闭区间二次函数求最值

1、闭区间上二次函数的最值闭区间上二次函数的最值问题问题 2010年世博会将在上海召开，年世博会将在上海召开，筹备委员会计划利用边长为筹备委员会计划利用边长为2，a(a2)长方形旧场地（如图）改造长方形旧场地（如图）改造成室内展区（图中阴影）和露天成室内展区（图中阴影）和露天展区两部分，现被平行于两边的展区两部分，现被平行于两边的线段所分割。为使室内展区面积线段所分割。为使室内展区面积s最小，应如何分割？最小，应如何分割？ 2( )()(2);0,2s xxaxx x分析：求出解析式s（x）;222( )2(2)2 ;0,22124( )2();0,248s xxaxa xaaas xxx得到问题

2、即求含参数二次函数在区间0，2的最小值。 223yxx( )yf x例1：已知函数求函数在下列区间上的最值。2312521342021, (4) , )( , (2) ,xxxx）（xyyyyxxxoooo2bxa 2bxa 2bxa 2bxa 2( )(0), ,2bf xaxbxc axa 其对称轴为给定区间2:( )( -1)1,1,f xxx解其对称轴为又函数开口向上1( )1xf x所以当时取最小值为( 1)5,(4)104( )10.ffxf x又所以当时取最大值为.)(上的最大值与最小值上的最大值与最小值，在区间在区间求函数求函数41222xxxf2( )22 ,1( ),( )

3、.f xxxt tg tg t例函数在区间上的最小值为求的表达式2:( )(1)11f xxx解其对称轴为21 10, ,1,( ).( )(1)1;ttt tf xg tf tt 当即时 区间在对称轴的左侧在此区间上是减函数所以11011( )(1)1;tttxg tf 当时即时对称轴为在此区间内又函数开口向上所以221(0)( )1(01)22(1)ttg ttttt 21 ,1,( ).( )( )22tt tf xg tf ttt当时区间在对称轴的右侧在此区间上是增函数所以例例122( )4-2,05,( )-2,0.f xaxaxaf x例已知二次函数在区间上有最小值求函数在区间上的

4、最大值:-2.x 解 此二次函数的对称轴为2min2max0,( )-2,0,-2,0( )( 2),4551()-2,0( )(0)25.af xf xfaaaaf xfa 当时在上是增函数 在区间上即或舍去从而在区间上2min2max0( )-2,0,-2,0( )(0),555.-2,0( )( 2)454 5.af xf xfaaaf xfaa 当时在上是减函数 在区间上即或从而在区间上0( )-2,0250( )-2,054 5.af xaf x综上时函数在区间上的最大值时函数在区间上的最大值例22223, 1,2( )( )yxaxaxym am a 例己知函数求 的最大值及最小值

5、22223()3,(1)-1,( ) 1,2yxaxaxaxaaf x解:其对称轴为当时在上单调递增2minmax1(2)1( ) 1, ;( ,2;2( )( )3,( )(2)41;af xaaym af aym afaa 当时在上单调递减 在上单调递增22minmax(4)2( ) 1,2( )(2)41;( )( 1)22af xym afaaym afaa当时在上单调递减2minmax1(3)2( ) 1, ;( ,2;2( )( )3,( )( 1)22;af xaaym af aym afaa 当时在上单调递减 在上单调递增例32222141,(, 2( )122,( ,)222

6、,(, 1)( )3, 1,2,41,(2,)aaam aaaaaaam aaaaa 综上所述 222124( )2();0,248aaas xxx求函数 的最小值.回归课题：回归课题：对称轴24ax 2,( )| 1,( ).af xxxaxrf x例设 为实数 函数求的最小值1,(, ,( )2aaf x若则对称轴在区间的右侧在此区间上单调递减2min( )( )1;f xf aa此时2213:( )1(),24xaf xxxaxa 解 当时min1113(, ( )( );2224axaf xfa当时则对称轴在区间内此时例422131,( )1(),-242xaf xxxaxax 当时 函数其对称轴为11-,- ,),22axa若则对称轴在区间