类比推理在数列中的应用

1、从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子霉事却使他发明了锯子. 由两类对象具有某些类似特征，和由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为一类对象也具有这些特征的推理称为类类比推理比推理（简称（简称类比类比）简言之，）简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理是由特殊到特殊的推理观察、比较观

2、察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论问题问题1：请根据等差、等比数列的定义，通过类比：请根据等差、等比数列的定义，通过类比 得出得出等和数列等和数列的定义的定义.在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做个常数，那么这个数列叫做等和数列等和数列，这个常数叫做该数列的这个常数叫做该数列的公和公和.练习练习:已知数列是等和数列，且 ，公和为5，那么 的值为 . 21a18a问题问题2：有一位同学发现：若：有一位同学发现：若 为等差数列，为等差数列， 则则 也成等差数列也成等差数列.由此经过类比，由此经过类比，

3、 在等比数列在等比数列 中你能得出什么结论？中你能得出什么结论？ na1nnaa nb若 为等比数列，则 也为等比数列. nbnnbb1问题：由等差数列的性质类比推导等比数列的性质，问题：由等差数列的性质类比推导等比数列的性质，那么等差数列和等比数列之间有什么样的联系呢？那么等差数列和等比数列之间有什么样的联系呢？ 等比数列定义： 1.等差数列定义：等差数列定义： 1nnaad1(0)nnaq qa2.通项公式：通项公式： 3.等差中项：等差中项： 等比中项：等比中项： 2abg即即gab 2aba2aba即即4.等差数列中等差数列中,若若m+n=p+q,则则qpnmaaaa等比数列中等比数列

4、中,若若m+n=p+q,则则 qpnmaaaa等差数列的通项公式：等差数列的通项公式： dnaan) 1(1等比数列的通项公式：等比数列的通项公式： 11nnqaa比较等差数列与等比数列比较等差数列与等比数列 只要将等差数列的定义和通项中的只要将等差数列的定义和通项中的 换成等比数列的换成等比数列的 ，并将并将“加、减、乘、除加、减、乘、除”依次变成依次变成“乘、除、乘方、开方乘、除、乘方、开方”运运算即可以相应的产生等比数列的定义、通项公式。算即可以相应的产生等比数列的定义、通项公式。 dq1.将将“加、减、乘、除加、减、乘、除”依次变成依次变成“乘、除、乘方、开方乘、除、乘方、开方”的的

5、变换中，下标之间的运算无需变化。变换中，下标之间的运算无需变化。 2.等差数列中等差数列中 通常类比成等比数列中通常类比成等比数列中 。0d 1q 问题问题4:从上面的比较中发现，等差数列和等比数列在类比从上面的比较中发现，等差数列和等比数列在类比时有何一般的规律性时有何一般的规律性? 例例1.在等差数列在等差数列 中，前中，前n项和项和 ,类比上述性质，类比上述性质，相应地在等比数列相应地在等比数列 中，前中，前n项积项积tn= . nadnnnaaanaaasnnn2) 1(2)(1121 nb2)1(12121)(nnnnnnnqbbbbbbt例例2.若数列若数列 是等差数列是等差数列,

6、则有数列则有数列也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列cn是等是等比数列比数列,且且cn0,则有则有dn=_ 也是等比数列也是等比数列. nanaaabnn211 2nnndc cc已知数列已知数列 为等差数列，且为等差数列，且 ，则则 ；若数列；若数列 为正项等比数列，为正项等比数列，且且 ，（1）类比等差数列的结果，你认为）类比等差数列的结果，你认为 可能是什么值？可能是什么值？（2）证明你的推测是否正确。）证明你的推测是否正确。 na,()mkaa ab mkm kbkamakm nb,()mkba bb mkm kbkkmmkmkmbba数学