大学课件高等数学下册72

1、第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学第二节第二节 偏导数偏导数 一、偏导数的定义及其计算法同理可定义同理可定义函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfx

2、x ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 1.由偏导数定义知由偏导数定义知, 所谓所谓 f (x, y) 对对x 的偏的偏导数导数, 就是将就是将 y 看作常数看作常数, 将将 f (x, y) 看作一元看作一元函数来定义的函数来定义的. 注注因此因此,在实际计算时在实际计算时, 求求 f x (x, y)时时, 只须将只须将 y 看作常数看作常数,用一元函数求导公式求即可用一元函数求导公式求即可.求求 f y (x, y)时时, 只须将只须将 x 看作常数看作常数,用一元用一元函数求导公式求即可函数求导公式

3、求即可.2. f x (x0, y0) 就是就是 f x (x, y), 在点在点(x0, y0)的值的值. 算算 f x (x0, y0) 可用可用3种方法种方法.f y (x0, y0)f y (x, y)f y (x0, y0)(1) 用定义算用定义算.(2) 先算先算 f x (x, y), 再算再算 f x (x0, y0) f y (x, y),f y (x0, y0).(3)先算先算 f (x, y0), 再算再算 f x (x, y0) f x (x0, y0) f (x0, y), f y (x0, y),f y (x0, y0).解解 把把 看作常量，对看作常量，对 求导数

4、求导数,得得 yxxzsin2yxyx 把把 看作常量，对看作常量，对 求导数求导数,得得 yxyzcos2解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0

5、( y00 yxyz不存在不存在例例 4 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程rtpv （r为常数） ，求证：为常数） ，求证：1 pttvvp.证证 vrtp;2vrtvp prtv;prtv rpvt;rvpt pttvvp2vrt pr rv . 1 pvrt 偏导数偏导数xu 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：.求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0

6、).0 , 0(yf . 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，两个偏导数都存在的二元函数未必连续两个偏导数都存在的二元函数未必连续偏导与连续的关系：偏导与连续的关系：4. 偏导数的几何意义偏导数的几何意义.),(tan),(,(),(.),(),(),(,),(),(

7、,(00000000000000000轴轴正正向向的的夹夹角角是是切切线线与与其其中中轴轴的的斜斜率率（如如图图），即即关关于于处处的的切切线线就就是是这这条条曲曲线线在在点点意意义义可可知知，偏偏导导数数由由一一元元函函数数导导数数的的几几何何相相交交的的一一条条曲曲线线与与平平面面表表示示曲曲面面，则则看看作作常常数数中中的的若若把把上上一一点点为为曲曲面面设设xyxfxyxfyxmyxfyyyxfzyyyxfzyyyyxfzyxfzyxfyxmxx yxzoz = f (x, y)m0即即 f x (x0, y0) 表示表示 y = y0 与与 z = f (x, y)的交线的交线在在

8、m0处的处的切线对切线对 x 的斜率的斜率.t1 1 : z = f (x, y0) 1y0 x0.),(tan),(,(),(.),(),(),(000000000000轴轴正正向向的的夹夹角角是是切切线线与与其其中中轴轴的的斜斜率率（如如图图），即即关关于于处处的的切切线线就就是是这这条条曲曲线线在在点点意意义义可可知知，偏偏导导数数由由一一元元函函数数导导数数的的几几何何相相交交的的一一条条曲曲线线与与平平面面表表示示曲曲面面，则则看看作作常常数数中中的的同同理理，若若把把yyxfyyxfyxmyxfxxyxfzxxyxfzxxxyxfzyy yxzoz = f (x, y)m0 2 2

9、 : z = f (x0 , y)类似得类似得 f y (x0, y0)的几何意义的几何意义. 如图如图即即 f y (x0, y0) 表示表示 x = x0 与与 z = f (x, y)的的交线交线在在 m0处的切线对处的切线对 y 的斜率的斜率.x0t2 从几何上看从几何上看, f x (x0, y0)存在存在. 只保证了一只保证了一元函数元函数 f (x, y0)在在 x0 连续连续.也即也即 y = y0 与与 z = f (x, y)的截线的截线 1 在在 m0= (x0, y0 , z0)是连续的是连续的.同理同理, f y (x0, y0)存在存在. 只保证了只保证了x = x

10、0 与与 z = f (x, y)的截线的截线 2 在在 m0连续连续.而曲面而曲面 z = f (x, y)在在 m0连续，是指连续，是指换句话说换句话说, 当当 (x,y) 从任何方向从任何方向, 沿任何曲线沿任何曲线趋于趋于(x0， y0 )时时, f (x,y)的极限都是的极限都是 f (x0， y0 ). 显然显然, 上边两个条件都不能保证它成立上边两个条件都不能保证它成立.),(),(lim0000yxfyxfyyxx ),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶

11、偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.二、高阶偏导数例例 5设设13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx例例 6 6 设设byeuaxcos ，求求二二阶阶偏偏导导数数.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax

12、,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 d d 内连续，那末在该区域内这内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？. 02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极