衍生金融工具的风险分析

1、第第3章章 衍生金融工具的风险分析（衍生金融工具的风险分析（1）3.1 远期与期货的定价远期与期货的定价 一个农民想把他的牛卖掉，若一个农民想把他的牛卖掉，若t时刻牛价格时刻牛价格为为st，如果他签订一个在，如果他签订一个在t （tt）时刻卖）时刻卖牛的期货合同，在牛的期货合同，在t时刻这个牛期货应该如时刻这个牛期货应该如何定价？若不计其他因素何定价？若不计其他因素若牛能够在今日卖掉，获得现金，以无风险若牛能够在今日卖掉，获得现金，以无风险利率投资就获得利息。利率投资就获得利息。()r t tttfs e 定理定理3.1（现货（现货-期货平价定理）：假设期货的到期货平价定理）：假设期货的到期时

2、间为期时间为t，现货价格为，现货价格为s0，则远期价格，则远期价格f0满足满足f0=s0ert。 证明证明：（：（反证法）我们可以采用反证法）我们可以采用套利定价套利定价的方法的方法来证明上述结论。来证明上述结论。 假设假设f0s0ert ，考虑下述投资策略：，考虑下述投资策略：投资者在当前（投资者在当前（0时刻）借款时刻）借款s0用于买进一个单位的标用于买进一个单位的标的资产（的资产（long position），）， 借款期限为借款期限为t，同时卖出，同时卖出一个单位的远期合约一个单位的远期合约(short position)，价格为，价格为f0。在远期合约到期时（在远期合约到期时（t时刻

3、），投资者用持有的标的资时刻），投资者用持有的标的资产进行远期交割结算，因此获得产进行远期交割结算，因此获得f0，偿还借款本息需，偿还借款本息需要支出要支出s0ert。 因此，在远期合约到期时，他的投资组合的净收因此，在远期合约到期时，他的投资组合的净收入为入为f0-s0ert ，而他的初始投入为，而他的初始投入为0，这是一个，这是一个无风险的套利。无风险的套利。 反之，若反之，若f0s0e rt，即远期价格小于现货价格的，即远期价格小于现货价格的终值，则套利者就可进行反向操作，即卖空标的终值，则套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产资产s0，将所得收入以无风险利率进行投资，期，将所得收入以无

4、风险利率进行投资，期限为限为t，同时买进一份该标的资产的远期合约，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为交割价为f0。在。在t时刻，套利者收到投资本息时刻，套利者收到投资本息s0ert，并以并以f0现金购买一单位标的资产，用于归现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产还卖空时借入的标的资产，从而实现，从而实现s0ert-f0的的利润。利润。 上述两种情况与市场上不存在套利机会的假设矛上述两种情况与市场上不存在套利机会的假设矛盾，故假设不成立，则盾，故假设不成立，则f0=s0ert。证毕。证毕。 如果这只牛在如果这只牛在10天后交割，而这只牛天后交割，而这只牛在此期间会产下一头小

5、牛，假定这只在此期间会产下一头小牛，假定这只小牛的现值为小牛的现值为i，那牛的远期价格该是，那牛的远期价格该是多少？多少？()()r t tttfsi e 如果这只牛在交割后才会产下一头小如果这只牛在交割后才会产下一头小牛，那牛的远期价格该是多少？牛，那牛的远期价格该是多少？如果远期的标的资产提供确定的红利。假如果远期的标的资产提供确定的红利。假设红利是连续支付的，红利率为设红利是连续支付的，红利率为q。由于。由于具有红利率具有红利率q，该资产的价格才为，该资产的价格才为s0。若。若没有这个红利存在，则该资产的价格为没有这个红利存在，则该资产的价格为()000()qtrtr q tfs ees

6、 e0qts e 故有红利率故有红利率q的资产，当前价格为的的资产，当前价格为的s0，等，等价于价格为价于价格为 的无红利资产。由无红利的的无红利资产。由无红利的资产的定价公式可得资产的定价公式可得0qts e两个推论（可生息资产的远期价格）两个推论（可生息资产的远期价格）以上证明的是标的资产本身不带来利息的以上证明的是标的资产本身不带来利息的远期价格。如小麦远期。但是，对于持有远期价格。如小麦远期。但是，对于持有期间可以生息的资产，则需要对公式进行期间可以生息的资产，则需要对公式进行调整，如债券远期。调整，如债券远期。1. 标的资产在远期合约到期前获得收益的现标的资产在远期合约到期前获得收益

7、的现值为值为i，则，则()()r t tttfsi e证明：从单利到复利证明：从单利到复利000000(1),(1)11 (1)mmmqtqtmqtmirsirs rs rs eiss ere若 是某债券利息（单利）的现值，假定该债券的单利率是 ，则对于现值为 的债券，其单利的终值为所以()000()rtr q tfsi es e注意：债券的贴现率不等于无风险收益率？注意：债券的贴现率不等于无风险收益率？如果远期的标的资产提供确定的红利。假如果远期的标的资产提供确定的红利。假设红利是连续支付的，红利率为设红利是连续支付的，红利率为q。由于。由于具有红利率具有红利率q，该资产的价格才为，该资产的

8、价格才为st，它，它等价于价格为等价于价格为()()()()()q t tr t tr q t ttttfs ees e()q t tts e 的无红利资产。由无红利的资产的定价公的无红利资产。由无红利的资产的定价公式可得式可得敏感性分析敏感性分析()()()()()q t tr t tr q t ttttfs ees e()()()()(, )r q t tr q t tttttdf s rds esedr注意：注意：（1）风险因素由两个，现货价格与无风险利率。）风险因素由两个，现货价格与无风险利率。（2）由于是指数函数，敏感性方程为非线性方程。）由于是指数函数，敏感性方程为非线性方程。例例

9、3.1假设假设2年期即期年利率（连续复利，下同）年期即期年利率（连续复利，下同）为为10.5%，3年期即期年利率为年期即期年利率为11，本金，本金为为100万美元的万美元的2年年3年远期利率协议的年远期利率协议的合同利率合同利率为为11，请问，请问理论上理论上,远期利率应为多少？该协议利率合理远期利率应为多少？该协议利率合理吗？吗？1.该远期利率协议的价值是多少？该远期利率协议的价值是多少？11% 3 10.5%212.0%(32)l ls sflsrtrtrtt tstl0a()lsk ttae()()0()() = 1flslss sflss srttk ttr tkrttr tfaa e

10、eeaee()()010.5 2(0.11 0.12)(3 2)11,000,00018065.31flss sk rttr tfaeeee由此可见，由于协议利率低于远期利率（理论利由此可见，由于协议利率低于远期利率（理论利率），这实际上给了多方（借款方）的优惠，故合率），这实际上给了多方（借款方）的优惠，故合约价值为正。反之，当协议利率高于远期利率的时约价值为正。反之，当协议利率高于远期利率的时候，空方获利，这意味着远期合约的价值为负。候，空方获利，这意味着远期合约的价值为负。远期合约的价值总是从多方的视角来看的！远期合约的价值总是从多方的视角来看的！3.2 期货合约期货合约远期的组合远期的

11、组合 三个制度性特征：逐日盯市、保证金要求、期货三个制度性特征：逐日盯市、保证金要求、期货清算所，逐日盯市将履约期限缩短为清算所，逐日盯市将履约期限缩短为1天。天。 若若7月月1日购买了日购买了1份份83天的期货合约，当日期货天的期货合约，当日期货价格为价格为0.61美元，次日为美元，次日为0.615美元。这等价于美元。这等价于7月月1日购买了一份期限为日购买了一份期限为83天的远期合约，其交割价天的远期合约，其交割价格为格为0.61美元美元7月月2日远期合约以日远期合约以0.615美元被清算，并被一份期限为美元被清算，并被一份期限为82天，交割价格为天，交割价格为0.615美元的新的远期合约

12、所代替。美元的新的远期合约所代替。 思考：思考：远期能否看成是期货的组合？远期能否看成是期货的组合？讨论：期货与远期的差异讨论：期货与远期的差异 假定一个假定一个5000蒲式耳小麦期货和远期只有蒲式耳小麦期货和远期只有3日期限，多方损益日期限，多方损益日期日期期货价格期货价格（元）（元）远期现金流远期现金流期货现金流期货现金流7月月1日日4007月月2日日4.105007月月3日日40-500讨论：期货与远期的差异讨论：期货与远期的差异如果利率固定，则期货合约和远期合约等如果利率固定，则期货合约和远期合约等价。（价。（cir定理）定理）如果利率浮动，则期货与远期可能不等价。如果利率浮动，则期货

13、与远期可能不等价。考虑例子中，考虑例子中，2日的利息远高于日的利息远高于3日，结果如日，结果如何？何？ 显然，多方偏好期货合约，则期货合约价显然，多方偏好期货合约，则期货合约价值上升，反之则反。值上升，反之则反。 一般来说，远期与期货存在一定的差异：一般来说，远期与期货存在一定的差异：如果期货和远期的到期时间只有几个月，那么，如果期货和远期的到期时间只有几个月，那么，在大多数情况下，二者价格的差异常常小到可在大多数情况下，二者价格的差异常常小到可以忽略不计。以忽略不计。随着到期时间的延长，二者价格的差异可能变随着到期时间的延长，二者价格的差异可能变得比较显著。得比较显著。 若标的资产价格与利率

14、正相关，则期货合约若标的资产价格与利率正相关，则期货合约价值高于远期，反之则反价值高于远期，反之则反利率上升利率上升标的资产价格上升标的资产价格上升多头获利实现多头获利实现（盯市）（盯市）再投资收益增加再投资收益增加利率下降利率下降标的资产价格下降标的资产价格下降期货多头亏损期货多头亏损以低成本融资以低成本融资cir定理：期货与远期等价定理：期货与远期等价 cir定理定理： 如果如果利率固定（利率固定（constant），那么远期价格与期货价格相同。那么远期价格与期货价格相同。 证明的思路：期货是一连串不断更新的远证明的思路：期货是一连串不断更新的远期。根据无套利定价的原理，可以让远期期。根据

15、无套利定价的原理，可以让远期和期货相互复制。和期货相互复制。 cir的思路：以期货组合复制远期，由远的思路：以期货组合复制远期，由远期推断期货。期推断期货。远期：到期日结算（中间没有现金流）远期：到期日结算（中间没有现金流）期货：每日结算（每日都有现金流）期货：每日结算（每日都有现金流）证明：（证明：（by cox，ingersoll，ross）假设期货合约的有效期为假设期货合约的有效期为n天，用天，用fi表示表示第天第天i末（末（0in-1）的期货价格，）的期货价格，表示表示每天的无风险利率（常数）。不计交易费每天的无风险利率（常数）。不计交易费用，考虑下述投资策略用，考虑下述投资策略第第0

16、天末（即合约开始的时候）持有天末（即合约开始的时候）持有e单位的单位的期货多头期货多头第第1天末把头寸增加到天末把头寸增加到e2第第2天末把头寸增加到天末把头寸增加到e31.第第n-1天末把头寸增加到天末把头寸增加到en也可以作如下分析：也可以作如下分析： （1）在第）在第0天末（第天末（第1天初）买进天初）买进e单位的期单位的期货货 （2）在第）在第1天末（第天末（第2天初）把头寸增加到天初）把头寸增加到e2，结清上一日的，结清上一日的e单位单位 （3）在第）在第2天末（第天末（第3天初）把头寸增加到天初）把头寸增加到e3，结清上一日的，结清上一日的e2 单位单位 .（n）在第）在第n1天末

17、（第天末（第n天初）把头寸增加天初）把头寸增加到到en单位，结清上一日的单位，结清上一日的e(n-1) 单位单位 。1(),1,2,.,iiffein第第2天末天末盈亏盈亏的现值的现值10()ffe第第1天末盈亏的现值天末盈亏的现值22121()()ff e effe第第i天末天末盈亏盈亏的现值的现值1001()() ( ) nnntniiniffeff esf e整个投资策略，在整个投资策略，在n天末的价值为天末的价值为第第i天末盈亏的终值天末盈亏的终值(1)11()(),1,2,.,nniiiiffe effein111212110()()() ,., ()() nnniiiiiiiffe

18、effffffff相当于持有相当于持有en单位的远单位的远期期 下面，以无套利分析方法来给出远期下面，以无套利分析方法来给出远期-期货期货等价证明。考虑两种投资策略等价证明。考虑两种投资策略 策略策略1，构建包含两种资产的组合，构建包含两种资产的组合1：0时刻买进一个面值为时刻买进一个面值为f0的无风险债券，的无风险债券，n时刻时刻卖出；卖出；投资上述的期货组合投资上述的期货组合 t时刻，组合时刻，组合1价值为价值为00().nnnttf esf es e注意：初始投资仅为注意：初始投资仅为f0策略策略2：构建资产组合：构建资产组合2假设第假设第0天的远期价格为天的远期价格为g0,则在无风险债

19、券则在无风险债券上投资上投资g0第第0天末买进天末买进en单位的远期合约单位的远期合约在在t时刻，组合的价值为时刻，组合的价值为00().nnnttgesg es e注意：注意：初始投资仅为初始投资仅为g000().nnnttf esf es e00().nnnttgesg es e由于期末两个组合的价值相等，即由于期末两个组合的价值相等，即则初始投资额必须满足则初始投资额必须满足00fg因此，期货价格等于相同期限的远期价格，因此，期货价格等于相同期限的远期价格，期货仅仅期货仅仅是远期的标准化，远期的计算公式适用于期货。是远期的标准化，远期的计算公式适用于期货。()()()(),r q t t

20、q t tr t tttttfs efs eke例子：外汇远期（期货）风险估计例子：外汇远期（期货）风险估计 假设一家假设一家美国公司美国公司持有持有3个月后到期的，以个月后到期的，以1500万美元兑换万美元兑换1000万英镑的远期合约。从美国公司万英镑的远期合约。从美国公司的角度分析其风险，假设当前时刻的角度分析其风险，假设当前时刻t为为1996年年5月月20日，要预测日，要预测5月月21日的所有可能情形。日的所有可能情形。1、识别风险因子。、识别风险因子。t美元美元英镑英镑英镑利率英镑利率美元利率美元利率英镑英镑/美元即期汇率美元即期汇率66exp()exp() 10exp(0.25) 1

21、.5 10exp(0.25)ttukukusdusdtukusdfsarttarttsrr 2、市场因子预测、市场因子预测5月月21日合约的可能值：样本区间日合约的可能值：样本区间1995年年12月月29日日1996年年5月月20日（日（100个交易日）个交易日） 1 5.469 6.121 1.53932684.19 2 5.379 6.063 1.53132935.54 99 5.469 6.0001 1.53633639.62100 5.469 6.0003 1.55734106.44usdrukrtstf3.3 交叉套期保值交叉套期保值 利用现货价格和期货价格变化的相关性，通过在利用现

22、货价格和期货价格变化的相关性，通过在期货市场和现货市场的相反操作来使它们的价格期货市场和现货市场的相反操作来使它们的价格变化相互抵消，从而消除现货投资的风险。变化相互抵消，从而消除现货投资的风险。例如以股指期货对股票指数基金进行套期保值例如以股指期货对股票指数基金进行套期保值问题：问题：如果要保值的股票组合与指数组合不同如果要保值的股票组合与指数组合不同，如何，如何进行套期保值？进行套期保值？ 交叉套期保值：当要保值的现货与期货合约的标交叉套期保值：当要保值的现货与期货合约的标的资产的波动不完全同步时，需要确定合适的的资产的波动不完全同步时，需要确定合适的套套期保值比率期保值比率。 套头保值比

23、率套头保值比率h ：对：对1份现货资产的多头份现货资产的多头（空头）头寸，要用（空头）头寸，要用h份期货的空头（多头）份期货的空头（多头）进行套期保值。由此构造的套期保值组合进行套期保值。由此构造的套期保值组合为：为：1份现货资产的多头份现货资产的多头 h份期货合约的空份期货合约的空头头在某个在某个t时刻，该组合的价值为时刻，该组合的价值为 ttttttvsh fvshf 套期保值模型套期保值模型若已知若已知22(),()(,)/()()sftdsdfcovsfdsdf 2222()( )2psfsfdvhhh 套期保值者的目标是使组合的方差最小化套期保值者的目标是使组合的方差最小化则有则有2

24、22min/min( )(1)sfpshh当, 最优套头比最优套头比h：使得套期保值工具头寸与现使得套期保值工具头寸与现货头寸构成的投资组合风险最小的套头比货头寸构成的投资组合风险最小的套头比h。 现货工具与套期保值工具的相关系数的平现货工具与套期保值工具的相关系数的平方称为方称为主导系数（或决定系数）主导系数（或决定系数） 基差风险：若套期保值不能完全消除价格基差风险：若套期保值不能完全消除价格风险，则投资者还必须承担剩余的风险，风险，则投资者还必须承担剩余的风险，把在采取套期保值措施以后剩余的风险称把在采取套期保值措施以后剩余的风险称为基差（为基差（basic）风险。）风险。 某个基金经理

25、希望利用某个基金经理希望利用s&p500指数期货对他管指数期货对他管理的股票基金进行为期理的股票基金进行为期3个月的套期保值，但是个月的套期保值，但是该组合只包含该组合只包含10种股票，故组合价值变化与指数种股票，故组合价值变化与指数的变化不能保持完全一致，故需要计算套期保值的变化不能保持完全一致，故需要计算套期保值比率比率13.47,0.964,0.779,13.470.77910.880.964sfh则 基金经理应卖出基金经理应卖出11份的期货合约，才能对份的期货合约，才能对组合进行保护。组合进行保护。3.4 互换定价及其风险因子互换定价及其风险因子 考虑一个考虑一个2003年年9月月1日

26、生效的日生效的3年期的利率互年期的利率互换，名义本金是换，名义本金是1亿美元。亿美元。b公司同意支付给公司同意支付给a公司年利率为公司年利率为5的固定利息，同时的固定利息，同时a公司同意公司同意支付给支付给b公司以公司以libor计算的浮动利息。互换计算的浮动利息。互换在每隔在每隔6个月交换一次，则每个月交换一次，则每6个月个月 a公司公司 b公司公司 libor /22.5%利率互换中利率互换中b公司的现金流量表（百万美元）公司的现金流量表（百万美元） 日期日期 libor 收到的浮动收到的浮动利息利息 支付的固定支付的固定利息利息 净现金流净现金流 2003.9.14.20 2004.3.

27、14.80 +2.10 2.50 0.40 2004.9.15.30 +2.40 2.50 0.10 2005.3.15.50 +2.65 2.50 0.15 2005.9.15.60 +2.75 2.50 0.25 2006.3.15.90 +2.80 2.50 0.30 2006.9.16.40 +2.95 2.50 0.45 利率互换的分解利率互换的分解t01、远期模式：期货可能每天都有资金流动（有效期只有、远期模式：期货可能每天都有资金流动（有效期只有1天）；天）；互换到各个支付期限时才有资金移动；远期只有一次资金流动。互换到各个支付期限时才有资金移动；远期只有一次资金流动。互换介于远

28、期和期货之间，它也是远期合约的组合。互换介于远期和期货之间，它也是远期合约的组合。上述的远期可以看成上述的远期可以看成6个远期的组合。个远期的组合。2、债券模式：利率互换可以看成是两个债券现金流的组合：、债券模式：利率互换可以看成是两个债券现金流的组合：浮动利率债券浮动利率债券vs.固定利率债券。固定利率债券。利率互换的分解：债券模式利率互换的分解：债券模式 互换：互换：b公司同意支付给公司同意支付给a公司年利率为公司年利率为5的固的固定利息，同时定利息，同时a公司同意支付给公司同意支付给b公司以公司以libor计算的浮动利息。互换在每隔计算的浮动利息。互换在每隔6个月交换一次。个月交换一次。

29、可以看成每半年支付利息的两个债券可以看成每半年支付利息的两个债券1、b公司按公司按libor的利率（的利率（贷款期初贷款期初）借给）借给a公司公司1亿美元，即亿美元，即a向向b发行浮动利息债券。发行浮动利息债券。 2、a公司按公司按5%的年利率借给的年利率借给b公司公司1亿美元，亿美元，b向向a发行固定利率债券。发行固定利率债券。利率互换的定价（利率互换的定价（1） 定义定义 :互换合约中分解出的固定利率债券的价值。互换合约中分解出的固定利率债券的价值。 :互换合约中分解出的浮动利率债券的价值。互换合约中分解出的浮动利率债券的价值。 那么这个互换的价值就是：那么这个互换的价值就是：fixbfl

30、b1 11, ()i in nflfixnrtr tfixirtflvbbhere bkeleblkeswap浮动利率债券的价值浮动利率债券的价值 在浮动利率债券支付利息后的那一刻，在浮动利率债券支付利息后的那一刻，浮动利率债券的价值为其本金浮动利率债券的价值为其本金l。假设利。假设利息下一支付日应支付的浮动利息额为息下一支付日应支付的浮动利息额为 （这是已知的这是已知的），那么在利息支付那一），那么在利息支付那一刻，浮动利率债券的价值为刻，浮动利率债券的价值为 。在我们的定义中，若距下一次利息支付在我们的定义中，若距下一次利息支付日还有的时间日还有的时间 ，那么当前时刻浮动利率，那么当前时刻

31、浮动利率债券的价值应该为：债券的价值应该为： kklbfl1t11)(trfleklb t1t1的利率与的利率与0时刻确定的时刻确定的0t1的利率不同，的利率不同，因此，不能简单用因此，不能简单用0时刻的利率来表示未来的时刻的利率来表示未来的利率。利率。l+k*ll+k*t1t2l确定值确定值0t1111111111,0,(1)(1)111nnnnnttttttt tttlililkbbiii在每个付息周期，在每个付息周期，起点的价格起点的价格=面值，终点的价格面值，终点的价格=面值面值+利息利息，其余时刻由市场利率决定其价格。，其余时刻由市场利率决定其价格。1111,(1)1nnnnnt ttttlibi11111111,(1)(1)1nnnnnnnnnnttttttttttliblii 111