均算术平均不等式) ； （）（算术平均平方平均不等式） .这些不等式又统称为均值不等式.等号成立的充要条件是. 证 （） (1) ,由定理1的推论2知（1）式成立，故（）成立.等号成立的充要条件是，即. （） (2) ,所以由定理1的推论2知（2）成立，故（）成立.显然等号成立的充要条件是 .（） 令，再令 ，则. =0 , .等号成立的

4、充要条件是，即.定理3 （切比雪夫不等式）设与是两组实数，且，则 （1）等号成立的充要条件是或. 证 由排序不等式，有 ， ， ， ，将上述个式子相加，得 ， ，即（1）式左边的不等式成立.由排序不等式等号成立的条件知当且仅当或时等号成立. 因为，由上面的证明可知， ， .等号成立的充要条件是或.由切比雪夫不等式可知，对于两组实数，其顺序积的算术平均值不小于这两组实数的算术平均值的积，倒序积和的算术平均值不大于这两组数的算术平均值的积。定理4（柯西不等式）对任意实数和，有 ，等号成立的条件是存在不全为零的实数和，使得对于有，即与对应成比例.证 若，则，不等式成立. 当时，作关于x的二次函数.

5、，且，所以 ，.从上面证明不难看出等号成立的条件.3 方法解读运用上述几个不等式解答竞赛试题，首先应对各个不等式的特点与功能有透彻的了解，然后根据试题的特点，合理的选择不等式和变形方法.在应用这些不等式解题时应注意约分、有理化、升幂与降幂、排序等方法的应用，下面我们通过实例来说明这些方法.例1 已知都是正数，求证： （1） 方法1 （用切比雪夫不等式）不妨设 ，则 ，由切比雪夫不等式，有 ，化简即得（1）.方法2 （用柯西不等式） .例2 设已知是实数，满足 试确定的最大值. 证 由算术平方平均不等式得：，从而有 ， ，解之得 .当时，因此的最大值为.例3（第26届美国奥林匹克试题）证明对所有正数有 （1）证 由排序不等式知 ，从而有 .例4（2005年日本数学奥林匹克）若正实数满足，求证. 证 ， 由均值不等式，得 ， .同理可得 将上述3个不等式相加，得 .例5 设非负实数满足，求的最小值. 证 由对称性，不妨设，则 由不等式（9）知，.等号成立的充要条件是即时等号成立，所以的最小值