线性方程组的通解

1、第六讲第六讲 线性方程组的通解线性方程组的通解一、非齐次线性方程组的通解一、非齐次线性方程组的通解二、齐次线性方程组的通解二、齐次线性方程组的通解 对于方程组（其中有对于方程组（其中有n个未知数，个未知数，m个方程）个方程）mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(1)或用矩阵方程或用矩阵方程, ,方程组方程组(1)(1)表示为表示为: :bax 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 axb 有解的判断与求解步骤：有解的判断与求解步骤：(1)(1)对于非齐次线性方程组对于非齐次线性方程组 把它的增广矩阵把它的增广矩阵b=(a, b)化成

2、行阶梯形化成行阶梯形 从从b的行阶梯形可同时看出的行阶梯形可同时看出r( (a) )和和r( (b) ) 若若r( (a) ) r( (b) ) 则方程组无解则方程组无解 一、非齐次线性方程组的通解一、非齐次线性方程组的通解(2)(2)若若r( (a) ) r( (b) ) 则进一步把则进一步把b化成行最简形化成行最简形 而对于齐次线性方程组而对于齐次线性方程组 则把系数矩阵则把系数矩阵a化成行化成行最简形最简形 (3)(3)设设r(a) r(b) r 把行最简形中把行最简形中 r 个非零个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数知数 其余其余n r

3、个未知数取作自由未知数个未知数取作自由未知数 并并令自由未知数分别等于令自由未知数分别等于c c1 1 c c2 2 c cn r 由由b的行最简形的行最简形 即可写出含即可写出含n r个参数的通解个参数的通解 例例1.1. 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增广矩阵b进行初等行变换，进行初等行变换， 322122351311321b131223rrrr 23rr 104501045011321, 3)(, 2)( brar显显然然，故方程组无解故方程组无解 200001045011321

4、例例2 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵对增广矩阵b进行初等变换进行初等变换 2132111311101111br rr r21311111000241001212rr2211011 200121 200241 , 2 brar由由于于故方程组有解，且有故方程组有解，且有 2122143421xxxxx 42442342242102120021xxxxxxxxxxxxrrrr2131111100024100121 2.rr32211011 200121 200000.02102112000011214

5、321 ccxxxx所以方程组的通解为所以方程组的通解为 .,21为为任任意意实实数数其其中中cc12312313251352223xxxxxxxx 有有解解为为何何值值时时，线线性性方方程程， 并并求求例例 . .组组一一般般解解。解：解：12513152202b 125101210482 2 时时方方程程组组有有解解。1251051050482 125101210002 131223rrrr 251r234rr 1251 01210000b 101101210000 ( c为为任任意意实实数数）1323112xxxx 212rr 333231121xxxxxx123112110 xxcx

6、所以方程组的通解为所以方程组的通解为对于方程组（其中有对于方程组（其中有n个未知数，个未知数，m个方程）个方程）nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xaxaxax111122121122221122000(2)或用矩阵方程方程组或用矩阵方程方程组(1)(1)表示为表示为: :ax 0齐次线性方程组齐次线性方程组 ax0 有非零解的判断与求解步骤：有非零解的判断与求解步骤：(1)(1)对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组 把它的系数矩阵把它的系数矩阵a 化成行阶化成行阶梯形梯形 从从a的行阶梯形可同时看出的行阶梯形可同时看出r( (a) ) 若若r( (a) ) n , 则齐次线

7、性方程组只有零解则齐次线性方程组只有零解 二、齐次线性方程组的通解二、齐次线性方程组的通解(2)(2)若若r( (a) ) n 则进一步把则进一步把a化成行最简形化成行最简形 (3)(3)设设r(a) r 把行最简形中把行最简形中 r 个非零行的首个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数非零元所对应的未知数取作非自由未知数 其其余余n r个未知数取作自由未知数个未知数取作自由未知数 并令自由未并令自由未知数分别等于知数分别等于c c1 1 c c2 2 c cn r 由由a的行最简的行最简形形 即可写出含即可写出含n r个参数的通解个参数的通解 .xxxxxxxxxxxx1234123412342202220430解解： 341122121221a 463046301221施行初等行变换：施行初等行变换：对系数矩阵对系数矩阵 a13122rrrr 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组例例4.4. 0000342101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组 , 0342, 0352432431xxxxxx 463046301221 ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxx