大学课件高等数学下册977

1、第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 第七节第七节 场论初步场论初步一、 场论知识简介 一、场概念一、场概念 1、定义、定义：场是发生物理现象的空间部分。像我们熟悉的重力场场是发生物理现象的空间部分。像我们熟悉的重力场、将要讨论的电磁场等。单纯从数学上看，所谓的场是指某一类函、将要讨论的电磁场等。单纯从数学上看，所谓的场是指某一类函数量或向量在空间中的分布。数量或向量在空间中的分布。2、分类分类: 可分为向量场和数量场。可分为向量场和数量场。数量场：数量场：反映场性质的量只有大小上的不同，没反映场性质的量只有大小上的不同，没 有方向上的有方向上的差异。具体地说，如果对空间区域差异

2、。具体地说，如果对空间区域 而言，而言， 中的每一点中的每一点 都有唯一确定的数量函数都有唯一确定的数量函数 则称则称 是是 上的一个数量场。上的一个数量场。),(zyxm),()(zyxfmfu),()(zyxfmfu向量场：向量场：反映场性质的量既有大小上的不同，又反映场性质的量既有大小上的不同，又 有有方向上的差异。具体地说，如果对空间区域方向上的差异。具体地说，如果对空间区域 而而言，言， 中的每一点中的每一点 都有唯一确定的向都有唯一确定的向量函数量函数 则称则称 是是 上的一个向量场。上的一个向量场。),(zyxmkmrjmqimpmfa)()()()()(mfa 定义定义 设函数

3、设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 d 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点dyxp ),(，都可定出一个向量都可定出一个向量jyfixf ，这向量称为函数，这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(yxp的梯度，记为的梯度，记为 ),(yxgradfjyfixf .二、数量场的等值面与梯度 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为而它的模为方向导数的最大值梯度的模为方向导数的最大值梯度的模为 22| ),(| yfxfyxgradf.结论结论

4、三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 g 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点gzyxp ),(，都可定义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数三、向量场的通量与散度设设有有向向量量场场kzyxrjzyxqizyxpzyxa),(),(),(),( 沿沿场场中中某某一一有有向向曲曲面面的的第第二二类类曲曲面面积积分分为为1. 1. 通量的定义通量的定义: : rdxdyqdzdxpdydzdsnasda0称称为为向向量量场场),(zyxa向向正正侧

5、侧穿穿过过曲曲面面的的通通量量. .极限极限vsdamv lim存在存在, ,则则称称此此极极限限值值为为a在在点点m处处的的散散度度, , 记记为为adiv. .2. 2. 散度的定义散度的定义: :散度的计算公式：散度的计算公式：zryqxpadiv 四、向量场的环流量与旋度.),(),(),(),(按所取方向的环流量按所取方向的环流量沿曲线沿曲线称为向量场称为向量场上的曲线积分上的曲线积分中某一封闭的有向曲线中某一封闭的有向曲线则沿场则沿场设向量场设向量场cardzqdypdxsdacakzyxrjzyxqizyxpzyxacc 1. 1. 环流量的定义环流量的定义: :dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyrrdzqdypdxc)()()(环流量利用利用stokesstokes公式公式, , 有有2. 2.