行列式的性质

1、音乐音乐1.31.3 2111212222112 nnnnnnaaaaaaadaa 记记，111222212121nntnnnnaaadaaaaaa tdd行行列列式式称称为为行行列列式式 的的转转置置行行列列式式 1tdd ( (可可转转性性) )性性质质,行行列列式式中中与与具具有有同同等等的的地地说说明明位位 因因此此: : 行行列列行行列列式式的的性性质质凡凡是是对对的的行行成成立立列列也也对对同同样样成成立立3 2 性性质质交交换换行行列列式式的的两两行行( ( (半半可可交交换换转转性性) )列列) ), ,行行列列式式变变号号11121121212kkknnnnnniiinaaa

2、aaaaaaaaaik行行行行 11121121212nnnnnninkiikkaaaaaaaaaaaa ik行行行行 1.1 0 d 推推论论有有两两行行( (列列) )相相同同的的行行列列式式( (零零性性) )4例如例如,571571 266853.825825 3615675673612668535 3 k性性质质行行列列( (可可提提( (乘乘) )性性) )列列式式某某行行( () )的的公公因因子子 可可以以提提到到行行列列式式符符号号外外, ,行行列列式式的的某某一一行行()()中中所所列列有有的的元元素素都都, kk乘乘以以同同一一数数等等于于用用数数 乘乘此此行行列列式式

3、即即111211212niiinnnnnaaakakakaaaa 111211212niiinnnnnaaaaaakaaa 1.2 0 0 d 推推论论有有一一行行()()元元素素全全为为 的的行行列列列列式式( (零零性性) ) 1.20 d ( (零零性性) )列列推推论论有有两两行行( () )元元素素对对应应成成比比例例的的行行列列式式6 4 若若行行列列式式( (可可加加性性) )( (中中某某一一行行是是两两组组数数性性列列质质) )之之和和, ,则则此此行行列列式式等等于于两两行行列列式式之之和和, ,这这两两行行列列式式的的这这一一行行分分别别是是第第一一组组数数和和第第二二组

4、组数数, ,其其余余各各行行( (列列) )( (列列) )与与 原原行行列列式式相相同同, ,即即11121112212niiiiininnnnnaaaabababaaa111211212niiinnnnnaaaaaaaaa 111211212niiinnnnnaaabbbaaa 7 5 c把把行行列列式式一一行行元元素素的的( (倍倍加加性性) )( (性性列列) )质质倍倍加加到到另另一一行行对对应应元元素素上上, ,行行列列式式的的( (列列) )值值不不变变, ,即即11121121212niiinkkknnnnnaaaaaaaaaaaa 1112112112212niiinkiki

5、kninnnnnaaaaaaacaacaacaaaa89：110221062(1) 3101131101d (2) 2324323631263xyzwxxyxyzxyzwdxxyxyzxyzwxxyxyzxyzw 101102210623101131101d 1 13 23102106210113201 12=cc412=rr 1302016216 01112301 1302016216 0111 0305111302016216 01110305d 32423=rrrr 13 0 2 016216 342=cc 13 201 216 00 300 11 434=rr 1342012216 0

6、01300023 236 00730018114 214 12433221=rrrrrr 00020003xyzwxxyxyzxxyx 2324323631263xyzwxxyxyzxyzwdxxyxyzxyzwxxyxyzxyzw xyzw4332=rrrr 0 xyzwxxyxyz 43rr 0 xxy xyz0 x2xy 32xyz 0 x3xy 83xyz00 x2xy 00 x5xy 43x 13例例3 计算计算n阶行列式阶行列式.abbbbabbbbabbbbad 解解abbbnababbnabbabnabbbbna)1()1()1()1( d将第将第 列都加到第一列得列都加到第一

7、列得n, 3 , 214abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00.)()1(1 nbabna每行减去第一行每行减去第一行15例例4 计算计算n阶行列式阶行列式解解naaa 11111111121), 2 , 1,0(niai nnnnaaaaaaaaaaa1111111111112121211 原原式式16121211211111111111111niinniinnniinaaaaaaaaaaa 每每列列加加到到第第一一列列nnnnaaaaaaaaaaa1111111111112121211 原原式式172111111(1) 010001nnniiaaaaa 每每行行减减去去第第一一行行111(1) .nniiaaa 2211211111111(1)1111nnnniinaaaaaaaaa 18例例5 5 计算计算n+1n+1阶行列式阶行列式11223000100100100010001nnbbbbbdbb 解解 将第将第1