高等数学第十二章无穷级数

1、第九章第九章主主 要要 内内 容容0( )nnux 求和求和( )s x展开展开( (在收敛域内进行在收敛域内进行) )0( )nnux基本问题基本问题：判别敛散性；：判别敛散性；求幂级数收敛域；求幂级数收敛域；求和函数；求和函数；函数展开成幂级数函数展开成幂级数. .当当 时为数项级数时为数项级数; ;0 xx( )nnnuxa x当当 时为幂级数时为幂级数; ; 为傅立叶级数为傅立叶级数. .( )cossinnnnuxanxbnx为傅氏系数为傅氏系数) )时时, ,(,nna b*当当对于函数项级数对于函数项级数1. 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性利用部分和数列的极限判别级数

2、的敛散性2. 2. 正项级数审敛法正项级数审敛法必要条件必要条件lim0nnu不满足不满足发发 散散满足满足根值审敛法根值审敛法limnnnu1收收 敛敛发发 散散1不定不定比较审敛法比较审敛法用其它方用其它方法判别法判别*积分判别法积分判别法部分和极限部分和极限1比值审敛法比值审敛法1limnnnuu正项级数比较审敛法正项级数比较审敛法设设 与与 是两个正项级数，且是两个正项级数，且1nna1nnb1,2,nnabn则：则：若级数若级数 收敛，则级数收敛，则级数 也收敛；也收敛；1nnb1nna若级数若级数 发散，则级数发散，则级数 也发散也发散.1nna1nnb常用来比较的级数：常用来比较

3、的级数： 级数级数11pnnp当当 时收敛，时收敛，1p 当当 时发散时发散.1p （1）例如例如2311211113(2 1);(1);2111(1);(1).2nnnnppnnppnn 收敛收敛发散发散（2）等比级数）等比级数01111,nnqqqq时，收敛于时，发散.例如例如000011( 1)1(1);(1);2233331(1)()1).22nnnnnnnnqqqq收敛收敛发散；发散 （极限形式的比较审敛法极限形式的比较审敛法 设设 与与 是两个正项级数，且是两个正项级数，且1nna1nnblim,nnnakb若若0,k 1nna1nnb则级数则级数 与级数与级数 同时收敛，同时发散

4、；同时收敛，同时发散；若若 且级数且级数 收敛，则级数收敛，则级数 收敛；收敛；0,k 1nnb1nna若若 且级数且级数 发散，则级数发散，则级数 发散发散.,k 1nnb1nna3. 3. 任意项级数审敛法任意项级数审敛法leibniz判别法判别法: 若若10,nnuu且且lim0,nnu则交错级数则交错级数1( 1)nnnu收敛收敛 ,为收敛级数，为收敛级数，1nnu概念概念: 设设且余项且余项1.nnru1nnu若若收敛收敛 ,1nnu称称绝对收敛绝对收敛,1nnu若若发散发散 ,1nnu称称条件收敛条件收敛.例例1 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:11(1);nnn n22

5、1( !)(2);2nnn231cos(3);2nnnn1(4)(0,0).nsnaasn解答提示解答提示: (1) lim1,nnn1lim1,1nnn nn据极限形式的比较判别法据极限形式的比较判别法, 原级数发散原级数发散 .因调和级数发散因调和级数发散,利用比值判别法利用比值判别法, 可知原级数发散可知原级数发散.1(4)(0,0):nsnaasn 221( !)(2):2nnn231cos(3):2nnnn用比值法用比值法, 可判断级数可判断级数 收敛收敛再由比较法可知原级数收敛再由比较法可知原级数收敛 .1a 1a 利用比值判别法利用比值判别法, 可知原级数可知原级数在在 时发散，

6、时发散， 时时收敛；收敛； 时仅当时仅当 收敛收敛.1a 1s n 12nn11(3)( 1) ln;nnnn例例2 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:11(1)( 1);npnn1111sin(2)( 1);nnnn11(1)!(4)( 1).nnnnn提示提示: (1) p 1 时时, 绝对收敛绝对收敛 ;0 p 1 时时, 条件收敛条件收敛 ;p0 时时, 发散发散 .(2) 因各项取绝对值后所得强级数因各项取绝对值后所得强级数 收敛收敛, 原级数绝对收敛原级数绝对收敛 .故故 111nn11(3)( 1) lnnnnn11lnln(1)nnunn

7、因因单调递减单调递减, 且且但但11lnnnn1limln(1)lnnnkkklimln(1)nn,所以原级数仅所以原级数仅条件收敛条件收敛 .11lnnkkklimn由由leibniz判别法知级数判别法知级数收敛收敛 ;lim0,nnu11(1)!(4)( 1)nnnnn因1nnuu2(2)!(1)nnn1(1)!nnnn 11,e =故原级数绝对收敛故原级数绝对收敛 .n211111(1)(1)nnnnxr 标准形式幂级数标准形式幂级数: 先求收敛半径先求收敛半径 r , 再讨论再讨论处的敛散性处的敛散性 . 非标准形式幂级数非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式通过换元转化为标准形式直接

8、用比值法或根值法直接用比值法或根值法二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法例例4 4 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域 d. .1 1） 1( 1) 5nnnnxn115limlim5,51nnnnnnanan 11,5r 解解： 收敛区间收敛区间1 1(, ),5 5因为因为11111( 1)55nnnxxnn 时，发散；时，收敛，所以收敛域所以收敛域1 1(, .5 5d 2 2） 1(1)2nnnxn111,lim,2nnnatxa令 2,212,rx 解解： 收敛区间收敛区间(-1,3).因为因为11( 1)113nnnxxnn 时，收敛；时，发散；所以原级数收敛域为

9、所以原级数收敛域为 -1,3).1 1） 221(2 )!( !)nnnxn 解解： 222122( )2(1)!(2 )!limlim/( )(1)!( !)nnnnnnuxnnxxuxnn 222(22)(21)lim4,(1)nnnxxn 1.2r ，原级数收敛原级数收敛. . 12x 时例例5 5 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径 r . .2 2） 2103nnnx解解： 22321211( )1limlimlim,33( )33nnnnnnnnnxuxxxxux 时时 213nnnx 收敛收敛 .3.r 3x 求部分和式极限求部分和式极限 初等变换法初等变换法: 分解、

10、套用公式分解、套用公式 映射变换法映射变换法 （在收敛区间内）（在收敛区间内）0nnna x逐项求导或求积分逐项求导或求积分( )s x难难对和式积分或求导对和式积分或求导0nnna x( )sx求和求和直接求和直接求和: 直接变换直接变换,间接求和间接求和: 转化成幂级数求和转化成幂级数求和, 再代值再代值求部分和等求部分和等 数项级数求和数项级数求和三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 熟悉常用函数的幂级展开式：熟悉常用函数的幂级展开式： 1 1、 21()2!nxxxexxn 2 2、 3521sin( 1)(,)3!5!(21)!nnxxxxxn 3 3、 242cos1( 1

11、)()2!4!(2 )!nnxxxxxn 4 4、 231ln(1)( 1)( 11)231nnxxxxxxn 5 5、等比级数：、等比级数： 211( 11)1nxxxxx 2462211( 11)1nxxxxxx 2111( 11)1nxxxxx （）21( 11)1nnnxxxxxxx 注意：注意：例例6 求幂级数求幂级数 的和函数的和函数.2101( 1)(21) !nnnnxn解法解法1： 先求出收敛区间先求出收敛区间( ),s x 则则210001( )d( 1)d(21)!xxnnnns xxxxn220( 1)(21)!nnnxn12210( 1)2(21)!nnnxxnsin

12、 ,2xx(,). 设和函数为设和函数为1( )sincos ,22xs xxx(,).x 解法解法2： 易求出级数的收敛域为易求出级数的收敛域为 ，(,) 22011( 1)()2(21)!nnnxn2101( 1)2(21)!nnnxxn1( sin )2xx 1sincos ,22xxx(,).x 原式原式2( )2xs xx2222.(2)xx2(1)1212nnnnx 例例7 求幂级数求幂级数 的和函数的和函数.解解: 先求出收敛区间先求出收敛区间(2, 2),设设和函数为和函数为( ).s x22210011211( )dd22xxnnnnnnns xxxxx22221112(),

13、2212nnxxxxxxxx0，2/ 21x 显然显然 x = 0 时上式也正确时上式也正确,(2 ,2).x 故和函数为故和函数为而在而在2x 2222( ),(2)xs xx级数发散级数发散,求求例例8 8 0(1)nnnx 的和函数的和函数.解解： 2lim1,1,1nnrn 收敛域为收敛域为（-1，1）. . 设设 0( )(1),nns xnx000( )(1)dxxnns x dxnxx10(1),1nnxxxx21( )()(1).1(1)xs xxxx01,(1)nxn 发散发散， 当当 ， 1x 0(1)( 1)nnn 发散发散. . 当当 001( 1)( 1)2(2 )!

14、(21)!nnnnnn解解: 原式 =0( 1)(21)!nnn(21)1n 121cos12sin1.01( 1)(21)!nnnn 的和的和 . .* *例例9 9 （直接法（直接法) )求级数求级数（参见例（参见例6 ，也可用间接法解本题，也可用间接法解本题.）（间接法）求数项级数和（间接法）求数项级数和：00111(),( ),nnnnnnnnaa xs xs xa x 化设法求出和函数将其转化成幂级数求和函数问题将其转化成幂级数求和函数问题. . 1原式原式 2112( ),( )(1).2(1)nnxss xn nxx 3推广推广： ， . . 111( )33nnn ns（）11

15、511( )5nnn ns （）例例1010 求求 的和的和. . 1(1)2nnn n 2求求 ( ):s x 1lim1nnnaa1r ，收敛区间为收敛区间为（-1，1）. . 1(1)nn代入代入， 发散发散， 1x 1( 1) (1)nnn 发散发散. . 收敛域为收敛域为（-1，1） .111( )(1)()nnnns xnnxxx 例例1111 求求 的和的和. . 1(1)2nnn n 21212()(),1(1)nnxxxxxxx1(1)1( )8.22nnn ns11( )(1)( ).2nns xn nxs要求 代入求和代入求和: :解解：设：设 间接展开法间接展开法 利用

16、已知展式的函数及幂级数性质利用已知展式的函数及幂级数性质 直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式四、函数的幂级数展开法四、函数的幂级数展开法熟悉常用函数的幂级展开式：熟悉常用函数的幂级展开式： 1 1、 21()2!nxxxexxn 2 2、 3521sin( 1)()3!5!(21)!nnxxxxxxn 3 3、 242cos1( 1)()2!4!(2 )!nnxxxxxn 4 4、 231ln(1)( 1)( 11)231nnxxxxxxn 5 5、等比级数：、等比级数： 211( 11)1nxxxxx 2462211( 1)( 11)1nnxxxxxx 例例1212 1） 220()!nxnxen20().!nnxxn 2） 00()( 1)().!nnnxnnxxexnn 3） 2011()()(1)1nnxxx100()( 11).nnnnxnxx 4） ( )arctan ,(0)0,f xxf 2201( )( 1)1nnnfxxx(1),x 2000arctan( )(0)( )d( 1)dxxnnnxf xffxxxx212000( 1)( )( 1)d21nnnxnnnxf xxxn(1).x 例例13