最速下降法PPT及MATLAB程序

1、最速下降法 最速下降法，也称为梯度下降法，是由法国著名数学家cauchy在1847年提出的。 最速下降法是求解无约束优化问题最简单和最古老的方法之一，虽然现在已经不具有实用性，但是许多有效算法都是以它为基础进行改进和修正而得到的。 最速下降法是用负梯度方向为搜索方向，算法非常简单，并且通常对凸解析函数也有良好的收敛性。最速下降法的基本思想 从任意一点xk出发，沿该点负梯度方向pk=-f(xk)进行一维搜索，设f(xk+ kpk)=min f(xk+ pk) ( 0)，令xk+1= xk+ kpk为f(x)新的近似最优解。 再从新点xk+1出发，沿该点的负梯度方向pk+1=-f(xk+1)进行一

2、维搜索，进一步求出新的近似最优解xk+2。 如此迭代，直到某点的梯度为零向量或梯度的范数小于事先给定的精度为止。给定x0，0，k=0计算pk=-f(xk)| f(xk)|0)xk+1= xk+ kpk，k=k+1停止，打印xkyn算法例. 用最速下降法求函数f (x1, x2)2x12+x22 的极小点,取x0=1,1t , =0.1。解 由题意得txxxf)2,4()(21txfp)2, 4()(001 . 0200p由于故进行第一次迭代2200)21 ()41 (2)()(pxf从x0=(1,1)t出发进行一维搜索，即构造得1850tpxx)94,91(0001txfp)98,94()(1

3、11.05941p从而得故进行第二次迭代运算:0)21(4)41(16)(令从x1=(-1/9,4/9)t出发进行一维搜索，即构造2211)9894()9491(2)()(pxf得1251tpxx)272,272(1112txfp) 1, 2(274)(221.052742p从而得0)9894(916)9491(916)(令故进行第三次迭代运算:从x2=(2/27,2/27)t出发进行一维搜索，即构造2222)274272()278272(2)()(pxf得1852tpxx)2438,2432(2223txfp)24316,2438()(331.00368.0524343p从而得0)27427

4、2(278)278272(2732)(令停止迭代故最优解为txx)2438,2432(3最速下降法的搜索路径呈直角锯齿形设xk=(xk1 , xk2 .xkn),pk=(pk1 , pk2 .pkn),则令( )= f(xk+ pk) = f(xk1 + pk1, xk2 + pk2 ,., xkn + pkn)0|)(|)(kkdpxdfddkkktkkknknknnkkkkkkkkppxfppxfppxfppxfdpxdfdd)()(.)()()()(22221111是一元函数f(xk+ pk)的极值点， kf(xk + kpk)tpk=0，即(pk+1)tpk=0。也就是说，有目标函数在一维搜索产生的新点xk+1= xk+ kpk处的梯度与产生该点时所用的搜索方向是正交的。改进后的算法nrx 0精度0，自然数n=2,k=0step1:计算)(kkxfpstep2：step3：)(kxf如果，则转step5；否则进行一维搜索)(min)(0kkkkkpxfpxf，令1,1kkpxxkkkk若k=n,且k/3-k/3=0.则转step4，否则转step2.step4：计算2kkkxxs，进行一维搜索)(min)(0kkkkksxfsxf1,1kksxxkkkk令，转step2step5： 停止，输出kxx *小结1、优点：、优点： 计算简单，需记忆的容量小；对初始点