全等三角形作辅助线经典例题

1、全等三角形作辅助线经典例题常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）5) 截长法与补短法，具体做法是在某条

2、线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图abc中，ab=5，ac=3，则中线ad的取值范围是_.2：如图，abc中，e、f分别在ab、ac上，dedf，d是中点，试比较be+cf与ef的大小.3：如图，abc中，bd=dc=ac，e是dc的中点，求证：ad平分bae.中考应用1、以的两边ab、ac为腰分别向外作等腰rt和等腰rt，连

3、接de，m、n分别是bc、de的中点探究：am与de的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，am与de的位置关系是 ，线段am与de的数量关系是 ；（2）将图中的等腰rt绕点a沿逆时针方向旋转(0ad+ae.五、旋转1：正方形abcd中，e为bc上的一点，f为cd上的一点，be+df=ef，求eaf的度数. 2：d为等腰斜边ab的中点，dmdn,dm,dn分别交bc,ca于点e,f。（1）当绕点d转动时，求证de=df。（2）若ab=2，求四边形decf的面积。3.如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以d为顶点做一个角，使其两边分别交ab于点m，交ac于点n，连接mn，则

4、的周长为 ；中考应用：1、已知四边形中，：，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于（1）当绕点旋转到时（如图1），易证（2）当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图1）（图2）（图3）2、在等边的两边ab、ac所在直线上分别有两点m、n，d为外一点，且,bd=dc. 探究：当m、n分别在直线ab、ac上移动时，bm、nc、mn之间的数量关系及的周长q与等边的周长l的关系图1 图2 图3（i）如图1，当点m、n边ab、ac上，且dm=dn时，bm、nc、mn之间的数量关系是 ； 此时 ；

5、 （ii）如图2，点m、n边ab、ac上，且当dmdn时，猜想（i）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （iii） 如图3，当m、n分别在边ab、ca的延长线上时，若an=，则q= （用、l表示）六、构造全等例1： 已知：如图，在rtabc中，acb=90，ac=bc，d为bc的中点，cead于e，交ab于f，连接df求证：adc=bdf2如图，abc中，ab=ac，过点a作gebc，角平分线bd、cf相交于点h，它们的延长线分别交ge于点e、g试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明 3已知abc，ab=ac，e、f分别为ab和ac延长线上的点，且be=cf

6、，ef交bc于g求证：eg=gf 4 已知：abc中，bd=cd，12求证：ad平分bac说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等（2）利用角的平分线构造全等三角形：过角平分线上一点作两边的垂线段练习：如图22，abcd，e为ad上一点，且be、ce分别平分abc、bcd求证：ae=ed以角的平分线为对称轴构造对称图形例： 如图，在abc中，ad平分bac，c=2b求证：ab=ac+cd分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在ab上截取ae=ac，连接de，我们就能构造出一对全等三

7、角形，从而将线段ab分成ae和be两段，只需证明be=cd就可以了延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例： 如图，在abc中，ad平分bac，cead于e求证：ace=b+ecd分析：注意到ad平分bac，cead，于是可延长ce交ab于点f，即可构造全等三角形（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图，在abc中，ad平分bac，过点d作deab，de交ac于点e易证aed是等腰三角形因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形 例 如图，在abc中，ab=ac，bd平分abc，debd于d，交bc于点e求证：cd=be练习：1如图，在abc中，b=90，ad为ba

8、c的平分线，dfac于f，de=dc求证：be=cf 2已知：如图，ad是abc的中线，deab于e，dfac于f，且be=cf求证：（1）ad是bac的平分线；（2）ab=ac 3在abc中，bac=60，c=40，ap平分bac交bc于p，bq平分abc交ac于q求证：ab+bp=bq+aq 4如图，在abc中，ad平分bac，ab=ac+cd求证：c=2b 5已知，e为abc的a的平分线ad上一点，abac求证：ab-aceb-ec 6如图，在四边形abcd中，bcba，ad=cd，bd平分abc 求证：a+c=1807如图所示，已知adbc，1=2，3=4，直线dc过点e作交ad于点d

9、，交bc于点c求证：ad+bc=ab 8已知，如图，abc中，abc=90，ab=bc，ae是a的平分线，cdae于d求证：cd=ae 9abc中，ab=ac，a=100，bd是b的平分线求证：ad+bd=bc 10如图36，b和c的平分线相交于点f，过点f作debc交ab于点d，交ac于点e，若bd+ce=9，则线段de的长为（）a9 b8 c7 d6 11如图，abc中，ad平分bac，ad交bc于点d，且d是bc的中点求证：ab=ac 12已知：如图，abc中，ad是bac的平分线，e是bc的中点，efad，交ab于m，交ca的延长线于f求证：bm=cf 1.如图，在rtabc中，ab=

10、ac，d、e是斜边bc上两点，且dae=450，将adc绕点a顺时针旋转900后，得到afb，连接，下列结论：（）；（）；（）；（）其中正确的是（）a（2）（4） b（1）(4) c(2) (3) d(1) (3)2.在abc中，ab6，ac8，bc10，p为边bc上一动点，peab于e，pfac于f，m为ef中点，则am的最小值为 3.如图，在等腰梯形abcd中，c=60，adbc，且ad=dc，e、f分别在ad、dc的延长线上，且de=cf，af、be交于点p .（1）求证：af=be；（2）请你猜测bpf的度数，并证明你的结论 .4.已知：如图，在abc中，acb=，于点d,点e 在ac

11、上，ce=bc,过e点作ac的垂线，交cd的延长线于点f .求证：ab=fc5如图，在四边形abcd中，ab=bc，bf是abc的平分线，afdc，连接ac、cf，求证：ca是dcf的平分线.6.如图，在正方形abcd中，点e、f分别在bc、cd上移动，但a到ef的距离ah始终保持与ab长相等，问在e、f移动过程中：(1)求证：eaf = 45o ; (2)ecf的周长是否有变化？请说明理由.7.如图，abc中，abc=bac=45，点p在ab上，adcp，becp，垂足分别为d、e ，已知dc=2，求be的长。abcdef8如图，在矩形abcd中，ae平分dab交dc于点e，连接be，过e作efbe交ad于e.(1)def和cbe相等吗？请说明理由；(2)请找出图中与eb相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由.9.将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如图所示的形式，使点b、f、c、d在同一条直线上。（1）求证：abed。（2）若pb=bc，请找出图中与此条件有关的