线性定常系统的综合

1、线性定常系统的综合线性定常系统的综合状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数，线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数，使系统满足性能指标要求。使系统满足性能指标要求。1 状态反馈状态反馈线性定常系统方程为：线性定常系统方程为：ducxybuaxx （1）假定有假定有n 个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。kxvu（2）其中，其中，k 为为 反馈增益矩阵；反馈增益矩阵；v 为为r 维输入向量。维输入向量。nr状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈则有则有dvxdkcy)(bvxbk

2、akxvbaxx)()(（3）状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈2 输出反馈输出反馈采用采用hyvu（4）h 为为 常数矩阵常数矩阵mrvddhibhbxcdhibhahyvbaxx)()()(11dvdhicxdhiy11)()(（5）两者比较：状态反馈效果较好；两者比较：状态反馈效果较好； 输出反馈实现较方便。输出反馈实现较方便。状态反馈的能控性和能观测性状态反馈的能控性和能观测性线性定常系统方程为线性定常系统方程为cxybuaxx （6）引入状态反馈引入状态反馈kxvu（7）cxybvbk)xax(则有则有（8）状态反馈的能控性和能观测性状态反馈的能控性和能观测性定理定理 线性定常系统

3、（线性定常系统（6）引入状态反馈后，成为系统（）引入状态反馈后，成为系统（8），不），不改变系统的能控性。改变系统的能控性。对任意的对任意的k 矩阵，均有矩阵，均有证明证明 ikibaibbkai0)(baibbkairank)(rankiki0因为因为 满秩，所以对任意常值矩阵满秩，所以对任意常值矩阵k 和和 ，均有，均有（9）（9）式说明，引入状态反馈不改变系统的能控性。但是，状态）式说明，引入状态反馈不改变系统的能控性。但是，状态反馈可以改变系统的能观测性。反馈可以改变系统的能观测性。极点配置极点配置定理定理 线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配置的充分必要条线性定常系统可以通过状态反

4、馈进行极点配置的充分必要条件是：系统状态完全能控。件是：系统状态完全能控。状态反馈状态反馈kxvu（11）线性定常系统线性定常系统cxbaxxyu（10）cxbbk)xaxyv(状态反馈系统方程状态反馈系统方程（12）因为因为a 和和 b 一定，确定一定，确定k 就可以配置系统的极点。就可以配置系统的极点。极点配置极点配置经过线性变换经过线性变换 ，可以使系统具有能控标准形。，可以使系统具有能控标准形。xpx1（13）uaaan100100001000010110 xxx110ny系统传递函数：系统传递函数：)()()(011101221111ssasasasssssssgnn-nnn-nn-

5、 baicbaic（14）极点配置极点配置（15）引入状态反馈引入状态反馈xkxkpkxvvvu1令令1101nkkkkpk（16）其中其中 为待定常数为待定常数110,nkkk)()()(1001010010010111100110110nnnnkakakakkkaaakba极点配置极点配置状态反馈系统特征多项式为状态反馈系统特征多项式为)()()()(det)(0011111kaskaskasssnnnnkkbai（17）设状态反馈系统希望的极点为设状态反馈系统希望的极点为nsss,21其特征多项式为其特征多项式为*0*11*11*)()(asasassssnnnniik（18）比较（比较

6、（17）式和（）式和（18）式，选择）式，选择 使同次幂系数相同。有使同次幂系数相同。有ik1*11*10*0nnaaaaaak（19）而状态反馈矩阵而状态反馈矩阵110nkkkpkk镇定问题镇定问题镇定问题镇定问题 非渐近稳定系统通过引入状态反馈，实现渐近稳定非渐近稳定系统通过引入状态反馈，实现渐近稳定（23）定理定理 siso线性定常系统方程为线性定常系统方程为cxbaxxyu显然，能控系统可以通过状态反馈实现镇定。显然，能控系统可以通过状态反馈实现镇定。那么，如果系统不能控，还能不能镇定呢？那么，如果系统不能控，还能不能镇定呢？如果系统不能控，引入状态反馈能镇定的充要条件为：不能控的状如

7、果系统不能控，引入状态反馈能镇定的充要条件为：不能控的状态分量是渐近稳定的。态分量是渐近稳定的。镇定问题镇定问题当系统满足可镇定的条件时，状态反馈阵的计算步骤为当系统满足可镇定的条件时，状态反馈阵的计算步骤为1） 将系统按能控性进行结构分解，确定变换矩阵将系统按能控性进行结构分解，确定变换矩阵1pca2）确定）确定 ，化，化 为约当形式为约当形式2pca3） 利用状态反馈配置利用状态反馈配置 的特征值，计算的特征值，计算1a1k4） 所求镇定系统的反馈阵所求镇定系统的反馈阵1210ppkk 镇定问题镇定问题例例 系统的状态方程为系统的状态方程为u011500020001xx 试用状态反馈来镇定

8、系统。试用状态反馈来镇定系统。解解 矩阵矩阵a 为对角阵，显然系统不能控。不能控的子系统特征值为为对角阵，显然系统不能控。不能控的子系统特征值为-5，因此，系统可以镇定。，因此，系统可以镇定。能控子系统方程为能控子系统方程为uuccccc112001xbxax镇定问题镇定问题引入状态反馈引入状态反馈cvuxk其中其中21kkk为了保证系统是渐近稳定的，设希望极点为为了保证系统是渐近稳定的，设希望极点为222, 1js84)(2*sssk2121221122)3(11200100det)(det)(kkskkskkssssckkbai同次幂系数相等，得同次幂系数相等，得131k202k状态重构和

9、状态观测器状态重构和状态观测器问题的提出：状态反馈可以改善系统性能，但有时不便于检测。问题的提出：状态反馈可以改善系统性能，但有时不便于检测。如何解决这个问题？如何解决这个问题？重构一个系统，用这个系统的状态来实现状态反馈。重构一个系统，用这个系统的状态来实现状态反馈。（24）系统方程为系统方程为)0()(0 xxcxybuaxxt（25）重构一个系统，该系统的各参数与原系统相同重构一个系统，该系统的各参数与原系统相同xcybuxax（24）式减去（）式减去（25）式）式) () (xxcyyxxaxx（26）状态重构和状态观测器状态重构和状态观测器（27）当当 时，时， 也不为零，可以引入信

10、号也不为零，可以引入信号 来校正系统来校正系统（25），它就成为了状态观测器。），它就成为了状态观测器。 xxy-y) (y-ygybuxgcaxxgcbuxayygbuxax)() () (其中，其中， 为为 矩阵矩阵gnn（24）式减去（）式减去（27）式）式) )()(x-xgcagybuxgcabuaxx-x（28）由（由（28）式可知，如果适当选择）式可知，如果适当选择g 矩阵，使矩阵，使(a-gc) 的所有特征值的所有特征值具有负实部，则具有负实部，则式（式（27）系统就是式（）系统就是式（24）系统的状态观测器，）系统的状态观测器， 就是重构的状态。就是重构的状态。0) (lim

11、xxtx 状态重构和状态观测器状态重构和状态观测器定理定理 系统的状态观测器存在的充分必要条件是：系统能观测，或系统的状态观测器存在的充分必要条件是：系统能观测，或者系统虽然不能观测，但是其不能观测的子系统的特征值具有负实者系统虽然不能观测，但是其不能观测的子系统的特征值具有负实部。部。定理定理 线性定常系统线性定常系统 的观测器的观测器 cxybuaxxgybuxgcax)(（30）可任意配置极点的充分必要条件是系统能观测并且能控。可任意配置极点的充分必要条件是系统能观测并且能控。状态重构和状态观测器状态重构和状态观测器例例 系统方程为系统方程为u101200120001xx x011y要求

12、设计系统的状态观测器，其特征值为要求设计系统的状态观测器，其特征值为3、4、5。解解首先判断系统的能观测性首先判断系统的能观测性441121011cq3rankcq系统能观测，可设计观测器。系统能观测，可设计观测器。设：设：210gggg其中其中 ， 待定待定ig)2, 1, 0( i希望特征值对应的特征多项式希望特征值对应的特征多项式604712)5)(4)(3()(23*sssssssg状态重构和状态观测器状态重构和状态观测器)424()834()5(det2102102103gggsgggsggssggcai而状态观测器的特征多项式而状态观测器的特征多项式同次幂系数分别相等，可以得出同次

13、幂系数分别相等，可以得出210103120210gggg几点说明：几点说明：1） 希望的特征值一定要具有负实部，且要比原系统的特征值更希望的特征值一定要具有负实部，且要比原系统的特征值更负。这样重构的状态才可以尽快地趋近原系统状态。负。这样重构的状态才可以尽快地趋近原系统状态。2）状态观测器的特征值与原系统的特征值相比，又不能太负，否）状态观测器的特征值与原系统的特征值相比，又不能太负，否则，抗干扰能力降低。则，抗干扰能力降低。3）选择观测器特征值时，应该考虑到不至于因为参数变化而会有）选择观测器特征值时，应该考虑到不至于因为参数变化而会有较大的变化，从而可能使系统不稳定。较大的变化，从而可能

14、使系统不稳定。降阶观测器降阶观测器1. 降阶观测器的维数降阶观测器的维数定理定理 若系统能观测，且若系统能观测，且rankc = m，则系统的状态观测器的最小，则系统的状态观测器的最小维数是维数是(n-m)。21cccmcrank因为有因为有m 维可以通过观测维可以通过观测 y 得到，因此有得到，因此有(n-m)维需要观测。维需要观测。cxybuaxx对系统方程对系统方程采用变换矩阵采用变换矩阵210ccip进行线性变换，进行线性变换，pxx 1 papapbb 1 cpc降阶观测器降阶观测器（31）得到如下形式的系统方程得到如下形式的系统方程221212122211211210 xxxiyu

15、bbxxaaaaxx可见可见 可以通过可以通过 观测到，需要对观测到，需要对 维的维的 进行估计。进行估计。2xy)(mn1x因此，降阶观测器的维数为因此，降阶观测器的维数为(n-m)降阶观测器降阶观测器2. 降阶观测器存在的条件及其构成降阶观测器存在的条件及其构成将（将（31）式改写成）式改写成ubyaxaubxaxax11211112121111（32）（33）ubyaxayx2221212（34）令令121222xaubyayy 于是有于是有(n-m) 阶的子系统：阶的子系统：121xay u)byaxax1121111(（35）降阶观测器降阶观测器以下构造这个子系统的状态观测器以下构造

16、这个子系统的状态观测器（36）ygyagaubgbxagaygubyaxagax12211221112111111121211111)()()()()(因为子系统能观测，所以，通过选择因为子系统能观测，所以，通过选择 的参数，可以配置的参数，可以配置的特征值。的特征值。1g)(21111aag为了在观测器中不出现微分项，引入以下变换，为了在观测器中不出现微分项，引入以下变换，（37）ygxz11ygxz11ygzx11ygzx11即即降阶观测器降阶观测器（37）式代入（）式代入（36），得），得yagagagaubgbzagaz)()()(2211212111121121111由于由于21xx

17、x故故00limlim111 xxyygzxtt（38）因此，因此， 是是 的估计。的估计。 yygz1x（39）yzygqqxqxpx1211状态图中状态图中)(221121211111agagagag带有状态观测器的状态反馈系统带有状态观测器的状态反馈系统siso线性定常系统线性定常系统cxbaxxyu（40）全阶状态观测器全阶状态观测器yugbxgcax)(（41）状态反馈状态反馈xkvu（42）还有还有vbxbkaxxvbxbkgcagcxx)(cxy带有状态观测器的状态反馈系统带有状态观测器的状态反馈系统写成矩阵形式写成矩阵形式vbbxxbkgcagcbkaxx（43）xxc0y作线

18、性变换作线性变换iiip0iiip01xxxxxxxiiixxp0（44）其中其中 为误差估计为误差估计xxx带有状态观测器的状态反馈系统带有状态观测器的状态反馈系统对（对（43）式进行线性变换，得到如下方程）式进行线性变换，得到如下方程vv00000bxxgcabkbkabbiiixxiiibkgcagcbkaiiixxxxcxxiiic000y（45）)det()det(0detgcasibkasgcasibkbkasii（46）带有状态观测器的状态反馈系统带有状态观测器的状态反馈系统xx bkagcagcabka由上式可见，由上式可见， 的特征值与的特征值与 的特征值可以分别配置，的特征

19、值可以分别配置，互不影响。互不影响。 这种这种 的特征值和的特征值和 特征值可以分别配置，特征值可以分别配置，互不影响的方法，称为分离定理。需要注意：互不影响的方法，称为分离定理。需要注意： 的特征值应该的特征值应该比比 的特征值更负，一般为四倍左右，才能够保证的特征值更负，一般为四倍左右，才能够保证 尽快跟尽快跟上上 ，正常地实现状态反馈。，正常地实现状态反馈。bkagca这时传递函数为这时传递函数为bbkascbgcasibkbkasc11000)(iisgk解耦问题解耦问题cxybuaxx 线性定常系统方程为线性定常系统方程为（51）引入状态反馈引入状态反馈kxfvu其中其中k 为反馈阵

20、，为反馈阵，f为输入变换矩阵。为输入变换矩阵。bfvxbkakxfvbaxx)()(cxy （52）状态反馈系统的传递函数矩阵为状态反馈系统的传递函数矩阵为bfbkaicg1)()(sskf所谓解耦问题，就是寻求适当的所谓解耦问题，就是寻求适当的k 和和f 矩阵使得状态反馈传递函数矩阵使得状态反馈传递函数矩阵矩阵 为对角阵。为对角阵。)(skfg)()()(diag)(2211sgsgsgsmmkfg解耦问题解耦问题 1 关于关于 的两个不变量的两个不变量)(skfg如果如果 为严格正则有理传递函数矩阵，可以表示为如下形式为严格正则有理传递函数矩阵，可以表示为如下形式)(skfg),(),()

21、,()(21fkgfkgfkggsssstmttkf（53）),(fkgsti)(skfg其中，其中， 为为 的第的第 行向量。行向量。i定义定义11,min),()()(2)(1imiiifkd（54）其中，其中， 为为 的第的第k 个元素分母多项式和分子多项个元素分母多项式和分子多项式次数之差，式次数之差，),(fkgsti)(ikmk, 2, 1解耦问题解耦问题),(),(4312111122)(212222fkgfkggssssssssssssttkf例例 传递函数矩阵如下，求不变量传递函数矩阵如下，求不变量id解解对于对于 来说，来说， ， 因此因此),(1fkgst112112021201min),(12111fkd对于对于 来说，来说， ， 因此因此),(2fkgst202212022211min),(22212fkd),(fkgsti约定：对于约定：对于 为零向量时，为零向量时，nfkdi),(解耦问题解耦问题定义定义2（55）),(lim),(1fkgfkssrtidttii 这是一个这是一个m 维非零向量。它是这样构造的：对于维非零向量。它是这样构造的：对于1m 的行向的行向量量 ，各元素分子多项式中最高次幂的系数。，各元素分子多项式中最高次幂的系数。),(fkgsti上例中上例中110122),(221ssssssstfkg01),(1