新课标高中一轮总复习理数_第64讲空间向量在立体几何中的应用

1、1.了解直线的方向向量与平面的法向了解直线的方向向量与平面的法向量的概念；能用向量语言表达线线、线量的概念；能用向量语言表达线线、线面、面面的垂直与平行关系；能用向量面、面面的垂直与平行关系；能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定方法证明有关线、面位置关系的一些定理理(包括三垂线定理包括三垂线定理).2.能用向量法求空间角、空间距离，能用向量法求空间角、空间距离，体会向量法在研究立体几何中的工具性体会向量法在研究立体几何中的工具性作用作用.1.已知直线已知直线a的方向向量为的方向向量为a，平面，平面的法向的法向量为量为n，下列结论成立的是，下列结论成立的是( )ca.若若an,则则a b.

2、若若an=0,则则ac.若若an,则则a d.若若an=0,则则a 由方向向量和平面法向量的定义由方向向量和平面法向量的定义可知应选可知应选c.对于选项对于选项d，直线，直线a平面平面也满足也满足an=0. 2.已知已知、是两个不重合的平面，其方向向量是两个不重合的平面，其方向向量分别为分别为n1、n2,给出下列结论：给出下列结论： 若若n1n2,则则;若若n1n2,则则, 若若n1n2=0,则则;若若n1n2=0,则则. 其中正确的是其中正确的是( )aa. b.c. d.3.在二面角在二面角-l-中，平面中，平面的法向量为的法向量为n，平，平面面的法向量为的法向量为m.若若n,m=130，

3、则二，则二面角面角-l-的大小为的大小为( )ca.50 b.130c.50或或130 d.可能与可能与130毫无关系毫无关系 因二面角的范围是因二面角的范围是0,180，由法向量的夹角与二面角的平面角相等或由法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补可知，二面角的大小可能是互补可知，二面角的大小可能是130也也可能是可能是50.有时可从实际图形中去观察有时可从实际图形中去观察出是钝角或锐角出是钝角或锐角.4.若直线若直线l的方向向量与平面的方向向量与平面的法向量的的法向量的夹角等于夹角等于120，则直线，则直线l与平面与平面所成所成的角等于的角等于 .30 由题设，由题设，l与与所成的角所成的角

4、=90-(180-120)=30.5.已知三棱锥已知三棱锥p-abc各顶点的坐标分别是各顶点的坐标分别是p(-1,0,0)，a（0，1，0），），b（-4，0，0），），c（0，0，2），则该三棱锥底面），则该三棱锥底面abc上的高上的高h= .217 由已知由已知, =(-1,-1,0), =(-4,-1,0), =(0,-1,2).设平面设平面abc的法向量的法向量n=(x,y,z), n =-4x-y=0 y=-4x n =-y+2z=0， y=2z，取取x=-1，得，得n=(-1,4,2).则则h= = = .ap ab ac得得则则ab ac|n apn 2221 ( 1)( 1)4

5、0 2|(1 )42 3212171.法向量的有关概念及求法法向量的有关概念及求法如果一个向量所在直线垂直于平面，则该如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向量是平面的一个法向量向量是平面的一个法向量.法向量的求法步骤：法向量的求法步骤：(1)设：设出平面法向量的坐标设：设出平面法向量的坐标n=(x,y,z)；(2)列：根据列：根据na=0且且nb=0可列出方程；可列出方程；(3)解：把解：把z看作常数，用看作常数，用z表示表示x,y；(4)取：取取：取z为任意一个正数为任意一个正数(当然取得越特当然取得越特殊越好殊越好)，便得平面法向量，便得平面法向量n的坐标的坐标. 2.立体几何中的向量方法

6、立体几何中的向量方法 (1)线线关系：若不重合的两直线线线关系：若不重合的两直线ab、cd的方向向量分别为的方向向量分别为 、 . 一般关系：设直线一般关系：设直线ab与与cd所成的角为所成的角为 (0, )，则，则cos=|cos , | = . 特殊关系特殊关系:()abcd (用于证明线线垂直用于证明线线垂直); ()abcd 存在实数存在实数,使使 (用于证明线线平行用于证明线线平行).ab cd 2ab cd |ab cdab cd ab cd =0ab cd ab cd = ab cd (2)线面关系：若平面线面关系：若平面外的直线外的直线ab的方的方向向量为向向量为 ，平面，平面

7、的法向量为的法向量为n. 一般关系一般关系:设直线设直线ab与平面与平面所成的角所成的角为为(0, )，则有，则有sin=|cos ,n| = . 特殊关系：特殊关系：()ab n存在实存在实数数，使，使 =n(用于证明线面垂直用于证明线面垂直)； ()ab n n=0(用于证明线用于证明线面平行面平行).ab 2ab | |ab nabn ab ab ab ab (3)面面关系：若平面面面关系：若平面的法向量为的法向量为n，平，平面面的法向量为的法向量为m. 一般关系一般关系:设以设以,为面的二面角为为面的二面角为(0,),则则与与n,m . 当二面角为锐当二面角为锐(直直)二面角时，二面角

8、时，cos=|cosn,m|= . 当二面角为钝二面角时当二面角为钝二面角时,cos= . 特殊关系特殊关系:()nm . (用于证明面面垂直用于证明面面垂直)；相等或互补相等或互补|n mn m |n mn m nm=0 ()nm存在实数存在实数，使，使 (用于证明面面平行用于证明面面平行). (4)点到平面的距离：若点到平面的距离：若ab是平面是平面外外的一条线段，的一条线段，b是是ab与平面与平面的交点，平的交点，平面面的法向量为的法向量为n. 设点设点a到平面到平面的距离为的距离为d,则则d等于等于 在在n上的射影的绝对值上的射影的绝对值. 即即d=| |cos ,n|= .n=mab

9、 ab ab |ab nn (5)异面直线间的距离：若异面直线异面直线间的距离：若异面直线ab、cd的方向向量分别为的方向向量分别为 、 ，n ，n ，又，又mab，pcd，则异面直线，则异面直线ab、cd间的距离间的距离d= .cd ab |mp nn ab cd 1111例例1 如图，已知直三棱柱如图，已知直三棱柱abc-a1b1c1中，中，abc为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，bac=90，且且ab=aa1，d、e、f分别为分别为b1a、c1c、bc的中点的中点. (1)求证求证:de平面平面abc； (2)求证求证:b1f平面平面aef. 如图所示，分别以如图所示，分别以ab、ac

10、、aa1所在所在直线为直线为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系.令令ab=aa1=4，则，则a(0,0,0),e(0,4,2),f(2,2,0), b(4,0,0),b1(4,0,4),c(0,4,0),d(2,0,2),a1(0,0,4). (1)可得可得 =(-2,4,0). 又平面又平面abc的法向量的法向量 为为 =(0,0,4). 因为因为 =-20+ 40+04=0， 所以所以de平面平面abc.de1aade1aa(2) =(-2,2,-4), =(2,-2,-2), =(2,2,0)，b1f =(-2)2+2(-2)+(-4)(-2)=0，则则 ，所

11、以，所以b1fef， =(-2)2+22+(-4)0=0，则则 ，所以，所以b1faf.又因为又因为efaf=f，所，所b1f平面平面aef.1b f ef af ef 1b f ef 1b f af 1b f af 线面和面面平行或垂直关系的论证应用线面和面面平行或垂直关系的论证应用空间向量法时既可以选择基向量，将问题涉空间向量法时既可以选择基向量，将问题涉及的线面对应的向量用基向量表示，然后通及的线面对应的向量用基向量表示，然后通过向量平行或垂直的判定实现问题论证，也过向量平行或垂直的判定实现问题论证，也可以通过建立空间直角坐标系，利用坐标运可以通过建立空间直角坐标系，利用坐标运算判定线面

12、平行或垂直算判定线面平行或垂直. 正方体正方体abcd-a1b1c1d1中，中，e、f分分别是别是bb1、cd的中点的中点. (1)证明证明:平面平面aed平面平面a1fd1; (2)在在ae上求一点上求一点m,使得使得a1m平面平面dae. (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标证明：建立如图所示的空间直角坐标系系d-xyz,不妨设正方体的棱长为不妨设正方体的棱长为2,则则d(0,0,0),a(2,0,0),e(2,2,1),f(0,1,0),a1(2,0,2),d1(0,0,2).设平面设平面aed的法向量为的法向量为n1=(x1,y1,z1), n1 =(x1,y1,z1)(2,0,0)

13、=0 n1 =(x1,y1,z1)(2,2,1)=0,所以所以2x1=0,2x1+2y1+z1=0.令令y1=1,得得n1=(0,1,-2).则则da de同理可得平面同理可得平面a1fd1的法向量的法向量n2=(0,2,1).因为因为n1n20，所以平面，所以平面aed平面平面a1fd1.(2)由于点由于点m在直线在直线ae上，上，所以可设所以可设 = =(0,2,1)=(0,2,)，可得可得m(2,2,),于是于是 =(0,2,-2).要使要使a1m平面平面dae,又因为又因为a1mad,所以只需所以只需a1mae,所以所以 =(0,2,-2)(0,2,1)5-2=0,得得= .故当故当a

14、m= ae时，时，a1m平面平面dae.am ae 1am1amae 2525 本题是通过证明两个平面的法向本题是通过证明两个平面的法向量垂直来证明两个平面垂直的，显然比量垂直来证明两个平面垂直的，显然比用传统的几何方法证明垂直关系要简单用传统的几何方法证明垂直关系要简单得多得多.类似地，若要证明两个平面平行，类似地，若要证明两个平面平行，则可以通过证明两个平面的法向量是平则可以通过证明两个平面的法向量是平行向量来证明行向量来证明.例例2 单位正方体单位正方体abcd-a1b1c1d1中，中，m、n分别是分别是bc、c1d1的中点的中点.(1)求证：求证：mn平面平面b1d1db；(2)求直线

15、求直线mn与平面与平面c1bd所成角的余弦值所成角的余弦值;(3)求点求点m到平面到平面c1bd的距离；的距离；(4)求二面角求二面角a-bc1-d的平面角的余弦值的平面角的余弦值. 正方体是一个非常适合建立空间直正方体是一个非常适合建立空间直角坐标系的几何体，问题都可以用空间向角坐标系的几何体，问题都可以用空间向量的坐标计算解决量的坐标计算解决.问题问题(1)，可利用方向向，可利用方向向量与平面法向量垂直来证明；量与平面法向量垂直来证明；(2)(3)(4)中中都与平面都与平面c1bd的法向量有关，故先求平面的法向量有关，故先求平面c1bd的法向量的法向量. (1)证明：以证明：以d为坐标原点

16、建立空间直角为坐标原点建立空间直角坐标系，如图坐标系，如图.则则m( ,1,0),n(0, ,1)，a1(1,0,1),c1(0,1,1),c(0,1,0),b(1,1,0),b1(1,1,1),所以所以 =(- ,- ,1).在正方体中，易知有在正方体中，易知有a1c1平面平面b1d1db，故故 =(-1,1,0)是平面是平面b1d1db的一个法向量的一个法向量.又又 =(-1,1,0)(- ,- ,1)=0,所以所以 .显然显然mn平面平面b1d1db,故故mn平面平面b1d1db.1212mn 121211ac11acmn 121211acmn (2)设平面设平面c1bd的法向量为的法向

17、量为n=(x,y,z), =(1,1,0), =(-1,0,1). n =0 x+y=0 n =0 -x+z=0.令令x=1，则，则n=(1,-1,1).设设mn与平面与平面c1bd所成的角为所成的角为，则则sin=|cos ，n|= = = ,故故cos= .所以直线所以直线mn与平面与平面c1bd所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .db 1bc 则则,即即db mn | |mn nmnn | 0.50.5 1|632 237373(3)dm是平面是平面c1bd的一条斜线段的一条斜线段,平面平面c1bd的法向量为的法向量为n=(1,-1,1).设设m到平面到平面c1bd的距离为的距离为d，则

18、则d=| |cos ,n|= = ，所以点所以点m到平面到平面c1bd的距离为的距离为 .dm |dm nn dm 1|10|23 3636(4)平面平面c1bd的法向量为的法向量为n=(1,-1,1).由正方体的性质，易知平面由正方体的性质，易知平面abc1d1的一个的一个法向量为法向量为 =(-1,0,-1).设二面角设二面角a-bc1-d的平面角为的平面角为，由图形易，由图形易知，知，为锐角为锐角.而而cos=|cosn, |= = = ，故二面角故二面角a-bc1-d的平面角的余弦值为的平面角的余弦值为 .1bc1bc11| |n bcnbc | 1 1|32 6363 立体几何中空间

19、角、空间距离的计立体几何中空间角、空间距离的计算往往技巧性较强，思路易受阻，可借助算往往技巧性较强，思路易受阻，可借助向量的运算，特别是坐标运算的功能，极向量的运算，特别是坐标运算的功能，极大地减少了逻辑论证的思维量，取而代之大地减少了逻辑论证的思维量，取而代之的是向量带来的运算量的是向量带来的运算量.用向量的方法解决用向量的方法解决此类问题的要点有：建系后，写有关点此类问题的要点有：建系后，写有关点或向量的坐标时要仔细；要明确空间角、或向量的坐标时要仔细；要明确空间角、空间距离的向量描述方式；要熟悉本例空间距离的向量描述方式；要熟悉本例中求平面的法向量的方法中求平面的法向量的方法. 如图，平

20、面如图，平面abef平面平面abcd,四边形四边形a b e f 与与 a b c d 都 是 直 角 梯 形 ，都 是 直 角 梯 形 ，bad=fab=90，bc ad,be af. (1)证明：证明：c、d、f、e四点共面；四点共面； (2)设设ab=bc=be，求二面角，求二面角 a-ed-b的大小的余弦值的大小的余弦值.1212 (方法一方法一)（1）证明：延长证明：延长dc交交ab的延长线于点的延长线于点g.由由bc ad,得得 = = = .延长延长fe交交ab的延长线于点的延长线于点g.同理可得同理可得 = = = ,故故 = ,即即g与与g重合重合,因此直线因此直线cd、ef

21、相交于相交于g,所以所以c、d、e、f四点共面四点共面.12gbgagcgdbcad12g eg f g bg a beaf12g bg a gbga(2)设设ab=1,则则bc=be=1,ad=2.取取ae的中点的中点m，则，则bmae.又由已知得又由已知得ad平面平面abef,故故adbm,因为因为bm与平面与平面ade内两相交直线内两相交直线ad、ae都垂直都垂直,所以所以bm平面平面ade.作作mnde,垂足为垂足为n,连接连接bn.由三垂线定理知由三垂线定理知bned,bnm为二面角为二面角a-ed-b的平面角的平面角.因为因为bm= ,mn= = ,故故tanbnm= = .所以二

22、面角所以二面角a-de-b的大小的余弦值为的大小的余弦值为 .2212ad aede 33bmmn62105(方法二方法二)（1）证明证明:由题意，以由题意，以a为坐标原点，为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系建立如图所示空间直角坐标系a-xyz.设设ab=a,bc=b,be=c,则则b(a,0,0),c(a,b,0),e(a,0,c),d(0,2b,0),f(0,0,2c), =(0,b,-c), =(0,2b,-2c).故故 = ,从而由从而由e fd,得得ecfd,故故c、d、f、e四点共面四点共面.ec fd ec fd 12 (2)由题可设由题可设ab=1,则则bc=be=1,a(

23、0,0,0),所以所以b(1,0,0),c(1,1,0),d(0,2,0),e(1,0,1),所以所以 =(0,2,0), =(1,0,1), =(-1,2,0), =(0,0,1).设平面设平面ade与平面与平面bde的法向量分别为的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2), n1 =2y1=0 y1=0 n1 =x1+z1=0 x1=-z1所以所以n1=(-1,0,1).adae bd be 则则adae ,解得解得,取取z1=1,同理，同理，n2=(2,1,0).所以所以cos= = =- ,所以二面角所以二面角a-de-b的大小的余弦值为的大小的余弦值为 .1

24、212|n nnn 225 105105 如图，在四棱锥如图，在四棱锥p-abcd中，中，pa底面底面a b c d , d a b 为 直 角为 直 角 , a b c d ，ad=cd=2ab，e、f分别为分别为pc、cd的中点的中点. (1)求证：求证：cd平面平面bef； (2)设设pa=kab,且二面角且二面角 e-bd-c的平面角大于的平面角大于30, 求求k的取值范围的取值范围. 已知三条棱两两互相垂直，故可考已知三条棱两两互相垂直，故可考虑建立空间直角坐标系，用向量法求解虑建立空间直角坐标系，用向量法求解. (1)证明：如下图，以证明：如下图，以a为原点，为原点，ab所所在直线

25、为在直线为x轴，轴，ad所在直线为所在直线为y轴，轴，ap所在所在直线为直线为z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系,设设ab=a，则，则易知点易知点a,b,c,d,f的坐标分别为的坐标分别为a(0，0，0)，b(a,0,0),c(2a,2a,0), d(0,2a,0),f(a,2a,0),从而从而 =(2a,0,0), =(0,2a,0),所以所以 =0,故故 .设设pa=b,则则p(0，0，b),而而e为为pc的中点，的中点，故故e(a,a, )，从而，从而 =(0,a, ).所以所以 =0,故故 .由此得由此得cd平面平面bef.dcbf dcbf dcbf 2bbe 2bdcbe

26、dcbe (2)设设e在在xay平面上的投影为平面上的投影为g.过过g作作ghbd,垂足为垂足为h.由三垂线定理知由三垂线定理知ehbd.从而从而ehg为二面角为二面角e-bd-c的平面角的平面角.由由pa=kab，得，得p(0,0,ka),e(a,a, ),g(a,a,0).设设h(x,y,0),则则 =(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0).由由 =0,得得-a(x-a)+2a(y-a)=0，即即x-2y=-a. 2kaghbd ghbd 又因为又因为 =(x-a,y,0),且且 与与 的方向相同的方向相同,故故 = ,即即2x+y=2a. 由解得由解得x= a，y= a.从而从而

27、 =(- a,- a,0),| |= a,tanehg= = = .由由k0知知ehg是锐角是锐角.由由ehg30,得得tanehgtan30，即，即 ,解得解得k .故故k的取值范围为的取值范围为( ,+).ghbd bhbhxaa 2ya453515gh5535|ehgh255kaa52k52k332 15152 1515 此题的关键是通过向量的运算，把此题的关键是通过向量的运算，把二面角的平面角用二面角的平面角用k表示出来，利用三角表示出来，利用三角不等式求不等式求k的取值范围的取值范围.1.熟练掌握空间向量的运算、性质及基熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量问题的基础，

28、特别是本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量分共线向量定理、共面向量定理、空间向量分解定理、数量积的性质等解定理、数量积的性质等.2.利用向量解立体几何题的一般方法：利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题去解决问题.向量法是将立体几何问题转化向量法是将立体几何问题转化为代数问题，若能恰当选取基底或建立空间为代数问题，若能恰当选取基底或建立空间直角坐标系，会使运算更简捷直角坐标系，会使运算更简捷.3.利用坐

29、标运算解决立体几何问题，降利用坐标运算解决立体几何问题，降低了推理难度，可以避开一些较复杂的线低了推理难度，可以避开一些较复杂的线面关系面关系.但较复杂的代数运算也容易导致出但较复杂的代数运算也容易导致出错，因此，在解决问题时，可以灵活地选错，因此，在解决问题时，可以灵活地选用解题方法，不要生搬硬套用解题方法，不要生搬硬套.4.用空间向量解决立体几何中的平行或用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；解决两点共线问题一般用向量共线定理；解决两点间的距离或某一线段的长度，一般用向量间的距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；求异面直线的夹角，一般可的模来解决；求异面直线的夹

30、角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应注意转化；解决垂直的范围不同，最后应注意转化；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零问题一般可转化为向量的数量积为零.学例1 (2008江苏卷江苏卷)如图，设动点如图，设动点p在棱长为的正方体在棱长为的正方体abcd-a1b1c1d1的对角线的对角线bd1上，记上，记 =.当当apc为为钝角时，求钝角时，求的取值范围的取值范围.11d pd b 由题设可知，以由题设可知，以 、 、 为单位正为单位正交基底交基底,建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系d-xyz,则有则有a(1

31、,0,0),b(1,1,0),c(0,1,0),d1(0,0,1).由由 =(1,1,-1),得得 = =(,-),所以所以 = + =(,-,)+(1,0,-1)=(1-,-,-1), = + =(-,-,)+(0,1,-1) =(-,1-,-1).da dc1dd 1d b 1d p 1d b pa 1pd 1d a pc 1pd 1dc 显然显然apc不是平角，所以不是平角，所以apc为钝角为钝角,等价于等价于cosapc=cos = 0,这等价于这等价于 0,即即(1-)(-)+(-)(1-)+(-1)2=(-1)(3-1)0, 1.因此，因此，的取值范围为的取值范围为( ,1).pa

32、 pc | |pa pcpapc pa pc 1313 (2009天津卷天津卷)如图，在五面体如图，在五面体abcdef中中,fa平面平面abcd,adbcfe， abad,m为为ec的中点，的中点，af=ab=bc=fe= ad (1)求异面直线求异面直线bf与与de所成的角的大小；所成的角的大小； (2)证明平面证明平面amd平面平面cde； (3)求二面角求二面角a-cd-e的余弦值的余弦值.学例212 (方法一）方法一）(1)由题设知，由题设知，bfce，所，所以以ced（或其补角）为异面直线（或其补角）为异面直线bf与与de所成的角所成的角.设设p为为ad的中点，连接的中点，连接ep，pc.因因为为fe ap，所以，所以fa ep，同理，同理，ab pc.又又fa平面平面abcd，所以