四点共圆基本判断方法超全

1、 key. 四点共圆的证明五个基本判断方法： 1. 若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。 2. 若一个四边形的一组对角互补（和为180），则这个四边形的四个点共圆。 3. 若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。 4. 若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。 5. 同斜边的直角三角形的顶点共圆。 1.若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆 。 如图，菱形abcd的对角线ac和bd相交于o点，e，f，g，h分别是ab，bc，cd，da的中点，求证：e，f，g，h四个点在以o为圆心的同一个圆上 分析指

2、导：利用直角三角形斜边的中点等于斜边的一半，再利用菱形的四边相等即可证出。2.若一个四边形的一组对角互补（和为180），则这个四边形的四个点共圆 若a+c=180或b+d=180，则点a、b、c、d四点共圆已知：四边形abcd中，a+c=180求证：四边形abcd内接于一个圆（a，b，c，d四点共圆 证明：用反证法 过a，b，d作圆o，假设c不在圆o上，则c在圆外或圆内，若c在圆外，设bc交圆o于c，连结dc，根据圆内接四边形的性质得a+dcb=180，a+c=180dcb=c 这与三角形外角定理矛盾，故c不可能在圆外。类似地可证c不可能在圆内。 c在圆o上，也即a，b，c，d四点共圆。3.若

3、一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。若b=cde，则a、b、c、d四点共圆证法同上例 如图 所示，已知四边形 abcd 是平行四边形，过 点 a 和点 b 的圆与 ad、bc 分别交于 e、f 点。求证: c、d、e、 f 四点共圆。 分析: 欲证 c、d、e、f 四点共圆，可证以该四点构成的四 边形中，一组对角互补或外角等于内对角即可。 由此，连接 ef 构成四边形 efcd 后，证明bfe = d 即可。 证明: 连接 ef， 四边形 abfe 是圆内接四边形， a + bfe = 180。 又 四边形 abcd 是平行四边形， a + d = 180。 bfe =

4、d。 c、d、e、f 四点共圆4.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。 若a=d或abd=acd，则a、b、c、d四点共圆用反证法：已知：同侧abc和cbd，共有底边cb，a=d，求证：a、b、c、d四点共圆证明： 假设四点不在同一圆上，作abc外接圆，则d点不在圆上， 因二角共用ab弧，则ad，与实际不符，所以只有d点在abc外接圆上，故a、b、c、d四点共圆。5.同斜边的直角三角形的顶点共圆如图如图1，四边形，四边形abcd中，中，a=c=90，求证：，求证：a、b、c、d四点共圆四点共圆.如图如图2，a=c=90，求证：，求证：a、b、c、d四点共圆四点共圆. 分析指导：可以直接根据圆的定义证明分析指导：可以直接根据圆的定义证明a、b、c、d四点到四点到某一定点的距离相等某一定点的距离