常系数高阶齐次线性微分方程

1、 高阶常系数齐次线性方程高阶常系数齐次线性方程一、定义一、定义二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法一、定义一、定义)(1)1(1)(xfypypypynnnn n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式n n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式(1) )(1)1(1)(xfypypypynnnn n n阶常

2、系数齐次线性微分方程的标准形式阶常系数齐次线性微分方程的标准形式(2) 01)1(1)( ypypypynnnn )2(的的特特点点：的的项项的的特特点点及及由由rxey 的的解解是是(2) rxe,)()(rxnnrxere 0111 rxnrxnrxnrxnepreperper(3) 0111 nnnnprprpr。为为即即：特征根 r(2)的特征方程二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特

3、征根0 qyypy1. 1. 有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxrececy )0( 特征根为特征根为2. 2. 有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexccy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexu

4、y 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为3. 3. 有一对共轭复根有一对共轭复根,1 ir ,2 ir ,)(1xiey ,)(2xiey )0( 重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyiy ,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xcxceyx 特征根为特征根为02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式实实根根21rr 实实根根21rr 复复根根 ir 2, 1xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 定义定义 由常系数齐次线性方程

5、的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexccy 例例1 1.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121ir ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xcxceyx 例例2 2三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)( ypypypynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnprpr

6、pr特征根特征根对应的特解对应的特解rk重重实实根根rxkrxrxexxee1, ik 根根重重共共轭轭复复xexxxexexexxxexexkxxxkxx sin,sin,sincos,cos,cos11 注注 1、n次代数方程恰有次代数方程恰有n个根。个根。2、属于不同特征根的解线性无关。属于不同特征根的解线性无关。注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每一个而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个且每一项各一个任意常数任意常数.nnycycycy 2211特征根为特征根为, 154321irrirrr 故所求通解为故所求通解为

7、.sin)(cos)(54321xxccxxccecyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程为特征方程为, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的的通通解解求求方方程程 yyyyyy例例3 3四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. (见下表见下表)02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式实实根根21rr 实实根根21rr 复复根根

8、 ir 2, 1xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 思考题解答思考题解答, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 则则, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxececz 21.ln21xxececy 一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、 下列微分方程满足所给初

9、始条件的特解下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. .三、三、 求作一个二 阶常系数 齐次线性微分方程求作一个二 阶常系数 齐次线性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . .四、四、 设圆柱形浮筒设圆柱形浮筒, ,直径为直径为m5 . 0, ,铅直放在水中铅直放在水中, ,当稍当稍向下压后突 然放开向下压后突 然放开, ,浮筒 在水中上 下振动的浮筒 在水中上 下振动的s2周期为周期为, ,求浮筒的质量求浮筒的质量 . .练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1

10、、xeccy421 ； 2 2、tetccx2521)( ； 3 3、)2sin2cos(213xcxceyx ； 4 4、xcxcececyxx3sin3cos432221 . .二、二、1 1、)2(2xeyx ； 2 2、xeyx3sin2 . .三、三、0 yy. (. (提示提示: :为为两两个个xe, 1线性无关的解线性无关的解) )四、四、195 mkg.kg.微分方程的应用题微分方程的应用题 例例1.1. 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅

11、速减速并停下阻力，使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度的飞机，着陆时的水平速度为为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多？问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多？注注: kg表示千克，表示千克，km/h表示千米表示千米/小时小时.).100 . 66k 【分析】【分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可。列出关系式后再解微分方程即可。

12、【解【解1】 由题设，飞机的质量由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时，着陆时的水平速度的水平速度hkmv/7000 从飞机接触跑道开始记时，设从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行时刻飞机的滑行距离为距离为x(t)，速度为，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得根据牛顿第二定律，得kvdtdvm dxdvvdtdxdxdvdtdv 又又由以上两式得由以上两式得 dvkmdx .)(cvkmtx 0)0(,)0(0 xvv0vkmc )()(0tvvkmtx 积分得积分得 由于由于故得故得从而从而 0)(tv).(05. 1100 . 67009000)(60kmkmvtx 当当时时 所

13、以，飞机滑行的最长距离为所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.例例2 2 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段pq之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxpq3xy )(xfy dxexceydxdx23, 6632 xxcex, 0|0 xy由由, 6 c得得所求曲线为所求曲线为).22(32xxeyx 23xyy )1(022121tmkekmktkkv 答答:例例4 4 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例: : 车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解轴轴设设旋旋转转轴轴 ox如图如图),0 , 0(光光源源在在)(:xyyl xyomtnrl为上任一点，为上任一点，设设),(yxm,ymt 斜斜率率为为为为切切线线,1,ymn 斜斜率率为为为为法法线线,nmromn ynmryxyxyyomn1tan11tan, 022 yyxyy得微分方程得微分方程. 1)(2 yxyxy即即,tantannmr